AMC 10 · 2004 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
circular-sectorarea-circleslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles
📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
세 원이 같은 중심을 가지며 반지름이 각각 3, 2, 1이어서, 그림은 반지름 3인 원판 하나가 안쪽 원판, 가운데 고리, 바깥 고리로 나뉜 모양입니다. 서로 다른 두 직선이 그 중심을 지나며 세 부분 각각을 마주 보는 좁은 조각 두 개와 마주 보는 넓은 조각 두 개로 자릅니다. 그림에서 색칠은 번갈아 바뀝니다: 바깥 고리와 안쪽 원판에서는 좁은 조각이, 가운데 고리에서는 넓은 조각이 색칠됩니다. 전체적으로 색칠된 부분은 색칠되지 않은 부분의 8/13입니다. 두 직선이 이루는 예각의 크기는 라디안으로 얼마입니까? (참고: π 라디안은 180도입니다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\pi}{8}$
(B)
$\frac{\pi}{7}$
(C)
$\frac{\pi}{6}$
(D)
$\frac{\pi}{5}$
(E)
$\frac{\pi}{4}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

색칠된 넓이 전체는 단 하나, 예각에 달려 있습니다. 그래서 그것을 θ 라 이름 붙이면(도구 #4) 나머지를 모두 그것으로 나타낼 수 있습니다. 그림이 복잡해 보이니 원들이 만드는 세 고리로 쪼갭니다(도구 #7); 각 고리의 넓이는 쉽게 구해지고, 각 고리 안에서 색칠된 부분은 θ 가 정하는 비율일 뿐입니다. 그림을 자세히 읽으면(도구 #1) 색칠이 고리마다 뒤집힌다는 것 — 바깥·안쪽 고리는 좁은 조각, 가운데 고리는 넓은 조각 — 이 보이고, 바로 이것이 합을 흥미롭게 만듭니다. 색칠된 넓이가 θ 의 식이 되면 '색칠이 색칠되지 않은 부분의 8/13' 이라는 조건은 풀 방정식 하나가 됩니다(도구 #13).

1STEP 1

그림을 세 고리로 쪼개기

반지름 3, 2, 1이므로 넓이 9π인 원판이 세 고리로 나뉩니다: 안쪽 π, 가운데 3π, 바깥 5π.

안쪽=π, 가운데=4π-π=3π, 바깥=9π-4π=5π, 전체=9π
2STEP 2

각에 이름 붙이고 각 조각 재기

예각을 θ라 하면 각 고리는 각 θ인 좁은 조각 둘과 각 π-θ인 넓은 조각 둘로 나뉘어 비율은 θ/π와 (π-θ)/π입니다.

좁은 비율=2θ/2π=θ/π, 넓은 비율=(2(π-θ))/2π=(π-θ)/π
3STEP 3

색칠된 넓이 더하기

바깥·안쪽은 좁은 조각(5θ, θ), 가운데는 넓은 조각 3(π-θ)를 칠하므로 색칠은 3π+3θ, 안 칠한 곳은 6π-3θ.

색칠=5θ+3(π-θ)+θ=3π+3θ, 안 색칠=9π-(3π+3θ)=6π-3θ
4STEP 4

비 세우고 풀기

3π+3θ = 8/13(6π-3θ)에서 39π+39θ = 48π-24θ, 즉 63θ = 9π이므로 θ = π/7, 선택지 (B)입니다.

3π+3θ=8/13(6π-3θ) → 63θ=9π → θ=π/7=(B)
정답
π/7
θ=π/7을 다시 넣어 봅니다. 색칠 =3π+3·π/7=(21π+3π)/7=24π/7. 안 색칠 =6π-3·π/7=(42π-3π)/7=39π/7. 그 비는 (24π/7)/(39π/7)=24/39=8/13이며 요구된 것과 정확히 같습니다. 또 색칠과 안 색칠의 합은 24π/7+39π/7=63π/7=9π로 원판 전체와 같으니 빠뜨리거나 중복 계산한 것이 없습니다.
💡핵심 정리

조각들이 한 중심에서 만나면, 한 조각의 넓이는 그 각이 한 바퀴에서 차지하는 몫일 뿐이라, 각을 넓이로 바꾸고 방정식 하나로 마무리할 수 있습니다.

  • 그림을 세 고리로 쪼개기
  • 각에 이름 붙이고 각 조각 재기
  • 색칠된 넓이 더하기
  • 비 세우고 풀기

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