AMC 10 · 2004 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

circular-sectorarea-circleslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

서로 다른 두 직선이 반지름이 각각 $3$ , $2$ , $1$ 인 세 동심원의 중심을 지납니다. 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 색칠되지 않은 영역의 넓이의 $\frac{8}{13}$ 입니다. 두 직선이 이루는 예각의 라디안 크기는 얼마입니까? (참고: $\pi$ 라디안은 $180$ 도입니다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{8}$

(B)

$\frac{\pi}{7}$

(C)

$\frac{\pi}{6}$

(D)

$\frac{\pi}{5}$

(E)

$\frac{\pi}{4}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 원이 같은 중심을 가지며 반지름이 각각 $3$, $2$, $1$ 입니다. 서로 다른 두 직선이 모두 그 중심을 지나 그림 전체를 부채꼴 조각들로 자릅니다. 그림의 색칠 방식을 따르면 색칠된 부분이 색칠되지 않은 부분의 $\frac{8}{13}$ 이 됩니다. 두 직선이 이루는 예각의 크기를 라디안으로 구하세요.

주어진 것: 중심이 같은 세 원의 반지름이 $3$, $2$, $1$ 이므로, 원들이 큰 원판을 세 개의 고리로 나눕니다: 안쪽 원판(반지름 $1$ 까지), 가운데 고리(반지름 $1$ 과 $2$ 사이), 바깥 고리(반지름 $2$ 와 $3$ 사이).; 두 서로 다른 직선이 공통 중심을 지나며, 두 직선이 이루는 예각이 미지수입니다.; 두 직선은 각 고리를 네 개의 조각으로 자릅니다: 마주 보는 '좁은' 조각 두 개, 마주 보는 '넓은' 조각 두 개.; 색칠된 영역은 색칠되지 않은 영역의 $\frac{8}{13}$ 입니다.; 문제에서 준 안내: $\pi$ 라디안 $= 180$ 도.; 선택지: (A) $\frac{\pi}{8}$, (B) $\frac{\pi}{7}$, (C) $\frac{\pi}{6}$, (D) $\frac{\pi}{5}$, (E) $\frac{\pi}{4}$

구하는 것: 두 직선이 이루는 예각의 라디안 크기.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기

색칠된 넓이 전체는 단 하나, 예각에 달려 있습니다. 그래서 그것을 $\theta$ 라 이름 붙이면(도구 #4) 나머지를 모두 그것으로 나타낼 수 있습니다. 그림이 복잡해 보이니 원들이 만드는 세 고리로 쪼갭니다(도구 #7); 각 고리의 넓이는 쉽게 구해지고, 각 고리 안에서 색칠된 부분은 $\theta$ 가 정하는 비율일 뿐입니다. 그림을 자세히 읽으면(도구 #1) 색칠이 고리마다 뒤집힌다는 것 — 바깥·안쪽 고리는 좁은 조각, 가운데 고리는 넓은 조각 — 이 보이고, 바로 이것이 합을 흥미롭게 만듭니다. 색칠된 넓이가 $\theta$ 의 식이 되면 '색칠이 색칠되지 않은 부분의 $\frac{8}{13}$' 이라는 조건은 풀 방정식 하나가 됩니다(도구 #13).

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

그림을 세 고리로 쪼개기

세 원의 반지름이 $3$, $2$, $1$ 이므로 전체 그림은 반지름 $3$ 인 큰 원판 하나이고 전체 넓이는 $\pi(3)^2 = 9\pi$ 입니다.
원들이 이것을 세 고리로 나눕니다.
안쪽 원판(반지름 $1$)의 넓이는 $\pi(1)^2 = \pi$.
가운데 고리(반지름 $1$ 과 $2$ 사이)의 넓이는 $\pi(2)^2 - \pi(1)^2 = 4\pi - \pi = 3\pi$.
바깥 고리(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)의 넓이는 $\pi(3)^2 - \pi(2)^2 = 9\pi - 4\pi = 5\pi$.
확인해 보면 $\pi + 3\pi + 5\pi = 9\pi$ 로 전체 원판과 같습니다.

$$\text{안쪽}=\pi,\quad \text{가운데}=4\pi-\pi=3\pi,\quad \text{바깥}=9\pi-4\pi=5\pi,\quad \text{전체}=9\pi$$

💡 고리의 넓이는 큰 원에서 그 안의 작은 원을 뺀 것이므로, 세 번의 뺄셈으로 세 조각이 모두 나옵니다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 2

각에 이름 붙이고 각 조각 재기

두 직선이 이루는 예각을 $\theta$ 라 합시다.
두 직선은 중심에서 만나 각 고리를 네 조각으로 자릅니다: 마주 보는 '좁은' 조각 두 개는 각각 각 $\theta$, 마주 보는 '넓은' 조각 두 개는 각각 각 $\pi-\theta$ 입니다.
한 바퀴가 $2\pi$ 이고 $\theta+(\pi-\theta)+\theta+(\pi-\theta)=2\pi$ 이기 때문입니다.
조각이 고리에서 차지하는 비율은 그 각이 한 바퀴에서 차지하는 비율과 같습니다.
그래서 두 좁은 조각은 합쳐서 고리의 $\frac{2\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{\pi}$ 이고, 두 넓은 조각은 합쳐서 $\frac{2(\pi-\theta)}{2\pi}=\frac{\pi-\theta}{\pi}$ 입니다.

$$\text{좁은 비율}=\dfrac{2\theta}{2\pi}=\dfrac{\theta}{\pi},\qquad \text{넓은 비율}=\dfrac{2(\pi-\theta)}{2\pi}=\dfrac{\pi-\theta}{\pi}$$

💡 부채꼴 조각의 넓이는 그 각에 맞춰 커지므로, 각의 비율이 곧 넓이의 비율입니다.

#1 그림 그리기 7.EE.A.1 단계 3

색칠된 넓이 더하기

이제 색칠을 읽습니다.
바깥 고리에서는 좁은 조각이 색칠되어 $5\pi \cdot \frac{\theta}{\pi} = 5\theta$.
가운데 고리에서는 넓은 조각이 색칠되어 $3\pi \cdot \frac{\pi-\theta}{\pi} = 3(\pi-\theta)$.
안쪽 원판에서는 다시 좁은 조각이 색칠되어 $\pi \cdot \frac{\theta}{\pi} = \theta$.
이 세 색칠 조각을 더합니다: $5\theta + 3(\pi-\theta) + \theta = 5\theta + 3\pi - 3\theta + \theta = 3\pi + 3\theta$.
그래서 색칠된 넓이는 $3\pi + 3\theta$ 이고, 색칠되지 않은 넓이는 나머지 전부인 $9\pi - (3\pi + 3\theta) = 6\pi - 3\theta$ 입니다.

$$\text{색칠}=5\theta+3(\pi-\theta)+\theta=3\pi+3\theta,\qquad \text{안 색칠}=9\pi-(3\pi+3\theta)=6\pi-3\theta$$

💡 각 고리는 자기 넓이에 색칠된 각의 비율을 곱한 만큼 기여하고, $\pi$ 가 약분되어 $\theta$ 와 $\pi$ 의 깔끔한 배수만 남습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

비 세우고 풀기

색칠된 넓이가 색칠되지 않은 넓이의 $\frac{8}{13}$ 이므로 $3\pi + 3\theta = \frac{8}{13}\,(6\pi - 3\theta)$ 입니다.
양변에 $13$ 을 곱해 분수를 없앱니다: $13(3\pi + 3\theta) = 8(6\pi - 3\theta)$, 즉 $39\pi + 39\theta = 48\pi - 24\theta$.
$\theta$ 항은 한쪽으로, $\pi$ 항은 다른 쪽으로 모읍니다: $39\theta + 24\theta = 48\pi - 39\pi$, 그래서 $63\theta = 9\pi$.
나누면 $\theta = \frac{9\pi}{63} = \frac{\pi}{7}$ 입니다.
예각은 $\frac{\pi}{7}$ 이고, 이는 선택지 (B)입니다.

$$3\pi+3\theta=\tfrac{8}{13}(6\pi-3\theta)\;\Rightarrow\;63\theta=9\pi\;\Rightarrow\;\theta=\tfrac{\pi}{7}=\textbf{(B)}$$

💡 $\pi$ 를 고정된 수로 보면 비 조건은 $\theta$ 에 대한 평범한 일차방정식이 됩니다.

[1] #7 7.G.B.4 세 원의 반지름이 $3$, $2$, $1$ 이므로 전체 그림은 반지름 $3$ 인 큰 원판 하나이고 전체 넓이는 $\pi(3)^2 = 9\pi$

[2] #4 7.RP.A.2 두 직선이 이루는 예각을 $\theta$ 라 합시다. 두 직선은 중심에서 만나 각 고리를 네 조각으로 자릅니다: 마주 보는 '좁은' 조각 두 개

[3] #1 7.EE.A.1 이제 색칠을 읽습니다. 바깥 고리에서는 좁은 조각이 색칠되어 $5\pi \cdot \frac{\theta}{\pi} = 5\theta$. 가운데

[4] #13 8.EE.C.7 색칠된 넓이가 색칠되지 않은 넓이의 $\frac{8}{13}$ 이므로 $3\pi + 3\theta = \frac{8}{13}\,(6\pi - 3

검토

합리성 확인: $\theta=\frac{\pi}{7}$ 을 다시 넣어 봅니다. 색칠 $=3\pi+3\cdot\frac{\pi}{7}=\frac{21\pi+3\pi}{7}=\frac{24\pi}{7}$. 안 색칠 $=6\pi-3\cdot\frac{\pi}{7}=\frac{42\pi-3\pi}{7}=\frac{39\pi}{7}$. 그 비는 $\frac{24\pi/7}{39\pi/7}=\frac{24}{39}=\frac{8}{13}$ 로 요구된 것과 정확히 같습니다. 또 색칠과 안 색칠의 합은 $\frac{24\pi}{7}+\frac{39\pi}{7}=\frac{63\pi}{7}=9\pi$ 로 원판 전체와 같으니 빠뜨리거나 중복 계산한 것이 없습니다.

대안 접근: 고리를 따로 보지 말고 원판 전체 합으로 풉니다. 색칠 : 안 색칠 $=8:13$ 이면 색칠은 전체 $21$ 부분 중 $8$ 부분이므로, 색칠은 전체의 $\frac{8}{8+13}=\frac{8}{21}$ 이어야 합니다. 그래서 색칠 $=\frac{8}{21}\cdot 9\pi=\frac{24\pi}{7}$. 앞의 식을 여기에 맞추면 $3\pi+3\theta=\frac{24\pi}{7}$, 즉 $3\theta=\frac{24\pi}{7}-\frac{21\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}$, 따라서 $\theta=\frac{\pi}{7}$ 로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (원 넓이의 뺄셈으로 전체 넓이 $9\pi$ 와 세 고리 넓이 $\pi$, $3\pi$, $5\pi$ 를 구하는 데 사용.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식·표현 (부채꼴 넓이가 각에 비례하므로 각 조각의 중심각을 넓이 비율로 바꾸는 데 사용: 좁은 조각은 고리의 $\frac{\theta}{\pi}$, 넓은 조각은 $\frac{\pi-\theta}{\pi}$.)
7.EE.A.1 일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 (세 색칠 조각 $5\theta+3(\pi-\theta)+\theta$ 를 $3\pi+3\theta$ 로 합치고 안 색칠 식 $6\pi-3\theta$ 를 만드는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 ($3\pi+3\theta=\frac{8}{13}(6\pi-3\theta)$ 를 풀어 $63\theta=9\pi$ 와 $\theta=\frac{\pi}{7}$ 에 이르는 데 사용.)

⭐ 조각들이 한 중심에서 만나면, 한 조각의 넓이는 그 각이 한 바퀴에서 차지하는 몫일 뿐이라, 각을 넓이로 바꾸고 방정식 하나로 마무리할 수 있습니다.