AMC 10 · 2004 · #22

학년 8 geometry-2d

tangent-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometry convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 $ABCD$ 의 한 변의 길이는 $2$ 입니다. 지름이 $\overline{AB}$ 인 반원이 정사각형 안에 그려져 있고, $C$ 에서 이 반원에 그은 접선이 변 $\overline{AD}$ 와 점 $E$ 에서 만납니다. $\overline{CE}$ 의 길이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$

(B)

$\sqrt{5}$

(C)

$\sqrt{6}$

(D)

$\frac{5}{2}$

(E)

$5-\sqrt{5}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 2입니다. 반원이 정사각형 안에 있고, 그 지름은 변 AB 위에 놓여 있습니다. 꼭짓점 C에서 반원에 딱 한 점에서만 닿도록(접하도록) 직선을 그으면, 그 직선이 변 AD와 점 E에서 만납니다. 선분 CE의 길이를 구하세요.

주어진 것: ABCD는 한 변의 길이가 2인 정사각형입니다.; 반원의 지름은 AB이므로, 중심은 AB의 중점이고 반지름은 1입니다.; 직선 CE는 반원에 접하며, 정확히 한 점에서만 닿습니다.; E는 변 AD 위에 있습니다.

구하는 것: 선분 CE의 길이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

정사각형을 좌표평면에 올려 놓으면 반원의 중심과 반지름이 정확한 수가 됩니다. 중심은 양쪽 세로 변에서 각각 1만큼 떨어져 있고, 이것이 바로 반지름이므로 변 BC와 변 AD는 이미 원에 닿아 있습니다. 그러면 CE는 이 그림에서 세 번째 접선이 되고, 두 접선 규칙(한 외부 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다)을 쓰면 CE를 이미 아는 길이를 복사한 두 조각으로 나눌 수 있습니다. 자유로운 길이 AE에 이름을 붙이면 정사각형 왼쪽의 직각삼각형이 하나의 방정식으로 바뀝니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

정사각형을 좌표평면에 놓기

A를 원점에, B를 (2,0)에, C를 (2,2)에, D를 (0,2)에 놓습니다.
반원의 지름은 AB이므로 중심 M은 AB의 중점인 (1,0)이고 반지름은 1입니다.
중심은 변 AD(직선 x = 0)에서 오른쪽으로 1, 변 BC(직선 x = 2)에서 왼쪽으로 1만큼 떨어져 있으며, 1은 정확히 반지름입니다.

$$A=(0,0),\; B=(2,0),\; C=(2,2),\; D=(0,2),\quad M=(1,0),\; r=1$$

💡 꼭짓점을 좌표로 고정하면 그림 속 모든 거리가 계산으로 바뀝니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

두 변이 이미 원에 닿아 있음을 알아채기

변 BC는 직선 x = 2를 따라 곧게 올라가며, 중심 M=(1,0)까지의 거리는 정확히 반지름인 1입니다.
그래서 BC는 반원에 한 점에서 닿고, 그 접점은 B 자신입니다.
같은 이유로 변 AD(직선 x = 0)도 원에 접하며 접점은 A입니다.

$$\text{dist}(M,\, x=2) = 1 = r,\qquad \text{dist}(M,\, x=0) = 1 = r$$

💡 중심에서 반지름만큼 떨어진 직선은 원을 딱 한 점에서 스치므로 접선입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.2 단계 3

C와 E에서 두 접선 규칙 쓰기

한 외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다.
중심으로 가는 선을 공유하는 두 개의 합동인 직각삼각형이 만들어지기 때문입니다.
꼭짓점 C에서 두 접선이 나갑니다: 변 CB와 직선 CE입니다.
CE가 원에 닿는 점을 F라고 하면 CF는 CB와 같아 2입니다.
E에서도 두 접선이 나갑니다: 변 AD의 일부인 EA와 선분 EF입니다.
그래서 EF는 EA와 같습니다.

$$CF = CB = 2,\qquad EF = EA$$

💡 한 점에서 나간 두 접선은 원까지 똑같은 거리로 닿습니다. 같은 손에서 팽팽하게 당긴 두 개의 같은 줄처럼요.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 4

CE를 2 더하기 AE로 쓰기

접점 F는 선분 CE 위에서 C와 E 사이에 있으므로, CE는 두 조각 CF와 FE의 합입니다.
CF를 2로, FE를 EA로 바꾸면 CE는 2 더하기 AE가 됩니다.
아직 모르는 길이 AE에 문자 e를 붙이면 CE = 2 + e입니다.

$$CE = CF + FE = 2 + EA = 2 + e$$

💡 수수께끼 같은 선분을 접점에서 자르면 각 조각이 이미 아는 길이를 복사합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

피타고라스 정리로 CE의 두 번째 식 구하기

직각이 꼭짓점 D에 있는 직각삼각형 CDE를 봅니다.
윗변 CD는 정사각형의 한 변 전체이므로 길이 2입니다.
왼쪽 변 DE는 변 AD에서 E 위에 남은 부분입니다: AE = e이고 AD = 2이므로 DE는 2 빼기 e입니다.
빗변은 CE이므로 피타고라스 정리에 의해 CE의 제곱은 2의 제곱 더하기 (2 빼기 e)의 제곱과 같습니다.

$$CE^2 = CD^2 + DE^2 = 2^2 + (2-e)^2$$

💡 같은 선분 CE가 이제 두 가지 설명을 가지므로, 둘을 일치시키면 e가 정해집니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 6

AE를 구한 뒤 CE 읽어내기

첫 번째 식을 제곱해서 두 CE 식을 같다고 놓습니다: (2 + e)의 제곱은 4 더하기 (2 빼기 e)의 제곱과 같습니다.
양변을 전개하면 e의 제곱 항이 사라지고 상수 4도 사라져서, 왼쪽의 4e가 오른쪽의 4 빼기 4e 더하기 4, 즉 8 빼기 4e와 같아집니다.
그래서 8e = 4가 되어 e = 1/2입니다.
그러면 CE = 2 + 1/2 = 5/2이고, 이는 보기 (D)입니다.

$$(2+e)^2 = 4 + (2-e)^2 \;\Rightarrow\; 4+4e = 8-4e \;\Rightarrow\; e=\tfrac12,\quad CE = 2+\tfrac12 = \tfrac52$$

💡 CE의 두 얼굴을 모두 적어 놓으면 미지수 하나짜리 방정식이 곧바로 떨어져 나옵니다.

[1] #1 6.G.A.3 A를 원점에, B를 (2,0)에, C를 (2,2)에, D를 (0,2)에 놓습니다. 반원의 지름은 AB이므로 중심 M은 AB의 중점인 (1,0)이

[2] #1 7.G.B.4 변 BC는 직선 x = 2를 따라 곧게 올라가며, 중심 M=(1,0)까지의 거리는 정확히 반지름인 1입니다. 그래서 BC는 반원에 한 점에서 닿

[3] #7 8.G.A.2 한 외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 중심으로 가는 선을 공유하는 두 개의 합동인 직각삼각형이 만들어지기 때문입니다. 꼭짓점

[4] #4 6.EE.B.6 접점 F는 선분 CE 위에서 C와 E 사이에 있으므로, CE는 두 조각 CF와 FE의 합입니다. CF를 2로, FE를 EA로 바꾸면 CE는 2

[5] #7 8.G.B.7 직각이 꼭짓점 D에 있는 직각삼각형 CDE를 봅니다. 윗변 CD는 정사각형의 한 변 전체이므로 길이 2입니다. 왼쪽 변 DE는 변 AD에서 E

[6] #4 8.EE.C.7 첫 번째 식을 제곱해서 두 CE 식을 같다고 놓습니다: (2 + e)의 제곱은 4 더하기 (2 빼기 e)의 제곱과 같습니다. 양변을 전개하면 e

검토

합리성 확인: 꼭짓점에서 직접 길이를 확인해 봅니다: E = (0, 1/2)이고 C = (2,2)이므로 CE의 제곱은 2^2 + (3/2)^2 = 4 + 9/4 = 25/4이고 CE = 5/2입니다. 일치합니다. 또한 CE가 정사각형의 한 변(2)보다 조금 길고 대각선(약 2.83)보다는 짧은 것이 자연스러우며, 5/2 = 2.5는 그 사이에 딱 들어갑니다. 접선 검산으로도 조각들이 맞습니다: CB = 2와 EA = 1/2를 더하면 2.5입니다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 접선 길이만 씁니다. BC와 AD가 접선이므로(각 변이 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로) 두 접선 규칙에 의해 CE = CB + AE = 2 + AE입니다. 그러면 직각삼각형 CDE에서 CD = 2, DE = 2 - AE이므로 (2 + AE)^2 = 2^2 + (2 - AE)^2가 되고, 풀면 AE = 1/2, CE = 5/2입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 좌표평면에서 꼭짓점 좌표가 주어진 다각형 그리기 (정사각형의 꼭짓점을 좌표평면에 놓아 반원의 중심 (1,0)과 반지름 1을 정확하게 만들기.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (반지름을 이용해, 중심에서 각각 반지름만큼 떨어진 변 BC와 AD가 반원에 접함을 알아내기.)
8.G.A.2 변환을 이용하여 두 평면도형이 합동임을 이해하기 (외부 점에서 나온 두 개의 합동인 직각삼각형을 통해 두 접선 규칙(CF = CB, EF = EA)을 정당화하기.)
6.EE.B.6 문제 해결을 위해 변수로 수를 나타내고 식 쓰기 (AE를 e로 이름 붙이고 CE = 2 + e로 쓰기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 미지의 변의 길이 구하기 (직각삼각형 CDE에서 CE의 제곱을 2의 제곱 더하기 (2 - e)의 제곱으로 쓰기.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (CE의 두 식을 같다고 놓고 8e = 4를 풀어 e = 1/2 구하기.)

⭐ 직선이 원을 살짝 스칠 때는 접점에서 잘라 같은 접선 길이를 복사하고, 그 다음 피타고라스 정리로 마무리하세요.