AMC 10 · 2004 · #22
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
정사각형을 좌표평면에 올려 놓으면 반원의 중심과 반지름이 정확한 수가 됩니다. 중심은 양쪽 세로 변에서 각각 1만큼 떨어져 있고, 이것이 바로 반지름이므로 변 BC와 변 AD는 이미 원에 닿아 있습니다. 그러면 CE는 이 그림에서 세 번째 접선이 되고, 두 접선 규칙(한 외부 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다)을 쓰면 CE를 이미 아는 길이를 복사한 두 조각으로 나눌 수 있습니다. 자유로운 길이 AE에 이름을 붙이면 정사각형 왼쪽의 직각삼각형이 하나의 방정식으로 바뀝니다.
정사각형을 좌표평면에 놓기
A=(0,0), B=(2,0), C=(2,2), D=(0,2)로 놓으면 반원의 중심 M은 (1,0), 반지름은 1입니다.
꼭짓점을 좌표로 고정하면 그림 속 모든 거리가 계산으로 바뀝니다.
6.G.A.3Draw A Diagram두 변이 이미 원에 닿아 있음을 알아채기
M에서 직선 x = 2와 x = 0까지 거리가 딱 반지름 1이므로, 변 BC와 AD는 각각 B, A에서 접합니다.
중심에서 반지름만큼 떨어진 직선은 원을 딱 한 점에서 스치므로 접선입니다.
7.G.B.4Draw A DiagramC와 E에서 두 접선 규칙 쓰기
한 점에서 그은 두 접선은 길이가 같습니다. 접점을 F라 하면 CF = CB = 2, EF = EA입니다.
한 점에서 나간 두 접선은 원까지 똑같은 거리로 닿습니다. 같은 손에서 팽팽하게 당긴 두 개의 같은 줄처럼요.
한 점에서 그은 두 접선은 원에 같은 거리로 닿는데, 팽팽히 당긴 같은 두 줄과 같다.
▸ 왜?
접선은 접점에서 반지름과 직각으로 만나므로, 각 접선이 직각삼각형의 한 변이 된다.
▸ 왜?
그 직각삼각형들은 빗변과 반지름을 공유하므로, 남은 변이 같을 수밖에 없다.
CE를 2 더하기 AE로 쓰기
F는 C와 E 사이에 있으므로 CE = CF + FE입니다. AE를 e라 하면 CE = 2 + e입니다.
수수께끼 같은 선분을 접점에서 자르면 각 조각이 이미 아는 길이를 복사합니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable피타고라스 정리로 CE의 두 번째 식 구하기
직각삼각형 CDE에서 두 변은 CD = 2, DE = 2 - e이므로 CE² = 2² + (2 - e)²입니다.
같은 선분 CE가 이제 두 가지 설명을 가지므로, 둘을 일치시키면 e가 정해집니다.
8.G.B.7Identify SubproblemsAE를 구한 뒤 CE 읽어내기
제곱하면 (2+e)² = 4 + (2-e)²이므로 e = 1/2, 따라서 CE = 2 + 1/2 = 5/2 (보기 D).
CE의 두 얼굴을 모두 적어 놓으면 미지수 하나짜리 방정식이 곧바로 떨어져 나옵니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable직선이 원을 살짝 스칠 때는 접점에서 잘라 같은 접선 길이를 복사하고, 그 다음 피타고라스 정리로 마무리하세요.
- 정사각형을 좌표평면에 놓기
- 두 변이 이미 원에 닿아 있음을 알아채기
- C와 E에서 두 접선 규칙 쓰기
- CE를 2 더하기 AE로 쓰기
- 피타고라스 정리로 CE의 두 번째 식 구하기
- AE를 구한 뒤 CE 읽어내기