AMC 10 · 2004 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

원 $A$ , $B$ , $C$ 는 서로 외접하고, 모두 원 $D$ 에 내접합니다. 원 $B$ 와 $C$ 는 합동입니다. 원 $A$ 는 반지름이 $1$ 이고 원 $D$ 의 중심을 지납니다. 원 $B$ 의 반지름은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac23$

(B)

$\frac {\sqrt3}{2}$

(C)

$\frac78$

(D)

$\frac89$

(E)

$\frac {1 + \sqrt3}{3}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 원 $A$, $B$, $C$는 서로 바깥에서 맞닿고, 모두 큰 원 $D$ 안에 들어가 안쪽에서 $D$와 맞닿는다. 원 $B$와 $C$는 크기가 같다. 원 $A$는 반지름이 $1$이고 그 둘레가 원 $D$의 중심을 지난다. 원 $B$의 반지름을 구하여라.

주어진 것: 원 $A$, $B$, $C$는 서로 외접한다(각 쌍이 한 점에서 맞닿고, 그 점을 사이에 두고 중심이 양쪽에 있다).; 원 $A$, $B$, $C$는 각각 원 $D$에 내접한다(안쪽에서 $D$와 맞닿는다).; 원 $B$와 $C$는 합동이므로 반지름이 같다.; 원 $A$는 반지름이 $1$이고 원 $D$의 중심을 지난다.; 선택지: (A) $\frac23$, (B) $\frac{\sqrt3}{2}$, (C) $\frac78$, (D) $\frac89$, (E) $\frac{1+\sqrt3}{3}$.

구하는 것: 원 $B$의 반지름(원 $C$의 반지름과 같다).

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 모든 사실은 원 중심들 사이의 거리에 관한 것이므로, 중심들을 좌표평면에 놓고(도구 #1) $B$의 모르는 반지름을 문자 $r$로 부르는 것(도구 #4)이 계획이다. 접함은 각 '맞닿음'을 깔끔한 거리 식으로 바꾼다. 두 중심 사이 거리는 바깥에서 맞닿으면 반지름의 합, 하나가 안에 있으면 반지름의 차이다. 먼저 작은 문제(도구 #7)로 '$A$가 $D$의 중심을 지난다'는 단서에서 큰 원 $D$의 크기를 정한다. 그다음 원 $B$에 대한 두 접함 식 — 하나는 $D$와, 하나는 $A$와 — 그리고 $B$의 높이를 정해 주는 상하 대칭까지 합치면 $r$을 풀기에 충분한 식이 나온다. 두 원의 식을 빼는 것이 핵심 수법이다. 제곱 항들이 약분되어 간단한 직선이 남고, 그것이 곧바로 $r$에 대한 하나의 식으로 이어진다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

큰 원의 반지름 구하기

원 $A$는 반지름이 $1$이고 원 $D$의 중심을 지난다.
$D$의 중심에서 출발하자.
그 점은 원 $A$ 위에 있으므로 $A$의 중심에서 정확히 $1$만큼 떨어져 있다.
같은 방향으로 계속 가서 원 $A$의 반대쪽 끝까지 가면 반지름 하나만큼 더 가므로, 그 먼 점은 $D$의 중심에서 $2$만큼 떨어져 있다.
원 $A$는 바로 그 먼 점에서 안쪽으로 $D$와 맞닿으므로, 그 점은 원 $D$ 위에도 있다.
따라서 $D$의 반지름은 $2$이다.

$$R_D = 2 \times r_A = 2 \times 1 = 2$$

💡 원의 지름은 반지름 두 개 길이이므로, 큰 원의 중심까지 닿는 작은 원은 지름 하나만큼 뻗어 반대쪽 둘레에 맞닿는다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 2

좌표를 세우고 반지름에 이름 붙이기

원 $D$의 중심을 원점 $(0,0)$에 놓는다.
원 $A$의 중심은 그로부터 $1$만큼 떨어져 있으므로 $(-1,0)$에 놓는다.
원 $B$의 반지름을 $r$, 그 중심을 점 $(x,y)$라 하자.
원 $C$는 가로축에 대한 $B$의 거울상이므로 중심은 $(x,-y)$이고 반지름은 같은 $r$이다.
이제 모든 접함이 $x$, $y$, $r$에 대한 식이 된다.

$$D=(0,0),\ R_D=2;\quad A=(-1,0),\ r_A=1;\quad B=(x,y),\ r_B=r$$

💡 중심들을 격자에 고정하면 '맞닿음'과 '안에 있음'이 좌표로 잴 수 있는 거리로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 3

B에 대한 두 접함 식 쓰기

원 $B$는 $D$ 안에 들어가 맞닿으므로, $(0,0)$에서 $(x,y)$까지의 거리는 반지름의 차 $2-r$이다.
원 $B$는 원 $A$와 바깥에서 맞닿으므로, $(-1,0)$에서 $(x,y)$까지의 거리는 반지름의 합 $1+r$이다.
거리 공식(제곱한 형태)을 쓰면 두 식이 나온다.

$$x^2+y^2=(2-r)^2 \qquad (x+1)^2+y^2=(1+r)^2$$

💡 안에서 맞닿으면 중심들이 반지름의 차만큼 가깝고, 바깥에서 맞닿으면 반지름의 합만큼 멀다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 4

빼서 x 구하고, 대칭으로 y 구하기

첫 식을 둘째 식에서 뺀다.
$y^2$ 항이 약분되고 $x^2$ 항도 약분되어 직선 하나가 남는다: $(2x+1) = (1+r)^2-(2-r)^2 = 6r-3$, 따라서 $x = 3r-2$이다.
다음으로 원 $B$와 $C$는 서로 맞닿는다.
두 중심 $(x,y)$와 $(x,-y)$는 $2y$만큼 떨어져 있고, 바깥에서 맞닿으므로 그 간격이 $r+r=2r$과 같다.
그래서 $2y=2r$, 즉 $y=r$이다.

$$2x+1 = 6r-3 \Rightarrow x = 3r-2; \qquad 2y = 2r \Rightarrow y = r$$

💡 두 원의 식을 빼면 제곱된 미지수가 지워지고 깔끔한 직선 관계 하나만 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

대입해서 r 풀기

$x=3r-2$와 $y=r$을 첫 접함 식 $x^2+y^2=(2-r)^2$에 넣는다.
전개하면 $(3r-2)^2+r^2 = 9r^2-12r+4+r^2 = 10r^2-12r+4$이고, $(2-r)^2 = r^2-4r+4$이다.
두 식을 같다고 놓고 약분하면 $10r^2-12r+4 = r^2-4r+4$, 즉 $9r^2-8r=0$, 곧 $r(9r-8)=0$이다.
$r$은 실제 반지름이므로 $0$일 수 없어 $9r-8=0$, 따라서 $r=\frac89$이다.
이것이 선택지 (D)다.

$$(3r-2)^2+r^2=(2-r)^2 \Rightarrow 9r^2-8r=0 \Rightarrow r=\tfrac89$$

💡 두 변끼리의 관계를 원 식 하나에 되먹이면 미지수 하나짜리 식만 남고, 그 양의 해가 곧 반지름이다.

[1] #7 7.G.B.4 원 $A$는 반지름이 $1$이고 원 $D$의 중심을 지난다. $D$의 중심에서 출발하자. 그 점은 원 $A$ 위에 있으므로 $A$의 중심에서 정

[2] #4 8.G.B.8 원 $D$의 중심을 원점 $(0,0)$에 놓는다. 원 $A$의 중심은 그로부터 $1$만큼 떨어져 있으므로 $(-1,0)$에 놓는다. 원 $B$의

[3] #4 8.G.B.8 원 $B$는 $D$ 안에 들어가 맞닿으므로, $(0,0)$에서 $(x,y)$까지의 거리는 반지름의 차 $2-r$이다. 원 $B$는 원 $A$와

[4] #7 8.EE.C.7 첫 식을 둘째 식에서 뺀다. $y^2$ 항이 약분되고 $x^2$ 항도 약분되어 직선 하나가 남는다: $(2x+1) = (1+r)^2-(2-r)^

[5] #4 8.EE.C.7 $x=3r-2$와 $y=r$을 첫 접함 식 $x^2+y^2=(2-r)^2$에 넣는다. 전개하면 $(3r-2)^2+r^2 = 9r^2-12r+4+

검토

합리성 확인: 반지름 $r=\frac89$을 그림과 대조하자. 그러면 $x=3r-2=\frac23$, $y=r=\frac89$이므로 $B$의 중심은 $(\frac23,\frac89)$이다. $D$의 중심까지 거리: $\sqrt{(\frac23)^2+(\frac89)^2}=\sqrt{\frac{100}{81}}=\frac{10}{9}=2-\frac89$로, 안쪽 맞닿음과 일치한다. $A$의 중심 $(-1,0)$까지 거리: $\sqrt{(\frac53)^2+(\frac89)^2}=\sqrt{\frac{289}{81}}=\frac{17}{9}=1+\frac89$로, 바깥쪽 맞닿음과 일치한다. 두 접함 조건이 모두 성립하므로 $\frac89$이 맞다. 눈대중으로도 통과한다. $B$는 $A$(반지름 $1$)보다 조금 작고, $\frac89$은 $1$보다 살짝 작다. 함정 답 (C) $\frac78$은 가깝지만 거리 검산에서 어긋나고, (B)와 (E)의 $\sqrt3$은 주어진 반지름 $1$을 쓰면 아예 나타나지 않는다.

대안 접근: 좌표를 건너뛰고 직각삼각형을 직접 쓴다. 세 중심을 $O$, $A$, $B$라 하고, $B$에서 직선 $OA$에 수선을 내려 발을 $M$이라 하자. 대칭에 의해 $B$와 $C$의 접점이 그 직선 위에 있으므로 $BM=r$이다. 직각삼각형 $OMB$에서 $OM^2+r^2=(2-r)^2$. 직각삼각형 $AMB$에서 $AM^2+r^2=(1+r)^2$이고 $AM=OM+1$이다. 이 두 식을 빼면 $r^2$과 $BM$ 변이 사라져 $OM=\frac23$이 나오고, 되대입하면 $9r^2-8r=0$, $r=\frac89$ — 피타고라스 방식으로도 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (지름이 반지름의 두 배라는 사실로, $A$가 $D$의 중심에 닿으므로 원 $D$의 반지름이 $2$임을 아는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (각 접함을 좌표 격자 위 중심 사이 거리 식으로 바꾸는 데 사용($x^2+y^2=(2-r)^2$과 $(x+1)^2+y^2=(1+r)^2$).)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (원 식을 빼서 $x=3r-2$와 $y=r$을 얻고, $9r^2-8r=0$을 풀어 $r=\frac89$까지 내려가는 데 사용.)

⭐ 원들이 맞닿을 때 두 중심 사이 거리는 반지름의 합 또는 차일 뿐이다. 중심들을 격자에 놓으면 모든 '맞닿음'이 풀 수 있는 식이 된다.