AMC 10 · 2004 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
tangent-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
세 원 A, B, C는 서로 바깥에서 맞닿고, 모두 큰 원 D 안에 들어가 안쪽에서 D와 맞닿는다. 원 B와 C는 크기가 같다. 원 A는 반지름이 1이고, 그 둘레가 원 D의 중심을 지난다. 원 B의 반지름을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac23$
(B)
$\frac {\sqrt3}{2}$
(C)
$\frac78$
(D)
$\frac89$
(E)
$\frac {1 + \sqrt3}{3}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 문제의 모든 사실은 원 중심들 사이의 거리에 관한 것이므로, 중심들을 좌표평면에 놓고(도구 #1) B의 모르는 반지름을 문자 r로 부르는 것(도구 #4)이 계획이다. 접함은 각 '맞닿음'을 깔끔한 거리 식으로 바꾼다. 두 중심 사이 거리는 바깥에서 맞닿으면 반지름의 합, 하나가 안에 있으면 반지름의 차이다. 먼저 작은 문제(도구 #7)로 'A가 D의 중심을 지난다'는 단서에서 큰 원 D의 크기를 정한다. 그다음 원 B에 대한 두 접함 식 — 하나는 D와, 하나는 A와 — 그리고 B의 높이를 정해 주는 상하 대칭까지 합치면 r을 풀기에 충분한 식이 나온다. 두 원의 식을 빼는 것이 핵심 수법이다. 제곱 항들이 약분되어 간단한 직선이 남고, 그것이 곧바로 r에 대한 하나의 식으로 이어진다.

1STEP 1

큰 원의 반지름 구하기

A의 둘레가 D의 중심에 닿으므로 A의 지름이 그 중심에서 D의 둘레까지 뻗는다. 큰 원 D는 반지름 2이다.

R_D = 2 × r_A = 2 × 1 = 2
2STEP 2

좌표를 세우고 반지름에 이름 붙이기

D를 원점 (0,0)에, A를 (-1,0)에 놓자. B의 반지름을 r, 중심을 (x,y)라 하면 C의 중심은 거울상 (x,-y)이다.

D=(0,0), R_D=2; A=(-1,0), r_A=1; B=(x,y), r_B=r
3STEP 3

B에 대한 두 접함 식 쓰기

B는 D에 내접하니 (0,0)까지 거리가 2-r, A에 외접하니 (-1,0)까지 거리가 1+r이다.

x²+y²=(2-r)² (x+1)²+y²=(1+r)²
4STEP 4

빼서 x 구하고, 대칭으로 y 구하기

제곱한 두 식을 빼면 x²과 y²이 지워져 x = 3r-2, B와 C가 맞닿으니 2y = 2r, 즉 y = r이다.

2x+1 = 6r-3 → x = 3r-2; 2y = 2r → y = r
5STEP 5

대입해서 r 풀기

이를 x²+y²=(2-r)²에 넣으면 9r²-8r=0으로 줄고, 반지름은 0일 수 없으니 r = 8/9, 곧 (D)이다.

(3r-2)²+r²=(2-r)² → 9r²-8r=0 → r=8/9
정답
8/9
반지름 r=8/9을 그림과 대조하자. 그러면 x=3r-2=2/3, y=r=8/9이므로 B의 중심은 (2/3,8/9)이다. D의 중심까지 거리: √((2/3)²+(8/9)²)=√(100/81)=10/9=2-8/9로, 안쪽 맞닿음과 일치한다. A의 중심 (-1,0)까지 거리: √((5/3)²+(8/9)²)=√(289/81)=17/9=1+8/9로, 바깥쪽 맞닿음과 일치한다. 두 접함 조건이 모두 성립하므로 8/9이 맞다. 눈대중으로도 통과한다. B는 A(반지름 1)보다 조금 작고, 8/9은 1보다 살짝 작다. 함정 답 (C) 7/8은 가깝지만 거리 검산에서 어긋나고, (B)와 (E)의 √3은 주어진 반지름 1을 쓰면 아예 나타나지 않는다.
💡핵심 정리

원들이 맞닿을 때 두 중심 사이 거리는 반지름의 합 또는 차일 뿐이다. 중심들을 격자에 놓으면 모든 '맞닿음'이 풀 수 있는 식이 된다.

  • 큰 원의 반지름 구하기
  • 좌표를 세우고 반지름에 이름 붙이기
  • B에 대한 두 접함 식 쓰기
  • 빼서 x 구하고, 대칭으로 y 구하기
  • 대입해서 r 풀기

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