AMC 10 · 2004 · #25

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremtangent-circlescentroid-2-to-1 physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

반지름이 1인 공 세 개가 평평한 바닥 위에 서로 맞닿은 채 놓여 있다. 그 위에 반지름이 2인 더 큰 공이 세 공에 얹혀 있다. 바닥에서 큰 공의 가장 높은 점까지의 높이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3 + \frac {\sqrt {30}}{2}$

(B)

$\ 3 + \frac {\sqrt {69}}{3}$

(C)

$\ 3 + \frac {\sqrt {123}}{4}$

(D)

$\ \frac {52}{9}$

(E)

$\ 3 + 2\sqrt2$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

구 자체로는 다루기 어렵지만, 중심들만 이으면 간단한 사면체가 된다. 세 작은 중심이 이루는 정삼각형이 밑면이고 큰 중심이 꼭짓점이다. 이 뼈대를 떠올리면 3차원 문제가 평면 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 각각 피타고라스 정리로 풀린다. 전체 높이를 세 조각(밑면 중심 높이, 꼭짓점까지의 수직 상승, 위쪽 반지름)으로 쌓아 나누면 모든 단계가 작아진다.

1STEP 1

네 중심을 잇기

각 공을 중심으로 바꾸면, 세 작은 중심은 높이 1에서 한 변이 2인 정삼각형을 이루고 큰 중심은 각각에서 3만큼 떨어진다.

d_작은-작은 = 1 + 1 = 2, d_작은-큰 = 1 + 2 = 3

2STEP 2

밑면 삼각형의 외접반지름

한 변이 2인 삼각형의 중선은 $\sqrt{3}$ 이고, 무게중심은 그 중선의 3분의 2 지점이므로 외접반지름의 제곱은 $\frac{4}{3}$ 이다.

R = 2/3√3 = 2/√3 = 2√3/3, R² = 4/3

3STEP 3

위쪽 중심까지의 수직 상승

큰 중심, 무게중심, 한 작은 중심이 이루는 직각삼각형에서 빗변은 3, 수평 변은 $R$ 이므로 상승은 $h=\sqrt{\frac{23}{3}}$ 이다.

h = √(3² - R²) = √(9 - 4/3) = √(23/3)

4STEP 4

세 높이를 쌓기

유리화하면 $h=\frac{\sqrt{69}}{3}$ 이고, 바닥에서 중심까지 1, 상승 $h$ , 반지름 2를 쌓으면 $3+\frac{\sqrt{69}}{3}$ , 즉 (B)이다.

h = √(23/3) = √(23)/√3 = √(69)/3, 1 + √(69)/3 + 2 = 3 + √(69)/3

정답

3 + √(69)/3

수치로는

3 + \frac{\sqrt{69}}{3} \approx 3 + 2.77 = 5.77

이다. 이는 3보다 크고(큰 중심의 반지름과 밑면 높이만으로 이미 3을 넘는다) 6보다 작으므로(수직 상승이 3 미만) 타당한 범위에 든다. 모든 선택지가 약 5.74에서 5.83 사이에 몰려 있어, 오직 정확한 계산

h^2 = \frac{23}{3}

만이 이웃한 값이 아닌 (B)로 확정한다.

💡핵심 정리

구를 그 중심으로 바꾸면, 무서운 3차원 쌓기가 피타고라스 정리로 푸는 평면 직각삼각형 두 개가 된다.

네 중심을 잇기
밑면 삼각형의 외접반지름
위쪽 중심까지의 수직 상승
세 높이를 쌓기

네 중심을 잇기

밑면 삼각형의 외접반지름

위쪽 중심까지의 수직 상승

세 높이를 쌓기

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