AMC 10 · 2004 · #25

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremtangent-circlescentroid-2-to-1 physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

반지름이 $1$ 인 세 구가 수평면 위에서 서로 접한 채 놓여 있습니다. 반지름이 $2$ 인 구가 그 위에 얹혀 있습니다. 평면에서 큰 구의 가장 높은 점까지의 거리는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 3 + \frac {\sqrt {30}}{2}$

(B)

$\ 3 + \frac {\sqrt {69}}{3}$

(C)

$\ 3 + \frac {\sqrt {123}}{4}$

(D)

$\ \frac {52}{9}$

(E)

$\ 3 + 2\sqrt2$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 1인 공 세 개가 평평한 바닥 위에 서로 맞닿은 채 놓여 있다. 그 위에 반지름이 2인 더 큰 공이 세 공에 얹혀 있다. 바닥에서 큰 공의 가장 높은 점까지의 높이를 구하라.

주어진 것: 반지름 1인 구 세 개가 수평면 위에 놓여 있고 서로 접한다.; 반지름 2인 구가 세 작은 구 위에 얹혀 있다.; 접하는 두 구는 맞닿으므로, 두 구의 중심 사이 거리는 두 반지름의 합과 같다.

구하는 것: 평면에서 반지름 2인 구의 가장 높은 점까지의 수직 거리.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

구 자체로는 다루기 어렵지만, 중심들만 이으면 간단한 사면체가 된다. 세 작은 중심이 이루는 정삼각형이 밑면이고 큰 중심이 꼭짓점이다. 이 뼈대를 떠올리면 3차원 문제가 평면 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 각각 피타고라스 정리로 풀린다. 전체 높이를 세 조각(밑면 중심 높이, 꼭짓점까지의 수직 상승, 위쪽 반지름)으로 쌓아 나누면 모든 단계가 작아진다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 7.G.A.2 단계 1

네 중심을 잇기

각 구를 그 중심으로 바꾼다.
세 작은 중심은 각각 바닥에서 1 높이에 있고 서로 2만큼 떨어져 있으므로, 높이 1인 수평면 위에서 한 변이 2인 정삼각형을 이룬다.
큰 중심은 모든 작은 중심에서 3만큼 떨어져 있고, 대칭성에 의해 삼각형의 중심 바로 위에 떠 있다.

d_{\text{작은-작은}} = 1 + 1 = 2, \qquad d_{\text{작은-큰}} = 1 + 2 = 3

💡 두 공은 그 중심 사이 거리가 반지름의 합과 같을 때 정확히 맞닿는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

밑면 삼각형의 외접반지름

각 작은 중심이 큰 중심 바로 아래 무게중심에서 얼마나 떨어져 있는지 구한다.
한 변이 2인 정삼각형에서 중선의 길이는 $\sqrt3$이고, 무게중심은 각 중선을 꼭짓점에서 3분의 2 지점에 있다.
따라서 꼭짓점에서 무게중심까지의 거리(외접반지름)는 $\sqrt3$의 3분의 2이다.

$$R = \tfrac{2}{3}\sqrt3 = \frac{2}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt3}{3}, \qquad R^2 = \frac{4}{3}$$

💡 정삼각형의 중심은 각 중선을 꼭짓점에서 3분의 2 내려온 지점에 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

위쪽 중심까지의 수직 상승

큰 중심, 무게중심, 그리고 한 작은 중심을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 본다.
빗변(중심에서 중심까지)은 3, 수평 변은 R, 수직 변이 구하려는 상승 $h$이다.
피타고라스 정리를 적용해 $h$를 구한다.

$$h = \sqrt{3^2 - R^2} = \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} = \sqrt{\tfrac{23}{3}}$$

💡 중심에서 중심까지의 선분이 빗변이고, 그 수평·수직 그림자가 두 변이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

세 높이를 쌓기

큰 구의 꼭대기는 밑면 중심 높이(1)에 큰 중심까지의 수직 상승($h$), 그리고 큰 구 자신의 반지름(2)을 더한 값이다.
$h$를 유리화하여 더한다.
합은 정답 (B)와 일치한다.

$$h = \sqrt{\tfrac{23}{3}} = \frac{\sqrt{23}}{\sqrt3} = \frac{\sqrt{69}}{3}, \qquad 1 + \frac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \frac{\sqrt{69}}{3}$$

💡 전체 높이는 바닥에서 중심, 중심에서 중심, 중심에서 꼭대기 반지름, 이 세 조각을 쌓은 것일 뿐이다.

[1] #17 7.G.A.2 각 구를 그 중심으로 바꾼다. 세 작은 중심은 각각 바닥에서 1 높이에 있고 서로 2만큼 떨어져 있으므로, 높이 1인 수평면 위에서 한 변이 2

[2] #7 8.G.B.7 각 작은 중심이 큰 중심 바로 아래 무게중심에서 얼마나 떨어져 있는지 구한다. 한 변이 2인 정삼각형에서 중선의 길이는 $\sqrt3$이고,

[3] #7 8.G.B.7 큰 중심, 무게중심, 그리고 한 작은 중심을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 본다. 빗변(중심에서 중심까지)은 3, 수평 변은 R, 수직 변이 구하

[4] #7 8.EE.A.2 큰 구의 꼭대기는 밑면 중심 높이(1)에 큰 중심까지의 수직 상승($h$), 그리고 큰 구 자신의 반지름(2)을 더한 값이다. $h$를

검토

합리성 확인: 수치로는 $3 + \tfrac{\sqrt{69}}{3} \approx 3 + 2.77 = 5.77$이다. 이는 3보다 크고(큰 중심의 반지름과 밑면 높이만으로 이미 3을 넘는다) 6보다 작으므로(수직 상승이 3 미만) 타당한 범위에 든다. 모든 선택지가 약 5.74에서 5.83 사이에 몰려 있어, 오직 정확한 계산 $h^2 = 23/3$만이 이웃한 값이 아닌 (B)로 확정한다.

대안 접근: 좌표를 놓는다. 세 작은 중심을 높이 1에 두고 하나를 (0,0,1)에, 무게중심을 큰 중심 아래에 둔다. 큰 중심을 (x_c, y_c, 1+h)로 두고(여기서 (x_c,y_c)는 무게중심) '큰 중심에서 작은 중심까지의 거리 = 3'이라는 식을 세운다. 이 하나의 거리 방정식을 풀면 다시 h = \sqrt{23/3}이 나오고, 여기에 1과 2를 더하면 같은 합이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 주어진 조건으로 도형 그리기 (접하는 조건(중심이 2 떨어지고 3 떨어짐)으로 네 구의 중심을 배치하기.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용하기 (밑면 삼각형의 외접반지름과 밑면 평면에서 큰 중심까지의 수직 상승을 구하기.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타내기 ($\sqrt{23/3}$을 $\sqrt{69}/3$로 유리화하고 최종 높이를 조립하기.)

⭐ 구를 그 중심으로 바꾸면, 무서운 3차원 쌓기가 피타고라스 정리로 푸는 평면 직각삼각형 두 개가 된다.