AMC 10 · 2004 · #4

학년 7 algebra

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absolute-valuelinear-equations-one-var physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$|x-1|=|x-2|$ 일 때 $x$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac12$

(B)

$\frac12$

(C)

(D)

$\frac32$

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$까지의 거리와 $2$까지의 거리가 같은 수 $x$를 구하여라. 이를 식으로 쓰면 $|x-1|=|x-2|$이다.

주어진 것: 식 $|x-1|=|x-2|$가 성립해야 한다.; $x$는 실수이다.; 보기: (A) $-\frac12$, (B) $\frac12$, (C) $1$, (D) $\frac32$, (E) $2$

구하는 것: 두 절댓값을 같게 만드는 $x$의 값.

이해

문제 재정리: $1$까지의 거리와 $2$까지의 거리가 같은 수 $x$를 구하여라. 이를 식으로 쓰면 $|x-1|=|x-2|$이다.

주어진 것: 식 $|x-1|=|x-2|$가 성립해야 한다.; $x$는 실수이다.; 보기: (A) $-\frac12$, (B) $\frac12$, (C) $1$, (D) $\frac32$, (E) $2$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #4 변수 도입하기

두 절댓값은 수직선 위의 거리로 읽으라고 손짓하고 있다(도구 #1). $|x-1|$은 $x$가 $1$에서 얼마나 떨어져 있는지, $|x-2|$는 $2$에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 이 두 거리를 같게 하고 싶다는 것은 대수 문제를 한 줄짜리 기하 사실로 바꾼다. 즉, $1$과 $2$에서 같은 거리에 있는 점은 그 둘의 한가운데 점이다. 그 다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보를 다시 대입해 확인하고, 도구 #4(변수 도입하기)로 양변을 제곱하는 순수 대수적 교차 검증을 한다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.NS.A.1 단계 1

각 변을 거리로 읽기

수직선에서 $|x-1|$은 $x$와 $1$ 사이의 거리를, $|x-2|$는 $x$와 $2$ 사이의 거리를 나타낸다.
따라서 식 $|x-1|=|x-2|$는 $x$가 $1$에서 떨어진 거리와 $2$에서 떨어진 거리가 같다는 뜻이다.
수직선에 $1$과 $2$를 찍고, 두 간격이 같아지는 자리에 $x$가 있다고 그려 보자.

$$|x-1| = \text{거리}(x,1), \qquad |x-2| = \text{거리}(x,2)$$

💡 수직선에서 두 수 사이의 거리는 그 차의 절댓값이다.

#1 그림 그리기 5.NF.B.3 단계 2

같은 거리에 있는 점은 중점

$1$과 $2$에서 똑같이 떨어져 있는 점은 반드시 그 둘의 정확히 한가운데에 있어야 한다.
두 수의 한가운데 점은 그 둘의 평균이므로 $x = \frac{1+2}{2}$를 계산한다.
더하면 $3$, $2$로 나누면 $\frac32$이다.
따라서 $x=\frac32$이다.

$$x = \dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2}$$

💡 수직선에서 두 지점의 한가운데는 두 수의 평균일 뿐이다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.7 단계 3

확인하고 보기 고르기

$x=\frac32$을 원래 식에 대입해 확인하자.
좌변은 $\left|\frac32-1\right| = \left|\frac12\right| = \frac12$이고, 우변은 $\left|\frac32-2\right| = \left|-\frac12\right| = \frac12$이다.
두 변이 일치하므로 $\frac32$은 정말로 $1$과 $2$에서 같은 거리에 있다.
이 값은 보기 (D)이다.

$$\left|\tfrac32-1\right| = \tfrac12 = \left|\tfrac32-2\right| \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 후보를 다시 대입해 양변의 길이가 같게 나오면 답이 확인된다.

[1] #1 7.NS.A.1 수직선에서 $|x-1|$은 $x$와 $1$ 사이의 거리를, $|x-2|$는 $x$와 $2$ 사이의 거리를 나타낸다. 따라서 식 $|x-1|=|x

[2] #1 5.NF.B.3 $1$과 $2$에서 똑같이 떨어져 있는 점은 반드시 그 둘의 정확히 한가운데에 있어야 한다. 두 수의 한가운데 점은 그 둘의 평균이므로 $x =

[3] #6 6.NS.C.7 $x=\frac32$을 원래 식에 대입해 확인하자. 좌변은 $\left|\frac32-1\right| = \left|\frac12\right|

검토

합리성 확인: 답은 반드시 $1$과 $2$ 사이에 놓여야 한다. 두 끝점에서 똑같이 떨어지려면 그 간격 안쪽의 점이어야 하기 때문이다. 이 사실만으로 (A) $-\frac12$, (B) $\frac12$, (C) $1$, (E) $2$가 모두 배제된다. 이들은 끝점 위에 있거나 바깥에 있다. 오직 (D) $\frac32$만이 한가운데에 놓이고, $\frac32=1.5$은 정확히 절반 지점이므로 답이 타당하다.

대안 접근: 순수 대수로 풀 수도 있다. $|x-1|=|x-2|$의 양변은 음수가 아니므로 제곱해도 안전하다. $(x-1)^2=(x-2)^2$에서 $x^2-2x+1 = x^2-4x+4$가 된다. $x^2$ 항이 소거되어 $-2x+1 = -4x+4$가 남고, $2x = 3$, 즉 $x=\frac32$이다. 다른 방법으로도 같은 $\frac32$에 도달하므로 (D)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers ($|x-1|$과 $|x-2|$을 $x$에서 $1$까지, $x$에서 $2$까지의 거리로 읽기 — 두 수 사이의 거리는 그 차의 절댓값이다.)
5.NF.B.3 Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator (중점을 평균 $\frac{1+2}{2}=\frac32$으로 구하기.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers ($\left|\frac12\right|$과 $\left|-\frac12\right|$을 계산하여 양변이 모두 $\frac12$임을 확인하기.)

⭐ 수직선에서 어떤 점이 두 수로부터 같은 거리에 있다면, 그 점은 정확히 두 수의 한가운데 — 즉 두 수의 평균에 있다.