AMC 10 · 2004 · #4

학년 7 algebra

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absolute-valuelinear-equations-one-var physical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수

x

가 식

|x-1|=|x-2|

를 만족한다.

x

의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac12$

(B)

$\frac12$

(C)

(D)

$\frac32$

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

두 절댓값은 수직선 위의 거리로 읽으라고 손짓하고 있다(도구 #1). |x-1|은 x가 1에서 얼마나 떨어져 있는지, |x-2|는 2에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 이 두 거리를 같게 하고 싶다는 것은 대수 문제를 한 줄짜리 기하 사실로 바꾼다. 즉, 1과 2에서 같은 거리에 있는 점은 그 둘의 한가운데 점이다. 그 다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보를 다시 대입해 확인하고, 도구 #4(변수 도입하기)로 양변을 제곱하는 순수 대수적 교차 검증을 한다.

1STEP 1

각 변을 거리로 읽기

수직선에서 $|x-1|$ 은 $x$ 에서 1까지의 거리, $|x-2|$ 는 2까지의 거리이므로 $x$ 는 두 수에서 같은 거리에 있다.

|x-1| = 거리(x,1), |x-2| = 거리(x,2)

2STEP 2

같은 거리에 있는 점은 중점

1과 2에서 같은 거리인 점은 두 수의 중점, 곧 평균이므로 $x=\frac{1+2}{2}=$ $\frac{3}{2}$ 이다.

x = (1+2)/2 = 3/2

3STEP 3

확인하고 보기 고르기

확인하면 $\left|\frac{3}{2}-1\right|=\frac{1}{2}=\left|\frac{3}{2}-2\right|$ 로 두 거리가 같으니 답은 (D)이다.

|3/2-1| = 1/2 = |3/2-2| → (D)

정답

3/2

답은 반드시 1과 2 사이에 놓여야 한다. 두 끝점에서 똑같이 떨어지려면 그 간격 안쪽의 점이어야 하기 때문이다. 이 사실만으로 (A) -1/2, (B) 1/2, (C) 1, (E) 2가 모두 배제된다. 이들은 끝점 위에 있거나 바깥에 있다. 오직 (D) 3/2만이 한가운데에 놓이고, 3/2=1.5는 정확히 절반 지점이므로 답이 타당하다.

💡핵심 정리

수직선에서 어떤 점이 두 수로부터 같은 거리에 있다면, 그 점은 정확히 두 수의 한가운데 — 즉 두 수의 평균에 있다.

각 변을 거리로 읽기
같은 거리에 있는 점은 중점
확인하고 보기 고르기

각 변을 거리로 읽기

같은 거리에 있는 점은 중점

확인하고 보기 고르기

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