AMC 10 · 2004 · #5

학년 7 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

probability-basiccombinations-basic systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림은 점 9 개로 이루어진 3×3 정사각형 격자입니다. 이 점들 중 세 개를 무작위로 고르며, 세 점으로 이루어진 모든 집합이 뽑힐 확률은 같습니다. 고른 세 점이 모두 한 직선 위에 있을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{21}$

(B)

$\frac{1}{14}$

(C)

$\frac{2}{21}$

(D)

$\frac{1}{7}$

(E)

$\frac{2}{7}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 점 집합이 모두 뽑힐 확률이 같으므로, 확률은 그저 (한 직선을 이루는 집합) ÷ (모든 집합)입니다. 그래서 문제는 두 개의 따로 세는 문제로 나뉩니다(도구 #7): 분모(점 9 개에서 3 개를 고르는 경우의 수)와 분자(그 중 직선을 이루는 경우의 수)입니다. 분모는 단순한 "9 개에서 3 개 고르기" 세기입니다. 분자는 조심해야 하므로, 격자를 방향별로 훑는 빠짐없는 나열(도구 #2)로 — 행, 그다음 열, 그다음 대각선 — 간단한 그림(도구 #1)과 함께 어떤 직선도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 합니다.

1STEP 1

확률을 분수로 세우기

세 점 집합의 확률이 모두 같으므로 P = (직선 집합) ÷ (전체 집합). 세는 일이 둘로 나뉩니다.

P = (직선을 이루는 집합)/(모든 집합)

2STEP 2

세 점 집합 전체 세기

순서를 따지지 않으므로 9×8×7=504를 6으로 나눠 84 개. 이것이 분모입니다.

(9×8×7)/(3×2×1)=504/6=84

3STEP 3

세 점을 지나는 직선 나열하기

방향별로 훑습니다: 가로 3, 세로 3, 모서리를 잇는 대각선 2. 직선 집합은 모두 8 개입니다.

3 행+3 열+2 대각선=8

4STEP 4

나누고 약분하기

확률은 8/84이고, 분자와 분모를 4로 나누면 2/21, 곧 선택지 (C)입니다.

8/84=(8÷4)/(84÷4)=2/21 → (C)

정답

2/21

확률 2/21은 약 0.10으로 작은 값입니다 — 이는 그림과 맞습니다. 무작위로 놓인 세 점이 완벽한 직선에 놓이는 일은 드물기 때문입니다. 이 세기는 함정 답들도 설명합니다: 두 대각선을 빠뜨리면 직선이 6 개가 되어 6/84=1/14가 되는데, 이것이 솔깃한 선택지 (B)입니다. 대각선을 포함해야만 개수가 8에 이르고 확률이 2/21이 되어 (C)를 확인해 줍니다.

💡핵심 정리

고르는 확률이 모두 같은 문제에서는 원하는 경우를 전체 경우로 나누세요 — 그리고 직선은 행, 그다음 열, 그다음 대각선 순으로 훑어 하나도 놓치지 마세요.

확률을 분수로 세우기
세 점 집합 전체 세기
세 점을 지나는 직선 나열하기
나누고 약분하기

확률을 분수로 세우기

세 점 집합 전체 세기

세 점을 지나는 직선 나열하기

나누고 약분하기

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