AMC 10 · 2004 · #23

학년 7 geometry-3d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
probability-basicspatial-visualization caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정육면체의 여섯 면을 각각 빨강 또는 파랑으로 칠하는데, 두 색이 나올 확률은 같고 각 면은 독립적으로 정해집니다. 이 정육면체를 탁자 위에 놓아서 네 옆면(수직인 면)이 모두 같은 색이 되도록 놓을 수 있을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{4}$
(B)
$\frac{5}{16}$
(C)
$\frac{3}{8}$
(D)
$\frac{7}{16}$
(E)
$\frac{1}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

정육면체를 칠하는 방법은 2⁶=64 가지뿐이므로 성공하는 경우를 정확히 셀 수 있습니다. 도구 #17(공간 상상하기)로 '네 옆면'이라는 말을 그림으로 바꿉니다: 정육면체를 두르는 네 면의 고리이고, 남은 마주 보는 한 쌍이 윗면과 아랫면입니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 성공하는 색칠을 두 색이 나뉘는 방식(6 대 0, 5 대 1, 4 대 2)에 따라 몇 개의 깔끔한 경우로 정리합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 경우를 따로 세어 합치되, 경우들이 겹치지 않아 어떤 것도 두 번 세지 않도록 주의합니다.

1STEP 1

모든 색칠 세고 목표 그리기

면 6 개에 색이 2 가지씩이라 색칠은 64 가지, 네 옆면은 고리를 이루고 고리는 3 개뿐입니다.

전체 색칠=2⁶=64
2STEP 2

경우 A: 여섯 면이 모두 한 색

여섯 면이 모두 같은 색이면 모든 고리도 같은 색이라 성공이고, 모두 빨강·모두 파랑의 2 가지입니다.

모두 빨강 또는 모두 파랑 → 2 가지
3STEP 3

경우 B: 다섯 면 한 색, 한 면 다른 색

다섯 면이 같고 한 면만 다르면 그 면을 위에 놓아 성공하므로, 면 6 가지 × 색 2 가지로 12 가지입니다.

6 (다른 면) × 2 (다수 색)=12
4STEP 4

경우 C: 네 면 한 색, 두 면 다른 색

넷 대 둘일 때는 다른 두 면이 마주 볼 때만 고리가 한 색이라 3 쌍 × 2 색으로 6 가지이고, 이웃하면 실패합니다.

3 (마주 보는 쌍) × 2 (소수 색)=6
5STEP 5

경우를 더하고 나누기

경우들이 겹치지 않으므로 더하면 64 가지 중 20 가지가 성공이고, 20/64=5/16이므로 답은 (B)입니다.

2+12+6=20, 20/64=5/16 (B)
정답
5/16
20이라는 개수는 양 끝 사이에 알맞게 있습니다: 모두 같은 색과 다섯 대 하나의 경우만 더한 2+12=14보다는 많고, 64보다는 훨씬 적으므로 5/16≈ 0.31 근처의 확률이 자연스럽습니다. 이는 정확히 선택지 (B)에 해당하며, (A) 1/4와 (C) 3/8 사이입니다. 다수 색인 면의 개수(6, 5, 4)로 나누면 어떤 색칠도 두 번 세지 않는데, 이런 문제에서 가장 큰 위험이 바로 그것입니다.
💡핵심 정리

네 옆면을 정육면체를 두르는 고리로 그리고, 한 색 고리가 있는 색칠을 경우로 세세요(여섯 면 모두 일치, 다섯 대 하나, 또는 넷 대 둘에서 다른 두 면을 윗면·아랫면에): 64 가지 중 2+12+6=20 가지, 곧 5/16입니다.

  • 모든 색칠 세고 목표 그리기
  • 경우 A: 여섯 면이 모두 한 색
  • 경우 B: 다섯 면 한 색, 한 면 다른 색
  • 경우 C: 네 면 한 색, 두 면 다른 색
  • 경우를 더하고 나누기

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