AMC 10 · 2009 · #25

학년 7 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

probability-basicspatial-visualizationsystematic-enumeration physical-representation ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정육면체의 각 면에 한 모서리의 중점에서 그 맞은편 모서리의 중점까지 가느다란 줄무늬를 하나씩 그린다. 어느 모서리 쌍을 고를지는 각 면마다 독립적으로 무작위로 정한다. 정육면체를 한 바퀴 감싸는 연속된 줄무늬가 생길 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 18$

(B)

$\frac {3}{16}$

(C)

$\frac 14$

(D)

$\frac 38$

(E)

$\frac 12$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체의 $6$개 면마다 한 모서리의 중점과 그 맞은편 모서리의 중점을 잇는 줄무늬 하나를 그린다. 정사각형 면에는 마주 보는 모서리 쌍이 두 개 있으므로, 각 면의 줄무늬 방향은 $2$가지가 똑같은 확률로, 서로 독립적으로 정해진다. 줄무늬들이 이어져 정육면체를 한 바퀴 감는 하나의 고리를 이룰 확률을 구하라.

주어진 것: 정육면체에는 $6$개의 면이 있고, 각 면에는 한 모서리 중점에서 맞은편 모서리 중점까지 줄무늬가 정확히 하나 그려진다.; 각 면의 줄무늬 방향은 $2$가지가 가능하며, 무작위로 서로 독립적으로 정해지므로 똑같은 확률의 결과가 $2^6 = 64$가지 있다.; '감는 줄무늬'란 정육면체를 한 바퀴 두르는 띠를 이루는 $4$개 면의 줄무늬가 만드는 닫힌 고리를 뜻한다.; 보기: (A) $\frac 18$, (B) $\frac{3}{16}$, (C) $\frac 14$, (D) $\frac 38$, (E) $\frac 12$.

구하는 것: 정육면체를 감는 연속된 줄무늬가 적어도 하나 만들어질 확률.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 핵심은 감는 줄무늬가 실제로 무엇인지 3차원으로 보는 데 있다. 그것은 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고 정육면체를 감싸는 $4$개 면의 띠다. 도구 #17(공간 상상하기)은 그 심상을 떠올리고, 왜 두 띠가 동시에 닫힐 수 없는지 알아채는 열쇠다. 도구 #1(그림 그리기)은 '이 면의 줄무늬는 이 방향이어야 한다'가 구체적으로 남도록 정육면체 스케치를 붙잡아 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 (i) 고른 띠 하나가 닫힐 확률, 그다음 (ii) 세 띠를 합치기로 나눈다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 표본공간의 크기($2^6 = 64$)를 못 박고, 유리한 경우의 수($64$ 중 $12$)라는 깔끔한 교차 확인도 준다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

똑같은 확률의 결과 모두 세기

$6$개 면 각각이 독립적으로 $2$가지 줄무늬 방향 중 하나를 갖는다.
곱의 원리에 따라 정육면체 전체의 서로 다른 줄무늬 패턴 수는 $2^6 = 64$다.
각 면이 공정하고 독립적인 $\tfrac12$-$\tfrac12$ 선택이므로 모든 패턴은 똑같은 확률을 갖는다.

$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6 = 64$$

💡 독립적인 두 갈래 선택 여섯 번이 곱해져 똑같은 확률의 정육면체 $64$개짜리 표본공간이 된다.

#17 공간 상상하기 6.G.A.4 단계 2

감는 줄무늬를 띠로 그리기

정육면체를 들고 한 바퀴 도는 고리를 그려 보자.
그런 고리는 정확히 $4$개 면을 지나 띠를 이루고, 마주 보는 위아래처럼 남은 $2$개 면에는 닿지 않는다.
정육면체에는 마주 보는 면 쌍이 $3$개 있으므로, 감는 줄무늬가 따라갈 수 있는 띠는 정확히 $3$개다.

$$3\text{쌍의 마주 보는 면} \Rightarrow 3\text{개의 가능한 띠}$$

💡 정육면체를 감는 띠는 늘 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고, 그런 쌍은 세 개뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

고른 띠 하나가 닫힐 확률

세 띠 중 하나를 고정하자.
그 $4$개 면은 각각 줄무늬가 공유 모서리 중점에서 만나도록 띠를 따라가는 단 하나의 방향을 가져야 한다.
다른 방향이면 가로질러 고리가 끊긴다.
$4$개 면이 각각 확률 $\tfrac12$로 나란해지고 선택이 독립이므로 띠가 닫힐 확률은 $\left(\tfrac12\right)^4 = \tfrac1{16}$다.
건너뛴 $2$개 면은 어느 방향이어도 된다.

$$\left(\tfrac12\right)^4 = \dfrac{1}{16}$$

💡 네 면이 각자 '나란한' 한쪽에 맞아야 하고, $\tfrac12$을 네 번 곱하면 $\tfrac1{16}$이다.

#17 공간 상상하기 7.SP.C.7 단계 4

띠들은 겹칠 수 없다

두 띠가 동시에 닫힐 수 있는지 확인하자.
세 띠 중 어느 둘도 옆면 하나를 공유한다.
한 띠를 완성하려면 그 면의 줄무늬가 한 방향이어야 하고, 다른 띠를 완성하려면 같은 면의 줄무늬가 반대 방향이어야 한다.
줄무늬 하나가 둘 다 될 수는 없으므로 두 띠가 함께 닫힐 수 없다.
세 띠 사건은 서로 배반이다.

$$\text{띠}_i \cap \text{띠}_j = \varnothing \quad (i \neq j)$$

💡 공유하는 면은 한 방향만 가리킬 수 있으니, 한 정육면체에서 띠는 최대 하나만 닫힌다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

배반인 세 띠를 더하기

세 띠가 서로 배반이므로, 어떤 띠라도 닫힐 확률은 각각의 확률의 합이다: $3 \times \tfrac1{16} = \tfrac{3}{16}$.
경우의 수로 교차 확인하면, 각 띠는 $2 \times 2 = 4$가지 패턴을 준다(건너뛴 두 면이 자유롭다).
따라서 유리한 패턴은 $3 \times 4 = 12$가지이고 전체는 $64$가지이므로 $\tfrac{12}{64} = \tfrac{3}{16}$이다.
정육면체를 감는 연속된 줄무늬가 생길 확률은 $\tfrac{3}{16}$, 보기 (B)다.

$$3 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16} = \dfrac{12}{64} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 배반 사건은 그냥 더하면 되고, 깔끔한 $\tfrac{12}{64}$ 개수가 $\tfrac{3}{16}$을 확인해 준다.

[1] #2 7.SP.C.8 $6$개 면 각각이 독립적으로 $2$가지 줄무늬 방향 중 하나를 갖는다. 곱의 원리에 따라 정육면체 전체의 서로 다른 줄무늬 패턴 수는 $2^6

[2] #17 6.G.A.4 정육면체를 들고 한 바퀴 도는 고리를 그려 보자. 그런 고리는 정확히 $4$개 면을 지나 띠를 이루고, 마주 보는 위아래처럼 남은 $2$개 면에

[3] #7 7.SP.C.8 세 띠 중 하나를 고정하자. 그 $4$개 면은 각각 줄무늬가 공유 모서리 중점에서 만나도록 띠를 따라가는 단 하나의 방향을 가져야 한다. 다른

[4] #17 7.SP.C.7 두 띠가 동시에 닫힐 수 있는지 확인하자. 세 띠 중 어느 둘도 옆면 하나를 공유한다. 한 띠를 완성하려면 그 면의 줄무늬가 한 방향이어야 하고

[5] #7 6.RP.A.3 세 띠가 서로 배반이므로, 어떤 띠라도 닫힐 확률은 각각의 확률의 합이다: $3 \times \tfrac1{16} = \tfrac{3}{16}$

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac{3}{16} = \tfrac{12}{64} \approx 0.19$는 작은 확률로, 네 면을 특정 방향으로 맞추는 일이 까다롭다는 점과 잘 맞는다. 두 독립적인 계산이 일치한다 — 배반 합 $3 \times \tfrac1{16}$과 직접 세기 $\tfrac{12}{64}$. 오답 보기는 흔한 실수를 짚는다: $\tfrac1{16}$은 띠가 셋임을 잊은 것, $\tfrac38 = 6 \times \tfrac1{16}$은 띠가 겹칠 수 있다고 잘못 세어 이중으로 센 것, $\tfrac14$나 $\tfrac12$는 나란해야 할 면 수를 잘못 센 것이다. 띠들은 실제로 서로 배반이므로(4단계) 이중 계산이 없고 $\tfrac{3}{16}$이 옳다. 답 (B).

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순수하게 세기: 윗면 줄무늬 방향을 앞뒤로 고정하자. 윗면을 지나는 감는 고리는 앞면을 따라 내려가 바닥을 지나 뒷면으로 올라가야 하며, 그 네 면의 패턴은 하나로 강제되고 두 옆면은 자유롭다($2 \times 2 = 4$가지). 윗면을 고정했을 때 $2^5 = 32$가지 중 $4$가지가 유리하므로 윗면을 포함하는 고리의 확률은 $\tfrac{4}{32} = \tfrac18$이다. 그런데 이는 사실 세 띠 중 둘에 해당한다. 세 띠 전체를 이중 계산 없이 올바르게 더하면 $\tfrac{3}{16}$으로, 배반 합 결과와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 조직적인 목록, 표, 나무 그림, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (표본공간의 크기를 $2^6 = 64$로 정하고, 독립인 네 면의 $\tfrac12$ 선택을 곱해 띠 하나의 확률 $\tfrac1{16}$을 얻는 데 사용.)
6.G.A.4 직사각형과 삼각형으로 이루어진 전개도로 입체도형 나타내기 (감는 줄무늬를 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고 정육면체를 감싸는 네 면의 띠로 보고, 그런 띠가 셋임을 파악하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들어 사건의 확률 구하기 (세 띠 사건이 서로 배반임을 확인하여 각 확률을 단순히 더할 수 있게 하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 풀기 (세 개의 같은 $\tfrac1{16}$ 확률을 합치고, 유리한 경우의 비 $\tfrac{12}{64}$를 $\tfrac{3}{16}$으로 약분하는 데 사용.)

⭐ 정육면체를 한 바퀴 감는 줄무늬는 위아래 한 쌍을 건너뛰는 $4$개 면의 띠일 뿐이다. 그런 띠는 $3$개이고 각각 $\left(\tfrac12\right)^4 = \tfrac1{16}$의 확률로 닫히며, 두 띠는 절대 동시에 닫힐 수 없으니 더하면 된다: $3 \times \tfrac1{16} = \tfrac{3}{16}$, 보기 (B).