AMC 10 · 2007 · #22

학년 7 arithmetic

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

expected-valueprobability-basiccasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1부터 4까지 중 한 숫자를 고릅니다. 그다음 각 면이 1부터 4까지 번호가 매겨진 공정한 정사면체 주사위 두 개를 굴리고, 각 주사위의 결과는 바닥에 오는 숫자로 봅니다. 고른 숫자가 정확히 한 주사위의 바닥에 나오면 1달러를 얻고, 두 주사위의 바닥에 모두 나오면 2달러를 얻고, 어느 바닥에도 나오지 않으면 1달러를 잃습니다. 주사위 두 개를 한 번 굴릴 때의 기대 수익은 몇 달러입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{1}{8}$

(B)

$-\frac{1}{16}$

(C)

(D)

$\frac{1}{16}$

(E)

$\frac{1}{8}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기) — 각 주사위의 바닥은 4가지 숫자 중 하나이므로 두 주사위는 4×4=16가지의 똑같이 가능한 바닥 쌍을 만든다. 이것을 나열하면 확률 공식을 다루는 대신 그냥 세기만 하면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 세 가지 보상은 세 개의 서로 다른 경우(고른 숫자가 정확히 한 바닥에, 두 바닥 모두에, 어느 바닥에도)에 대응하므로 각 경우의 결과를 따로 센다. 도구 #8 (단위 살펴보기) — 답은 달러 단위이고, '기대 수익'은 평균 보상을 뜻하므로 각 경우의 달러 값에 그 확률을 곱해 더하면 단위가 끝까지 달러로 유지된다.

1STEP 1

16가지 똑같은 결과 세우기

각 주사위 바닥은 1,2,3,4가 똑같이 가능하고 서로 독립이므로, 똑같이 가능한 순서쌍은 4×4=16이다.

4×4=16가지 똑같이 가능한 결과

2STEP 2

'정확히 하나' 경우 세기

정확히 한 바닥만 맞는 경우는 1×3과 3×1을 더해 16 중 6이고, 보상은 +1달러다.

1·3+3·1=6 → P=6/16

3STEP 3

'둘 다'와 '아무것도 아님' 세기

두 바닥 다 맞으면 1×1=1(+2달러), 하나도 안 맞으면 3×3=9(-1달러), 6+1+9=16으로 빠짐없다.

1·1=1, 3·3=9, 6+1+9=16

4STEP 4

달러 보상의 평균 내기

각 보상에 그 개수를 곱해 더하면 (6(1)+1(2)+9(-1))/16=(6+2-9)/16=-1/16달러, 즉 (B)이다.

(6(1)+1(2)+9(-1))/16=-1/16 → (B)

정답

-1/16

결과 -1/16은 작은 음수이며 이는 타당하다: 1을 잃는 큰 확률 9/16이 이기는 합산 확률 7/16을 거의 상쇄해서, 이 게임은 플레이어에게 아주 살짝만 불리하다. 분자 6+2-9=-1은 아주 작은 음수라서 0 (C)과 양수 선택지 (D),(E)를 배제하고, -2/16=-1/8 (A)만큼 음수도 아니므로 (B)만 들어맞는다. 검산으로 전체 확률 (6+1+9)/16=1이 되어 어떤 결과도 빠지거나 이중으로 세지 않았음을 확인한다.

💡핵심 정리

똑같이 가능한 16가지 바닥 쌍을 나열해 각 상금이 나오는 개수를 세고, 각 달러 금액에 그 확률을 곱해 더하면 된다 — 작은 음수 합은 이 게임이 살짝 주최 측에 유리함을 뜻한다.

16가지 똑같은 결과 세우기
'정확히 하나' 경우 세기
'둘 다'와 '아무것도 아님' 세기
달러 보상의 평균 내기

16가지 똑같은 결과 세우기

'정확히 하나' 경우 세기

'둘 다'와 '아무것도 아님' 세기

달러 보상의 평균 내기

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