AMC 10 · 2004 · #5
학년 7 probability그림에 있는 격자에서 세 점으로 이루어진 집합을 무작위로 고릅니다. 세 점으로 이루어진 모든 집합이 뽑힐 확률은 같습니다. 고른 세 점이 한 직선 위에 놓일 확률은 얼마입니까?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 그림은 점 $9$ 개로 이루어진 $3\times3$ 정사각형 격자입니다. 이 점들 중 세 개를 무작위로 고르며, 세 점으로 이루어진 모든 집합이 뽑힐 확률은 같습니다. 고른 세 점이 모두 한 직선 위에 있을 확률을 구하세요.
주어진 것: 격자에는 점 $9$ 개가 $3$ 개의 행과 $3$ 개의 열로 배열되어 있습니다.; 정확히 세 점을 고르며, 세 점으로 이루어진 모든 집합은 뽑힐 확률이 같습니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{21}$, (B) $\frac{1}{14}$, (C) $\frac{2}{21}$, (D) $\frac{1}{7}$, (E) $\frac{2}{7}$
구하는 것: 고른 세 점이 한 직선 위에 있을(일직선을 이룰) 확률.
이해
문제 재정리: 그림은 점 $9$ 개로 이루어진 $3\times3$ 정사각형 격자입니다. 이 점들 중 세 개를 무작위로 고르며, 세 점으로 이루어진 모든 집합이 뽑힐 확률은 같습니다. 고른 세 점이 모두 한 직선 위에 있을 확률을 구하세요.
주어진 것: 격자에는 점 $9$ 개가 $3$ 개의 행과 $3$ 개의 열로 배열되어 있습니다.; 정확히 세 점을 고르며, 세 점으로 이루어진 모든 집합은 뽑힐 확률이 같습니다.; 선택지: (A) $\frac{1}{21}$, (B) $\frac{1}{14}$, (C) $\frac{2}{21}$, (D) $\frac{1}{7}$, (E) $\frac{2}{7}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기
세 점 집합이 모두 뽑힐 확률이 같으므로, 확률은 그저 (한 직선을 이루는 집합) $\div$ (모든 집합)입니다. 그래서 문제는 두 개의 따로 세는 문제로 나뉩니다(도구 #7): 분모(점 $9$ 개에서 $3$ 개를 고르는 경우의 수)와 분자(그 중 직선을 이루는 경우의 수)입니다. 분모는 단순한 "$9$ 개에서 $3$ 개 고르기" 세기입니다. 분자는 조심해야 하므로, 격자를 방향별로 훑는 빠짐없는 나열(도구 #2)로 — 행, 그다음 열, 그다음 대각선 — 간단한 그림(도구 #1)과 함께 어떤 직선도 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 합니다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.7 단계 1 확률을 분수로 세우기
- 세 점 집합이 모두 뽑힐 확률이 같으므로, 직선을 이룰 확률은 직선을 이루는 세 점 집합의 수를 세 점 집합 전체의 수로 나눈 값입니다.
- 이렇게 하면 문제 전체가 두 개의 세기 작업이 됩니다: 분모를 위해 모든 집합을 세고, 분자를 위해 직선을 이루는 집합을 셉니다.
💡 모든 결과가 똑같이 일어날 때, 확률은 그저 원하는 결과가 전체 결과 중 차지하는 비율입니다.
7.SP.C.8 단계 2 세 점 집합 전체 세기
- 점 $9$ 개에서 $3$ 개를 고를 때 순서는 상관없습니다.
- 순서 있는 고르기는 $9\times8\times7=504$ 가지이지만, 세 점의 각 묶음은 $3\times2\times1=6$ 번씩(순서마다 한 번씩) 세어지므로 나눕니다: $504\div6=84$.
- 확률이 같은 세 점 집합이 $84$ 개이므로, 분모는 $84$ 입니다.
💡 순서가 상관없는 묶음을 셀 때는 순서 있는 경우를 센 뒤, 각 묶음의 순서 가짓수로 나눕니다.
7.SP.C.8 단계 3 세 점을 지나는 직선 나열하기
- 빠뜨리지 않도록 격자를 방향별로 훑습니다.
- 가로선: 위, 가운데, 아래 행이 $3$ 개의 선을 줍니다.
- 세로선: 왼쪽, 가운데, 오른쪽 열이 $3$ 개를 더 줍니다.
- 대각선: 모서리에서 모서리로 이어지는 두 개의 완전한 대각선만 점 $3$ 개를 지나며 $2$ 개를 줍니다.
- 그 밖의 어떤 비스듬한 선(예를 들어 완만한 대각선)도 점을 많아야 $2$ 개만 지나므로 세지 않습니다.
- 따라서 $3+3+2=8$ 개의 직선 집합입니다.
💡 행, 열, 대각선으로 방향을 정리해 찾으면 모든 직선을 정확히 한 번씩 빠짐없이 찾습니다.
6.NS.B.4 단계 4 나누고 약분하기
- 확률은 직선 집합 $8$ 개를 전체 집합 $84$ 개로 나눈 값, 즉 $\frac{8}{84}$ 입니다.
- $8$ 과 $84$ 의 최대공약수는 $4$ 이므로 분자와 분모를 $4$ 로 나누면 $\frac{2}{21}$ 이 됩니다.
- 이는 선택지 (C)와 일치합니다.
💡 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 확률을 기약분수로 나타냅니다.
7.SP.C.7 세 점 집합이 모두 뽑힐 확률이 같으므로, 직선을 이룰 확률은 직선을 이루는 세 점 집합의 수를 세 점 집합 전체의 수로 나눈 값입니다. 이렇게 7.SP.C.8 점 $9$ 개에서 $3$ 개를 고를 때 순서는 상관없습니다. 순서 있는 고르기는 $9\times8\times7=504$ 가지이지만, 세 점의 각 7.SP.C.8 빠뜨리지 않도록 격자를 방향별로 훑습니다. 가로선: 위, 가운데, 아래 행이 $3$ 개의 선을 줍니다. 세로선: 왼쪽, 가운데, 오른쪽 열이 $ 6.NS.B.4 확률은 직선 집합 $8$ 개를 전체 집합 $84$ 개로 나눈 값, 즉 $\frac{8}{84}$ 입니다. $8$ 과 $84$ 의 최대공약수는 $ 검토
합리성 확인: 확률 $\frac{2}{21}$ 은 약 $0.10$ 으로 작은 값입니다 — 이는 그림과 맞습니다. 무작위로 놓인 세 점이 완벽한 직선에 놓이는 일은 드물기 때문입니다. 이 세기는 함정 답들도 설명합니다: 두 대각선을 빠뜨리면 직선이 $6$ 개가 되어 $\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$ 이 되는데, 이것이 솔깃한 선택지 (B)입니다. 대각선을 포함해야만 개수가 $8$ 에 이르고 확률이 $\frac{2}{21}$ 이 되어 (C)를 확인해 줍니다.
대안 접근: 분모를 구할 때 "순서 상관없음, 그다음 $6$ 으로 나누기" 지름길 대신, 학생은 직접 추론할 수 있습니다: 알려진 직선이 $8$ 개이고, 세 점 조합의 전체 수는 조합 $\binom{9}{3}=84$ 입니다. 이 경로로 $\frac{8}{84}=\frac{2}{21}$ 에 이르면 (C)를 확인하고, 답이 사용한 세기 방법에 좌우되지 않음을 보여 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7균등 확률 모형을 세우고 그것으로 사건의 확률을 구한다 (동등하게 일어나는 설정을 (직선 집합) / (모든 집합) 분수로 바꾸는 데 사용.)7.SP.C.8조직적인 목록, 표, 세기를 이용해 복합 사건의 확률을 구한다 (전체 세 점 집합 $84$ 개를 세고, 직선 집합 $8$ 개를 빠짐없이 나열하는 데 사용.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구한다 (확률 $\frac{8}{84}$ 을 최대공약수 $4$ 로 기약분수 $\frac{2}{21}$ 로 약분하는 데 사용.)
⭐ 고르는 확률이 모두 같은 문제에서는 원하는 경우를 전체 경우로 나누세요 — 그리고 직선은 행, 그다음 열, 그다음 대각선 순으로 훑어 하나도 놓치지 마세요.
⭐ 고르는 확률이 모두 같은 문제에서는 원하는 경우를 전체 경우로 나누세요 — 그리고 직선은 행, 그다음 열, 그다음 대각선 순으로 훑어 하나도 놓치지 마세요.
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