AMC 10 · 2004 · #7
학년 4 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제의 핵심은 기하 구조를 보는 것이다(도구 #17). 네 개의 오목한 자리에 놓인 오렌지는 네 오렌지가 만나는 빈틈 위에 놓이므로, 아래층의 줄과 줄 사이, 열과 열 사이에 자리한다. 그래서 새 층은 아래층보다 각 변을 따라 오렌지가 하나씩 적다. 이를 알고 나면 크기들이 뚜렷하게 줄어드는 패턴을 이룬다(도구 #5): 5×8, 그다음 4×7, 그다음 3×6 등. 마지막으로 쌓기를 간단한 작은 문제들로 나눈다(도구 #7): 각 직사각형 층은 두 변의 길이를 곱해 세고, 그 층들을 더한다. 함정 답은 쌓기가 어떻게 끝나는지 잊거나 마지막 층을 잘못 세는 것이다.
각 층이 변마다 하나씩 작아지는 이유 보기
각 오렌지는 아래 네 개가 만나는 빈틈에 놓이므로 m×n 층은 (m-1)×(n-1) 층을 받친다.
오렌지는 다른 네 오렌지 사이의 빈틈에 얹히고, 빈틈은 한 줄의 오렌지 수보다 항상 하나 적다.
오렌지는 다른 오렌지 사이의 틈에 놓이며, 한 줄에서 틈은 언제나 오렌지보다 하나 적다.
▸ 왜?
각 틈은 이웃한 두 오렌지 사이에 있으므로, 틈과 이웃한 짝이 하나씩 맞아떨어진다.
▸ 왜?
따라서 각 층은 한 변에서 같은 만큼씩 줄어들어, 고르게 나아가는 목록을 이룬다.
모든 층의 크기를 나열하기
5×8 바닥에서 각 변을 1씩 줄이면 5×8, 4×7, 3×6, 2×5, 1×4가 되고, 1×4가 마무리하는 한 줄이다.
한 변이 1에 이를 때까지 줄이는 규칙을 따르면, 그것이 쌓기를 마무리하는 한 줄이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern각 층의 오렌지 세기
각 층은 직사각형이니 두 변을 곱하면 아래부터 40, 28, 18, 10, 4이다.
직사각형 격자의 오렌지 수는 줄 수 곱하기 열 수일 뿐이다.
3.OA.A.3Identify Subproblems층을 모두 더해 총합 구하기
다섯 수를 더하면 40+28+18+10+4 = 100개, 즉 선택지 (C)이다.
총합은 각 층의 수를 모두 더한 것일 뿐이다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems각 오렌지는 아래 네 오렌지 사이의 빈틈에 얹히니 층마다 변이 하나씩 작아진다. 각 층의 두 변을 곱해 더하면 40+28+18+10+4 = 100.
- 각 층이 변마다 하나씩 작아지는 이유 보기
- 모든 층의 크기를 나열하기
- 각 층의 오렌지 세기
- 층을 모두 더해 총합 구하기