AMC 10 · 2004 · #9
학년 6 geometry-2d
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
구해야 하는 두 삼각형 △ ADE와 △ BDC는 대각선이 교차하며 생긴 좁고 어색한 조각이라, 어느 하나를 직접 구하려면 점 D의 위치를 알아야 합니다. 핵심은 조각을 쫓지 말고 그 조각이 속한 '전체' 삼각형을 보는 것입니다. D가 BE 위에 있으므로 △ ADE는 △ ABE에서 공유 모서리 △ ABD를 뺀 것이고, 마찬가지로 △ BDC는 △ ABC에서 같은 △ ABD를 뺀 것입니다. 조각을 계산하는 대신 공통 부분을 두 조각에 다시 더해 전체를 보는 것이 바로 관점 바꾸기(도구 #16)입니다. 두 전체 삼각형은 다루기 쉬운 직각삼각형이므로 넓이는 두 변(다리)만으로 바로 나옵니다(어느 선분이 다리인지 보려면 도구 #1). 공유 영역을 하나의 변수로 이름 붙이면(도구 #4) 상쇄가 눈에 보이도록 드러나, 뺄셈에서 그 미지의 영역이 사라져 결국 D를 구할 필요가 전혀 없습니다.
두 직각삼각형 전체의 넓이
AB를 공유하는 두 삼각형은 모두 직각이라 넓이는 다리 곱의 절반: [△ ABE]=1/2·4·8=16, [△ ABC]=1/2·4·6=12.
직각은 밑변과 높이를 공짜로 줍니다 — 두 다리가 서로 수직이라 높이를 따로 구할 필요가 없습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram공유하는 겹침 영역에 이름 붙이기
두 삼각형은 대각선이 만나는 모서리 △ ABD에서 겹칩니다. 그 넓이는 필요 없으니 x = [△ ABD]로 둡니다.
구하기 어렵지만 비교하는 두 대상 모두에 나타나는 양은, 억지로 계산하기보다 이름을 붙여 두고 나중에 상쇄되게 하는 편이 낫습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable각 삼각형을 전체에서 겹침을 뺀 것으로 표현하기
D가 BE 위에 있어 [△ ADE] = 16 - x, D가 AC 위에 있어 [△ BDC] = 12 - x입니다.
각 조각에 같은 겹침을 더하면 다루기 쉬운 전체 삼각형이 복원되므로, 조각은 곧 전체 넓이에서 그 공유 겹침을 뺀 것입니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement빼서 미지수가 상쇄되는 것 확인하기
빼면 (16 - x) - (12 - x) = 4로 -x가 상쇄되어, D의 위치는 애초에 무관합니다. 답은 (B).
같은 미지수를 공유하는 두 양을 빼면 그 미지수는 사라지고, 실제로 아는 부분들의 차만 남습니다.
같은 미지수를 지닌 두 양을 빼면 그것이 사라지고 아는 부분만 남는다.
▸ 왜?
같은 겹침이 각 삼각형에서 똑같이 빠지므로, 하나에서 다른 하나를 빼는 순간 지워진다.
▸ 왜?
각 삼각형은 직각이므로, 두 변이 이미 밑변과 높이 노릇을 한다.
두 도형이 같은 복잡한 부분에서 겹칠 때는, 그 부분을 애써 재려 하지 말고 이름을 붙인 뒤 전체 도형을 비교하세요. 공유하는 부분은 상쇄되고, 여기서는 답이 그저 16 - 12 = 4가 됩니다.
- 두 직각삼각형 전체의 넓이
- 공유하는 겹침 영역에 이름 붙이기
- 각 삼각형을 전체에서 겹침을 뺀 것으로 표현하기
- 빼서 미지수가 상쇄되는 것 확인하기