AMC 10 · 2004 · #21
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
집합 S는 겹칠 수 있는 두 수열의 합집합이므로 두 원을 그려 생각한다(도구 #12, 벤 다이어그램 그리기). 합집합의 크기는 두 수열의 크기를 더한 뒤 두 번 세어진 겹치는 부분을 뺀 것이다. 즉 |S|=2004+2004-(공통 항의 개수)이고, 문제 전체가 공통 항을 세는 것으로 줄어든다. 그 개수 세기가 진짜 핵심이다. 두 수열 모두에 있는 수는 각 수열과 같은 나머지를 남기므로, 공통 수들은 두 공차의 최소공배수만큼 뛰는 자신만의 규칙적인 수열을 이룬다(도구 #5, 패턴 찾기). 그 수열이 어디서 멈춰야 하는지 정하려면 두 마지막 항 중 더 작은 것을 천장으로 삼는데(도구 #14, 극단의 원리), 이를 위해 각 수열의 항 규칙이 필요하므로 마지막 항을 구할 수 있게 한다(도구 #4, 변수 도입하기).
규칙을 쓰고 각 마지막 항 구하기
항 규칙은 3n-2와 7m+2이고, 2004번째 항은 6010과 14030이다. 나머지는 각각 3으로 1, 7로 2이다.
항은 그저 시작하는 수에, 이미 뛴 횟수만큼의 한 걸음씩을 더한 것이다.
6.EE.A.2Introduce A Variable공통 수는 21씩 뛴다
공통 수는 3으로 1, 7로 2가 남아야 한다. 첫 공통 수는 16이고, 이후 lcm(3,7)=21씩 뛴다: 16, 37, 58, …
두 나머지를 한꺼번에 유지하려면 두 간격 모두의 배수만큼만 걸을 수 있고, 그 가장 작은 걸음이 최소공배수이다.
두 나머지를 동시에 지키려면 두 간격의 공배수만큼만 옮길 수 있으므로, 걸음은 그 최소공배수다.
▸ 왜?
두 나머지를 지키는 걸음은 공배수여야 하며, 그 가운데 가장 작은 것이 최소공배수다.
▸ 왜?
각 목록에 드는지는 나눈 나머지만이 정하므로, 다른 것은 상관이 없다.
공통 수 개수 세기
공통 수는 더 작은 마지막 항 6010을 못 넘는다. 16+21k ≤ 6010에서 k ≤ 285.4…, 즉 k=0,…,285이므로 286개다.
두 수열 모두에 있는 수는 먼저 끝나는 수열을 앞지를 수 없으므로, 더 짧은 수열의 마지막 항이 결승선이다.
6.EE.B.5Extreme Principle벤 다이어그램으로 두 수열 합치기
두 원이 겹치는 부분이 286개이므로 2004+2004는 이를 두 번 센다. |S|=4008-286=3722, 선택지 (A)이다.
두 더미를 더하면 양쪽에 다 있는 것을 두 번 세므로, 겹치는 부분을 한 벌 덜어낸다.
4.OA.A.3Draw A Venn Diagram두 수열을 합칠 때는 길이를 더하고 겹치는 부분을 빼라. 겹치는 수들은 두 걸음 크기의 최소공배수만큼 뛰는 자신만의 수열을 이룬다.
- 규칙을 쓰고 각 마지막 항 구하기
- 공통 수는 21씩 뛴다
- 공통 수 개수 세기
- 벤 다이어그램으로 두 수열 합치기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
