AMC 10 · 2005 · #13
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #12(벤 다이어그램 그리기)는 "또는 ~이지만 아닌" 구조에 딱 맞는다. 3의 배수를 나타내는 원과 4의 배수를 나타내는 원을 그린다. 두 원이 겹치는 부분에는 두 수 모두의 배수인 수, 즉 정확히 12의 배수가 들어간다. 그러면 "3 또는 4의 배수이지만 12의 배수는 아닌 수"는 겹치는 가운데를 뺀 바깥쪽 두 초승달 모양이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 원과 겹침 부분의 개수를 간단한 나눗셈으로 구해 준다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 "12의 배수는 아닌"을 처리하는 움직임이다: 각 원 안에서 공통된 가운데를 덜어내어 실제로 원하는 부분만 남긴다.
3의 배수 개수 세기
2005 이하의 3의 배수 개수는 2005 ÷ 3의 몫, 곧 668개이다.
어떤 수 이하의 3의 배수를 세는 것은 그 수 안에 3이 몇 번 들어가는지 묻는 것과 같다.
4.OA.B.4Identify Subproblems4의 배수 개수 세기
4의 배수도 똑같이 센다: 2005 ÷ 4의 몫, 곧 501개이다.
나눗셈의 몫은 2005 이하에 4씩 가는 걸음이 몇 번 놓이는지를 알려 준다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems겹침은 12의 배수
두 원에 동시에 드는 수는 3과 4의 공배수, 즉 lcm(3,4) = 12의 배수이고, 이는 제외 대상이다.
3과 4 모두의 배수라는 것은 곧 두 수의 최소공배수의 배수라는 뜻이다.
3의 배수이면서 동시에 4의 배수인 것은 정확히 12의 배수라는 뜻이다.
▸ 왜?
두 배수 조건을 동시에 만족하는 것은 그 최소공배수 하나의 조건을 만족하는 것이다.
▸ 왜?
3과 4는 소수를 공유하지 않으므로, 그 조리법이 겹침 없이 합쳐진다.
12의 배수 개수 세기
겹치는 가운데의 크기도 같은 방법으로 센다: 2005 ÷ 12의 몫, 곧 167개이다.
두 원의 겹침도 나름의 깔끔한 개수를 가진다: 2005 안에 12가 몇 번 들어가는가.
6.NS.B.2Identify Subproblems가운데를 빼고 초승달을 더하기
각 원에서 가운데를 빼면 668 - 167 = 501, 501 - 167 = 334이고, 두 조각을 더하면 835 → (C).
두 원에서 공통된 가운데를 없애고 나면 남는 것은 서로 떨어진 두 조각이라 겹침 걱정 없이 더할 수 있다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement겹치는 원 두 개를 그리고, 겹침이 두 수의 최소공배수의 배수임을 알아챈 뒤, 더하기 전에 그 공통된 가운데를 덜어내라.
- 3의 배수 개수 세기
- 4의 배수 개수 세기
- 겹침은 12의 배수
- 12의 배수 개수 세기
- 가운데를 빼고 초승달을 더하기
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