AMC 10 · 2010 · #12

학년 6 algebra
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell
optimizationpercentageset-partition extreme-principle ↑ 선수 지식: percentage
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
학년 초에 한 반 학생의 50%는 수학을 좋아하냐는 질문에 "예", 50%는 "아니오"라고 답했다. 학년 말에는 70%가 "예", 30%가 "아니오"라고 답했다. 처음과 끝에 답이 달라진 학생의 비율을 x%라 할 때, x가 가질 수 있는 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
20
(C)
40
(D)
60
(E)
80

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

어떤 양이 가질 수 있는 가장 크고 가장 작은 값을 묻는 것은 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 신호다. 경계가 되는 경우를 찾으면 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 모든 학생을 초→말 네 무리 표로 정리하면 어느 누구도 중복해서 세지 않는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자유롭게 정할 수 있는 단 하나의 값 — "예"에서 "아니오"로 바꾼 학생 수 — 에 이름을 붙이면, 답이 걸린 식이 하나로 정리되고 그 양 끝이 정답을 준다.

1STEP 1

학생을 네 무리로 나누기

처음과 끝의 답으로 예→예, 예→아니오, 아니오→예, 아니오→아니오 네 무리로 나눈다. 바뀐 두 무리의 합이 x%다.

x = (예→아니오) + (아니오→예)
2STEP 2

바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기

예→아니오를 s라 하자. 예가 20 늘어야 하니 아니오→예 = s + 20이다.

(아니오→예) - s = 20 → 아니오→예 = s + 20
3STEP 3

바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기

두 바뀜 무리를 더하고 s + 20을 대입하면 x = 2s + 20이다.

x = s + (s + 20) = 2s + 20
4STEP 4

s를 극단으로 밀어붙이기

예→아니오가 없어도 되니 s는 0부터, 말에 아니오가 30%뿐이라 0 ≤ s ≤ 30이다.

0 ≤ s ≤ 30
5STEP 5

양 극단을 비교하기

s = 0이면 x = 20, s = 30이면 x = 80이므로 차는 60이다.

x_min = 2(0)+20 = 20, x_max = 2(30)+20 = 80, 80 - 20 = 60 → (D)
정답
60
두 극단 경우를 모든 합계에 대해 확인한다. 최소(s = 0): 예→아니오 = 0, 아니오→예 = 20, 예→예 = 50, 아니오→아니오 = 30. 초 예 = 50+0 = 50, 말 예 = 50+20 = 70, 말 아니오 = 0+30 = 30, 바뀐 학생 = 0+20 = 20. 최대(s = 30): 예→아니오 = 30, 아니오→예 = 50, 예→예 = 20, 아니오→아니오 = 0. 초 예 = 20+30 = 50, 말 예 = 20+50 = 70, 말 아니오 = 30+0 = 30, 바뀐 학생 = 30+50 = 80. 두 경우 모두 네 합계를 만족하며 80 - 20 = 60이므로 (D)가 확인된다.
💡핵심 정리

모두를 "누가 바꿨나" 무리로 정리하고, 예 쪽은 들어온 것에서 나간 것을 뺀 만큼만 움직인다는 점을 알아챈 뒤, 자유로운 바뀜 수를 최소와 최대로 밀어붙여 답을 양쪽에서 좁힌다.

  • 학생을 네 무리로 나누기
  • 바뀜에 이름을 붙이고 서로 연결하기
  • 바뀐 학생 수를 하나의 식으로 쓰기
  • s를 극단으로 밀어붙이기
  • 양 극단을 비교하기

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