AMC 10 · 2004 · #9

학년 6 geometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance

area-trianglesarea-difference convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

공통변 $AB$ 를 공유하며 겹쳐 있는 두 삼각형 $\triangle{ABC}$ 와 $\triangle{ABE}$ 에서 $\angle{EAB}$ 와 $\angle{ABC}$ 는 직각이고, $AB=4$ , $BC=6$ , $AE=8$ 이며, $\overline{AC}$ 와 $\overline{BE}$ 는 점 $D$ 에서 만납니다. $\triangle{ADE}$ 와 $\triangle{BDC}$ 의 넓이의 차는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 4$

(C)

$\ 5$

(D)

$\ 8$

(E)

$\ 9$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 삼각형 $\triangle ABE$와 $\triangle ABC$가 변 $AB$를 공유하며, $A$에서 ($AE$와 $AB$ 사이) 직각, $B$에서 ($AB$와 $BC$ 사이) 직각을 이룹니다. $AB=4$, $BC=6$, $AE=8$이고, 두 선분 $\overline{AC}$와 $\overline{BE}$가 점 $D$에서 만납니다. 이때 두 삼각형의 넓이 차 $[\triangle ADE] - [\triangle BDC]$를 구하시오.

주어진 것: $\triangle ABE$와 $\triangle ABC$는 공통변 $AB$를 공유하며 $AB = 4$이다.; $\angle EAB = 90^\circ$이므로 $AE \perp AB$이고 $AE = 8$이다.; $\angle ABC = 90^\circ$이므로 $BC \perp AB$이고 $BC = 6$이다.; $E$와 $C$는 직선 $AB$의 같은 쪽에 있고, 대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{BE}$가 점 $D$에서 만난다.; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 삼각형 $ADE$의 넓이와 삼각형 $BDC$의 넓이의 차.

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

구해야 하는 두 삼각형 $\triangle ADE$와 $\triangle BDC$는 대각선이 교차하며 생긴 좁고 어색한 조각이라, 어느 하나를 직접 구하려면 점 $D$의 위치를 알아야 합니다. 핵심은 조각을 쫓지 말고 그 조각이 속한 '전체' 삼각형을 보는 것입니다. $D$가 $\overline{BE}$ 위에 있으므로 $\triangle ADE$는 $\triangle ABE$에서 공유 모서리 $\triangle ABD$를 뺀 것이고, 마찬가지로 $\triangle BDC$는 $\triangle ABC$에서 같은 $\triangle ABD$를 뺀 것입니다. 조각을 계산하는 대신 공통 부분을 두 조각에 다시 더해 전체를 보는 것이 바로 관점 바꾸기(도구 #16)입니다. 두 전체 삼각형은 다루기 쉬운 직각삼각형이므로 넓이는 두 변(다리)만으로 바로 나옵니다(어느 선분이 다리인지 보려면 도구 #1). 공유 영역을 하나의 변수로 이름 붙이면(도구 #4) 상쇄가 눈에 보이도록 드러나, 뺄셈에서 그 미지의 영역이 사라져 결국 $D$를 구할 필요가 전혀 없습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

두 직각삼각형 전체의 넓이

$AB$를 공유하는 두 삼각형은 모두 직각삼각형이므로, 각 넓이는 두 다리의 곱의 절반입니다.
$\triangle ABE$에서는 $A$의 직각 덕분에 $AB=4$와 $AE=8$이 다리가 되어 넓이는 $\tfrac12\cdot4\cdot8 = 16$입니다.
$\triangle ABC$에서는 $B$의 직각 덕분에 $AB=4$와 $BC=6$이 다리가 되어 넓이는 $\tfrac12\cdot4\cdot6 = 12$입니다.

$$[\triangle ABE] = \tfrac12\cdot4\cdot8 = 16,\qquad [\triangle ABC] = \tfrac12\cdot4\cdot6 = 12$$

💡 직각은 밑변과 높이를 공짜로 줍니다 — 두 다리가 서로 수직이라 높이를 따로 구할 필요가 없습니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

공유하는 겹침 영역에 이름 붙이기

두 큰 삼각형은 서로 분리되어 있지 않고, 대각선이 만나는 모서리 영역 $\triangle ABD$를 함께 덮고 있습니다.
그 넓이는 모르지만 알 필요도 없으므로, $x = [\triangle ABD]$로 두겠습니다.
지저분한 공유 조각에 하나의 이름을 붙이면 계산 내내 그것을 추적할 수 있습니다.

$x = [\triangle ABD]$로 두자

💡 구하기 어렵지만 비교하는 두 대상 모두에 나타나는 양은, 억지로 계산하기보다 이름을 붙여 두고 나중에 상쇄되게 하는 편이 낫습니다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 3

각 삼각형을 전체에서 겹침을 뺀 것으로 표현하기

$D$가 $\overline{BE}$ 위에 있으므로 선분 $\overline{AD}$는 $\triangle ABE$를 정확히 두 조각 $\triangle ABD$와 $\triangle ADE$로 나눕니다.
따라서 $[\triangle ADE] = 16 - x$입니다.
$D$가 $\overline{AC}$ 위에 있으므로 선분 $\overline{BD}$는 $\triangle ABC$를 $\triangle ABD$와 $\triangle BDC$로 나눕니다.
따라서 $[\triangle BDC] = 12 - x$입니다.
각 조각은 그 전체 삼각형에서 공유 모서리를 뺀 것입니다.

$$[\triangle ADE] = 16 - x,\qquad [\triangle BDC] = 12 - x$$

💡 각 조각에 같은 겹침을 더하면 다루기 쉬운 전체 삼각형이 복원되므로, 조각은 곧 전체 넓이에서 그 공유 겹침을 뺀 것입니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 4

빼서 미지수가 상쇄되는 것 확인하기

문제가 요구하는 차를 구합니다.
두 식은 모두 같은 $-x$를 지니므로 미지의 겹침이 상쇄됩니다: $(16 - x) - (12 - x) = 16 - 12 = 4$.
답은 $D$의 위치에 전혀 의존하지 않으며, 그래서 $D$를 찾을 필요가 없었습니다.
두 넓이의 차는 $4$, 선택지 (B)입니다.

$$[\triangle ADE] - [\triangle BDC] = (16 - x) - (12 - x) = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 같은 미지수를 공유하는 두 양을 빼면 그 미지수는 사라지고, 실제로 아는 부분들의 차만 남습니다.

[1] #1 6.G.A.1 $AB$를 공유하는 두 삼각형은 모두 직각삼각형이므로, 각 넓이는 두 다리의 곱의 절반입니다. $\triangle ABE$에서는 $A$의 직각

[2] #4 6.EE.B.6 두 큰 삼각형은 서로 분리되어 있지 않고, 대각선이 만나는 모서리 영역 $\triangle ABD$를 함께 덮고 있습니다. 그 넓이는 모르지만

[3] #16 6.G.A.1 $D$가 $\overline{BE}$ 위에 있으므로 선분 $\overline{AD}$는 $\triangle ABE$를 정확히 두 조각 $\tri

[4] #16 6.EE.A.3 문제가 요구하는 차를 구합니다. 두 식은 모두 같은 $-x$를 지니므로 미지의 겹침이 상쇄됩니다: $(16 - x) - (12 - x) = 16

검토

합리성 확인: 결과는 $[\triangle ABE] - [\triangle ABC] = 16 - 12 = 4$와 같은데, 이는 타당합니다: 두 전체 삼각형을 빼면 공유 영역이 자동으로 제거되므로, 조각의 차는 반드시 전체 삼각형의 차와 같아야 합니다. 값이 작고 양수인 것도 $\triangle ADE$가 더 큰(높은) 삼각형 안에, $\triangle BDC$가 더 작은 삼각형 안에 있는 상황과 일치합니다. 이는 선택지 (B)와 맞으며, 함정 답도 눈여겨볼 만합니다: $8$ (D)는 다리 차 $AE-BC=8-6$이고, $2$ (A)는 $BC-AB$로, 둘 다 그럴듯하지만 깔끔한 상쇄를 무시한 값입니다.

대안 접근: 좌표를 $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,6)$, $E=(0,8)$로 놓습니다. 직선 $AC$는 $y=\tfrac32 x$, 직선 $BE$는 $y=-2x+8$이므로, 이를 같게 두면 $D=\left(\tfrac{16}{7}, \tfrac{24}{7}\right)$입니다. 신발끈 공식으로 $[\triangle ADE]=\tfrac{40}{7}$, $[\triangle BDC]=\tfrac{12}{7}$이고, 그 차는 $\tfrac{28}{7}=4$ — 같은 답이지만 계산이 훨씬 많아, 상쇄 방법의 우아함을 확인해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 삼각형과 다각형의 넓이를 직사각형으로 구성하거나 삼각형 등으로 분해하여 구하기 (각 직각삼각형의 넓이를 두 다리로부터 구하고, 각 전체 삼각형을 공유 모서리와 목표 조각으로 분해하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 세우기 (미지의 공유 겹침 $\triangle ABD$를 $x$로 이름 붙여 비교 과정 내내 기호로 다루기 위해 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(16 - x) - (12 - x)$를 간단히 하여 미지수 $x$가 상쇄되고 차가 $4$로 줄어들도록 하는 데 사용.)

⭐ 두 도형이 같은 복잡한 부분에서 겹칠 때는, 그 부분을 애써 재려 하지 말고 이름을 붙인 뒤 전체 도형을 비교하세요. 공유하는 부분은 상쇄되고, 여기서는 답이 그저 $16 - 12 = 4$가 됩니다.