AMC 10 · 2004 · #10

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticperfect-squares pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

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문제

한 식료품 상인이 캔을 여러 줄로 쌓아 진열하는데, 맨 위 줄에는 캔이 한 개 있고 아래로 내려갈수록 각 줄은 바로 위 줄보다 캔이 두 개씩 더 많다. 진열된 캔이 모두 $100$ 개라면, 줄은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 캔을 여러 줄로 쌓습니다. 맨 위 줄에는 캔이 $1$ 개 있고, 바로 아래 줄마다 그 위 줄보다 캔이 $2$ 개씩 더 많습니다. 전체 더미에 캔이 $100$ 개 쓰였습니다. 줄이 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 맨 위 줄에는 캔이 $1$ 개 있습니다.; 각 아래 줄은 바로 위 줄보다 캔이 정확히 $2$ 개 더 많습니다.; 더미에는 캔이 모두 $100$ 개 있습니다.; 선택지: (A) $5$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$.

구하는 것: 더미의 줄 개수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기

각 줄이 $2$ 씩 일정하게 늘어나므로 줄의 캔 개수는 홀수 $1, 3, 5, 7, \ldots$ 이고, 그 누적 합에는 깔끔한 패턴이 숨어 있습니다 — 이는 도구 #5(패턴 찾기)의 대표 신호입니다. 줄을 하나씩 더하면 $1, 4, 9, 16, \ldots$ 이 되는데, 이는 완전제곱수이므로 $n$ 줄까지의 합은 $n\times n$ 입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 이유를 보여 줍니다: 새 홀수 줄이 정사각형 둘레를 L자로 감싸 다음 크기의 정사각형을 완성합니다. 그러면 도구 #6(추측하고 확인하기)은 어느 제곱수가 $100$ 인지만 물으면 됩니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

줄을 홀수로 읽기

맨 위에서 캔 $1$ 개로 시작해 아래로 내려갈수록 $2$ 개씩 더합니다.
그러면 $1$, 다음 $1+2=3$, 다음 $3+2=5$, 다음 $5+2=7$, 이렇게 이어집니다.
위에서 아래로 각 줄의 캔 개수는 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ — 홀수를 순서대로 따릅니다.

$$1,\;3,\;5,\;7,\;9,\;\ldots$$

💡 매번 $2$ 씩 올라가면 홀수를 차례로 밟아 갑니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

줄마다 더하며 누적 합 살피기

줄을 하나씩 더하며 누적 합을 적어 둡니다.
한 줄: $1$.
두 줄: $1+3=4$.
세 줄: $4+5=9$.
네 줄: $9+7=16$.
다섯 줄: $16+9=25$.
누적 합은 $1, 4, 9, 16, 25$ 인데, 이는 정확히 $1\times 1,\ 2\times 2,\ 3\times 3,\ 4\times 4,\ 5\times 5$ 입니다.
그래서 $n$ 줄까지의 합은 $n\times n$ 입니다.

$$1,\;4,\;9,\;16,\;25=1^2,\;2^2,\;3^2,\;4^2,\;5^2\;\Rightarrow\;n\text{ 줄까지의 합}=n\times n$$

💡 새 홀수 줄은 지금의 정사각형을 감싸는 L자여서 다음 크기의 정사각형으로 바꿔 줍니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 3

합을 100에 맞추기

더미의 합은 캔 $100$ 개여야 하고, $n$ 줄까지의 합은 $n\times n$ 입니다.
그러므로 자기 자신과 곱해 $100$ 이 되는 수를 찾습니다.
$10\times 10=100$ 이므로 더미에는 $n=10$ 줄이 필요합니다.
답은 (D)입니다.

$$n\times n=100=10\times 10\;\Rightarrow\; n=10\;\textbf{(D)}$$

💡 합 $100$ 에 도달한다는 것은 제곱수 $10\times 10$ 에 도달하는 것이고, 이는 정확히 $10$ 줄에서 일어납니다.

[1] #5 4.OA.C.5 맨 위에서 캔 $1$ 개로 시작해 아래로 내려갈수록 $2$ 개씩 더합니다. 그러면 $1$, 다음 $1+2=3$, 다음 $3+2=5$, 다음 $5

[2] #5 3.OA.D.9 줄을 하나씩 더하며 누적 합을 적어 둡니다. 한 줄: $1$. 두 줄: $1+3=4$. 세 줄: $4+5=9$. 네 줄: $9+7=16$. 다섯

[3] #6 3.OA.C.7 더미의 합은 캔 $100$ 개여야 하고, $n$ 줄까지의 합은 $n\times n$ 입니다. 그러므로 자기 자신과 곱해 $100$ 이 되는 수를

검토

합리성 확인: 이웃을 확인합니다: $9$ 줄이면 $9\times 9=81$ 개, $11$ 줄이면 $11\times 11=121$ 개이므로 오직 $10$ 줄만 정확히 $100$ 에 맞습니다. 오답 선택지들은 빗나가는 제곱수와 맞아떨어집니다: $5$ 줄은 $25$, $8$ 줄은 $64$ 로 모두 한참 모자랍니다. 제시된 선택지 $10$ 에 정확히 도달한 것은 줄 수가 옳다는 강한 신호입니다.

대안 접근: 제곱수를 알아차리는 대신 등차수열 합 공식을 씁니다. $n$ 줄이면 맨 아래 줄은 $2n-1$ 개이고, 줄들의 합은 $\tfrac{n}{2}\times(\text{첫 항}+\text{끝 항})=\tfrac{n}{2}\times(1+(2n-1))=\tfrac{n}{2}\times 2n=n\times n$ 입니다. $n\times n=100$ 에서 다시 $n=10$ 을 얻습니다. 또는 그냥 누적 합이 $100$ 이 될 때까지 홀수를 계속 더합니다: $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$ — 이는 $10$ 번의 덧셈이므로 $10$ 줄입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 ('1에서 시작해 줄마다 2씩 더한다'는 규칙에서 줄 크기 $1, 3, 5, 7, \ldots$ 를 만드는 데 사용.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾고 연산의 성질로 설명한다 (누적 합 $1, 4, 9, 16, 25$ 가 완전제곱수임을 알아차려 $n$ 줄까지의 합이 $n\times n$ 임을 아는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내에서 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 ($10\times 10=100$ 임을 알아차려 줄 수를 찾는 데 사용.)

⭐ 홀수 $1+3+5+\cdots$ 를 더해 나가면 항상 완전제곱수가 되므로, 줄마다 캔이 $2$ 개씩 늘어나는 더미는 정확히 $10$ 줄에서 $100=10\times 10$ 에 도달합니다.