AMC 10 · 2004 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

tangent-circlespythagorean-theoremarea-difference identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

환형은 같은 중심 O를 갖는 두 원 사이의 영역이다. 큰 원의 반지름은 b, 작은 원의 반지름은 c이고 b가 c보다 크다. OX는 큰 원의 반지름이고, 선분 XZ는 작은 원에 점 Z에서 접한다. OY는 점 Z를 지나는 큰 원의 반지름이며, 표시된 길이는 a = XZ, d = YZ, e = XY이다. a, b, c, d, e만 사용하여 나타낸 이 환형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi a^2$

(B)

$\pi b^2$

(C)

$\pi c^2$

(D)

$\pi d^2$

(E)

$\pi e^2$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

고리의 넓이는 큰 원에서 작은 원을 뺀 것이므로 b 제곱 빼기 c 제곱에 달려 있다. 그림을 살펴보면 접선 안에 직각삼각형이 숨어 있고, 바로 그 직각삼각형이 b 제곱 빼기 c 제곱을 하나의 표시된 길이로 바꿔 준다. 삼각형을 그린 다음 대수로 마무리한다.

1STEP 1

고리는 큰 원 빼기 작은 원

큰 원판에서 작은 원판을 도려내면 고리의 넓이는 π b² 빼기 π c², 즉 π(b² - c²)이다.

넓이 = π b² - π c² = π(b² - c²)

2STEP 2

직각삼각형 찾기

Z에서 접하므로 OZ는 XZ와 직각으로 만나고, 삼각형 OZX는 두 변이 c와 a, 빗변이 b여서 b² = c² + a²이다.

OX² = OZ² + XZ² → b² = c² + a²

3STEP 3

하나의 길이로 바꿔 넣기

정리하면 b² - c²이 곧 a²이므로 고리의 넓이는 π a², 즉 선택지 (A)이다.

b² - c² = a² → 넓이 = π(b² - c²) = π a²

정답

π a²

답 pi a 제곱은 반지름이 a인 원의 넓이이고, 요구대로 표시된 길이만 사용한다. 고리의 넓이에 전혀 들어오지 않은 d와 e를 올바르게 무시한다. 간단한 점검: 안쪽 원이 중심으로 줄어들면(c가 0에 가까워지면) 접선 길이 a는 b에 가까워지고, pi a 제곱은 큰 원 전체인 pi b 제곱에 가까워진다. 구멍이 사라질 때 나와야 할 값과 정확히 일치한다.

💡핵심 정리

접선은 반지름과 직각을 이루므로, 피타고라스 정리가 고리의 넓이를 반지름 a인 원 하나로 바꿔 준다.

고리는 큰 원 빼기 작은 원
직각삼각형 찾기
하나의 길이로 바꿔 넣기

고리는 큰 원 빼기 작은 원

직각삼각형 찾기

하나의 길이로 바꿔 넣기

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