AMC 10 · 2004 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

tangent-circlespythagorean-theoremarea-difference identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

환형(annulus)은 중심이 같은 두 원 사이의 영역이다. 그림의 두 동심원은 반지름이 각각 $b$ 와 $c$ 이고 $b>c$ 이다. $OX$ 를 큰 원의 반지름이라 하고, $XZ$ 를 작은 원에 점 $Z$ 에서 접하는 선분이라 하며, $OY$ 를 점 $Z$ 를 지나는 큰 원의 반지름이라 하자. $a=XZ$ , $d=YZ$ , $e=XY$ 라 할 때, 이 환형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi a^2$

(B)

$\pi b^2$

(C)

$\pi c^2$

(D)

$\pi d^2$

(E)

$\pi e^2$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 원이 같은 중심을 가진다. 큰 원의 반지름은 b, 작은 원의 반지름은 c이다. 큰 원 위의 점 X에서 그은 선이 작은 원에 점 Z에서 살짝 스치듯 닿고, a=XZ가 그 스치는 길이이다. 두 원 사이 고리 모양 영역의 넓이를 구하라.

주어진 것: 중심이 같은 두 원: 바깥 반지름 b, 안쪽 반지름 c, 그리고 b > c.; OX는 큰 원의 반지름이므로 OX = b.; XZ는 작은 원에 점 Z에서 접하며 a = XZ.; OY는 점 Z를 지나는 큰 원의 반지름이고, d = YZ, e = XY.

구하는 것: 환형(두 원 사이 고리 모양) 영역의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

고리의 넓이는 큰 원에서 작은 원을 뺀 것이므로 b 제곱 빼기 c 제곱에 달려 있다. 그림을 살펴보면 접선 안에 직각삼각형이 숨어 있고, 바로 그 직각삼각형이 b 제곱 빼기 c 제곱을 하나의 표시된 길이로 바꿔 준다. 삼각형을 그린 다음 대수로 마무리한다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

고리는 큰 원 빼기 작은 원

환형은 큰 원판에서 작은 원판을 도려내고 남은 부분이다.
큰 원의 넓이는 pi 곱하기 b 제곱, 작은 원의 넓이는 pi 곱하기 c 제곱이므로 고리의 넓이는 둘의 차이다.

\text{넓이} = \pi b^2 - \pi c^2 = \pi\left(b^2 - c^2\right)

💡 고리는 큰 팬케이크에서 작은 팬케이크를 뚫어낸 것일 뿐이다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

직각삼각형 찾기

XZ가 작은 원에 점 Z에서만 닿기 때문에 반지름 OZ는 XZ와 직각으로 만난다.
그래서 삼각형 OZX는 Z에서 직각인 직각삼각형이 된다.
두 변은 OZ = c와 XZ = a이고 빗변은 OX = b이다.
그러면 피타고라스 정리가 세 길이를 하나로 묶어 준다.

$$OX^2 = OZ^2 + XZ^2 \;\Rightarrow\; b^2 = c^2 + a^2$$

💡 접선은 언제나 닿는 반지름과 직각을 이루고, 직각이 있으면 피타고라스를 쓸 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 3

하나의 길이로 바꿔 넣기

피타고라스 관계를 정리하면 b 제곱 빼기 c 제곱이 a 제곱과 같아진다.
이 차는 바로 고리의 넓이 안에 들어 있는 값이므로 그대로 바꿔 넣는다.
고리의 넓이는 pi 곱하기 a 제곱이 되고, 이것이 선택지 (A)이다.

b^2 - c^2 = a^2 \;\Rightarrow\; \text{넓이} = \pi\left(b^2 - c^2\right) = \pi a^2

💡 두 제곱의 지저분한 차이가 사실은 하나의 깔끔한 제곱이라서, 고리의 넓이는 반지름이 a인 평범한 원이 된다.

[1] #7 7.G.B.4 환형은 큰 원판에서 작은 원판을 도려내고 남은 부분이다. 큰 원의 넓이는 pi 곱하기 b 제곱, 작은 원의 넓이는 pi 곱하기 c 제곱이므로 고

[2] #1 8.G.B.7 XZ가 작은 원에 점 Z에서만 닿기 때문에 반지름 OZ는 XZ와 직각으로 만난다. 그래서 삼각형 OZX는 Z에서 직각인 직각삼각형이 된다. 두

[3] #13 6.EE.A.3 피타고라스 관계를 정리하면 b 제곱 빼기 c 제곱이 a 제곱과 같아진다. 이 차는 바로 고리의 넓이 안에 들어 있는 값이므로 그대로 바꿔 넣는다

검토

합리성 확인: 답 pi a 제곱은 반지름이 a인 원의 넓이이고, 요구대로 표시된 길이만 사용한다. 고리의 넓이에 전혀 들어오지 않은 d와 e를 올바르게 무시한다. 간단한 점검: 안쪽 원이 중심으로 줄어들면(c가 0에 가까워지면) 접선 길이 a는 b에 가까워지고, pi a 제곱은 큰 원 전체인 pi b 제곱에 가까워진다. 구멍이 사라질 때 나와야 할 값과 정확히 일치한다.

대안 접근: 숫자를 넣어 본다: c = 3, b = 5로 잡으면 a 제곱 = b 제곱 빼기 c 제곱 = 25 빼기 9 = 16이므로 a = 4이다. 고리의 넓이는 pi(25 - 9) = 16 pi이고 pi a 제곱도 16 pi이다. 이 숫자로 (B)부터 (E)까지 시험하면 모두 맞지 않아 (A)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 안다 (각 원의 넓이를 pi 곱하기 반지름 제곱으로 쓰고 빼서 고리의 넓이를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용해 알려지지 않은 변의 길이를 구한다 (직각삼각형 OZX에서 반지름 b, c를 접선 길이 a와 연결하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식을 만든다 (b 제곱 빼기 c 제곱을 a 제곱으로 정리하고 넓이 식에 대입하는 데 사용.)

⭐ 접선은 반지름과 직각을 이루므로, 피타고라스 정리가 고리의 넓이를 반지름 a인 원 하나로 바꿔 준다.