AMC 10 · 2004 · #15

학년 4 arithmetic

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systems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Patty는 니켈(5센트)과 다임(10센트)으로 이루어진 동전 $20$ 개를 가지고 있습니다. 만약 그녀의 니켈이 다임이고 다임이 니켈이었다면, $70$ 센트를 더 가지고 있게 됩니다. 그녀의 동전은 모두 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar 1.15$

(B)

$\textdollar 1.20$

(C)

$\textdollar 1.25$

(D)

$\textdollar 1.30$

(E)

$\textdollar 1.35$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Patty는 $5$센트짜리 니켈과 $10$센트짜리 다임이 섞인 동전 $20$개를 가지고 있습니다. 만약 모든 니켈을 다임으로, 모든 다임을 니켈로 바꾼다면 지금보다 돈이 $70$센트 더 많아집니다. 지금 이 동전들의 총 가치는 얼마일까요?

주어진 것: Patty는 동전을 모두 $20$개 가지고 있습니다.; 각 동전은 $5$센트짜리 니켈이거나 $10$센트짜리 다임입니다.; 모든 니켈을 다임으로, 모든 다임을 니켈로 바꾸면 총액이 $70$센트 늘어납니다.; 선택지: (A) $\textdollar 1.15$, (B) $\textdollar 1.20$, (C) $\textdollar 1.25$, (D) $\textdollar 1.30$, (E) $\textdollar 1.35$.

구하는 것: 지금 상태로 Patty가 가진 동전 $20$개의 총 가치.

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #6 추측하고 확인하기

두 개의 모르는 개수를 정면으로 쫓으면 대수로 흐르기 쉽지만, 깔끔한 방법은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다. 총액을 노려보는 대신 한 번의 바꾸기가 무엇을 *하는지* 지켜보세요. 니켈을 다임으로 바꾸면 정확히 $5$센트가 늘고, 다임을 니켈로 바꾸면 정확히 $5$센트가 줄어듭니다. 그래서 $70$센트라는 변화는 모두 $5$센트 단위로 쌓인 것이고, 나눗셈 한 번으로 니켈이 다임보다 몇 개 더 많은지 알 수 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 양을 센트로 유지해 헷갈리지 않게 하고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그 개수가 $20$개에 맞는지 확인합니다.

실행 — 정답: A

#16 관점 바꾸기 4.MD.A.2 단계 1

한 번의 바꾸기가 하는 일 보기

니켈은 $5$센트, 다임은 $10$센트로 그 차이는 $5$센트입니다.
니켈이 다임이 되면 돈은 $5$센트 늘고, 다임이 니켈이 되면 돈은 $5$센트 줄어듭니다.
바뀌는 동전 하나하나가 총액을 정확히 $5$센트씩 위나 아래로 움직입니다.

$$10-5=5\text{ 센트(동전 하나당)}$$

💡 니켈과 다임은 $5$센트 떨어져 있으므로, 어떤 동전 하나를 바꿔도 총액은 그 $5$센트만큼 움직인다.

#16 관점 바꾸기 3.OA.C.7 단계 2

70센트 변화를 개수로 바꾸기

바꾸기로 총액이 $70$센트 늘었으니, 오른 쪽이 내린 쪽을 $70$센트만큼 이겼습니다.
니켈→다임은 하나당 $+5$, 다임→니켈은 하나당 $-5$이므로, 남은 $+70$센트는 니켈이 다임보다 $70 \div 5 = 14$개 더 많다는 뜻입니다.
즉 Patty는 니켈이 다임보다 $14$개 더 많습니다.

$$70 \div 5 = 14 \;\Rightarrow\; (\text{니켈}) - (\text{다임}) = 14$$

💡 $5$센트 조각으로 이루어진 총 $70$센트의 순증가는 니켈이 다임보다 $14$개 많을 때만 생긴다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 3

동전 20개 나누기

Patty는 동전이 $20$개이고, 그중 니켈이 다임보다 $14$개 더 많습니다.
더 많은 니켈 $14$개를 옆으로 빼두면 $20 - 14 = 6$개가 남고, 이것은 니켈 $3$개와 다임 $3$개로 똑같이 나뉩니다.
빼둔 $14$개를 다시 더하면 니켈은 $3 + 14 = 17$개, 다임은 $3$개입니다.

$$(20-14)\div 2 = 3\text{ 다임},\quad 3+14 = 17\text{ 니켈}$$

💡 더 많은 니켈 $14$개를 빼내고 나면 나머지는 정확히 반씩 같은 개수로 나뉜다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 4

가치 더하기

이제 돈을 모두 더합니다.
니켈 $17$개는 $17 \times 5 = 85$센트, 다임 $3$개는 $3 \times 10 = 30$센트입니다.
합하면 $85 + 30 = 115$센트, 곧 $\textdollar 1.15$입니다.
정답은 (A)입니다.

$$17\times 5 + 3\times 10 = 85 + 30 = 115\text{ 센트} = \textdollar 1.15 \;\textbf{(A)}$$

💡 동전 더미마다 센트로 세어 더하면 탁자 위의 돈이 나온다.

[1] #16 4.MD.A.2 니켈은 $5$센트, 다임은 $10$센트로 그 차이는 $5$센트입니다. 니켈이 다임이 되면 돈은 $5$센트 늘고, 다임이 니켈이 되면 돈은 $5$

[2] #16 3.OA.C.7 바꾸기로 총액이 $70$센트 늘었으니, 오른 쪽이 내린 쪽을 $70$센트만큼 이겼습니다. 니켈→다임은 하나당 $+5$, 다임→니켈은 하나당 $-

[3] #6 4.OA.A.3 Patty는 동전이 $20$개이고, 그중 니켈이 다임보다 $14$개 더 많습니다. 더 많은 니켈 $14$개를 옆으로 빼두면 $20 - 14 =

[4] #8 4.MD.A.2 이제 돈을 모두 더합니다. 니켈 $17$개는 $17 \times 5 = 85$센트, 다임 $3$개는 $3 \times 10 = 30$센트입니다.

검토

합리성 확인: 정답에 바꾸기를 시험해 봅니다. 니켈 $17$개와 다임 $3$개의 총액은 $115$센트입니다. 바꾼 뒤에는 니켈 $3$개와 다임 $17$개가 되어 $3\times 5 + 17\times 10 = 15 + 170 = 185$센트입니다. 차이는 $185 - 115 = 70$센트로 문제와 정확히 일치하고, $17+3 = 20$개라는 것도 맞습니다. 값 또한 선택지 $\textdollar 1.15$에 정확히 떨어집니다.

대안 접근: 개수에 이름을 붙입니다. 니켈을 $n$, 다임을 $d$라 하면 $n + d = 20$입니다. 지금 가치는 $5n + 10d$, 바꾼 가치는 $10n + 5d$이고, 그 차는 $(10n+5d)-(5n+10d) = 5n - 5d = 70$이라서 $n - d = 14$가 됩니다. $n+d=20$과 $n-d=14$를 풀면 $n = 17$, $d = 3$이므로 가치는 $5(17)+10(3) = 115$센트 $= \textdollar 1.15$로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.MD.A.2 Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (니켈과 다임 사이 $5$센트 차이를 읽고, 동전 더미를 더해($17\times 5 + 3\times 10 = 115$센트) 돈을 구하는 데 사용.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 ($70$센트의 순변화를 $5$센트 단위로 나누고($70\div 5 = 14$), 동전 개수에 가치를 곱하는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ('동전 $20$개'와 '니켈이 다임보다 $14$개 많음'을 합쳐 니켈 $17$개와 다임 $3$개로 나누는 데 사용.)

⭐ 더미 전체 대신 한 번의 바꾸기가 무엇을 바꾸는지 보라: 바뀌는 동전 하나가 총액을 $5$센트씩 움직이므로, $70$센트 증가는 니켈이 다임보다 $14$개 많다는 뜻이고, 이는 니켈 $17$개와 다임 $3$개, 곧 $\textdollar 1.15$로 정해진다.