AMC 10 · 2004 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportion complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각삼각형 $\triangle ACE$ 에서 $AC=12$ , $CE=16$ , $EA=20$ 입니다. 점 $B$ , $D$ , $F$ 는 각각 $AC$ , $CE$ , $EA$ 위에 있으며 $AB=3$ , $CD=4$ , $EF=5$ 입니다. $\triangle DBF$ 의 넓이와 $\triangle ACE$ 의 넓이의 비는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{9}{25}$

(C)

$\frac{3}{8}$

(D)

$\frac{11}{25}$

(E)

$\frac{7}{16}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AC=12$, $CE=16$, $EA=20$인 직각삼각형 $ACE$에서 각 변 위에 점이 하나씩 있다. $B$는 $AC$ 위에 있고 $AB=3$, $D$는 $CE$ 위에 있고 $CD=4$, $F$는 $EA$ 위에 있고 $EF=5$이다. 안쪽 삼각형 $DBF$의 넓이가 삼각형 $ACE$의 넓이의 몇 배인지 그 비를 구하여라.

주어진 것: 삼각형 $ACE$는 직각삼각형이고 변의 길이는 $AC=12$, $CE=16$, $EA=20$이다.; $B$는 $AC$ 위에 있고 $AB=3$이므로 $BC=12-3=9$이다.; $D$는 $CE$ 위에 있고 $CD=4$이므로 $DE=16-4=12$이다.; $F$는 $EA$ 위에 있고 $EF=5$이므로 $FA=20-5=15$이다.; 선택지: (A) $\tfrac14$, (B) $\tfrac{9}{25}$, (C) $\tfrac38$, (D) $\tfrac{11}{25}$, (E) $\tfrac{7}{16}$.

구하는 것: 안쪽 삼각형의 넓이와 큰 삼각형의 넓이의 비 $[\triangle DBF] : [\triangle ACE]$.

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

안쪽 삼각형 $DBF$를 곧바로 구하는 것은 어렵다. $DBF$의 어느 변도 큰 삼각형의 변 위에 놓여 있지 않기 때문이다. 하지만 잘려 나간 세 모서리는 쉽다. 각 모서리 삼각형은 $ACE$와 한 각을 통째로 공유한다. 그래서 관점을 바꾸어(도구 #16), 세 모서리의 넓이를 구해 전체에서 빼자. $C$의 모서리는 직접 잴 수 있는 직각삼각형이고, $A$와 $E$의 모서리는 높이가 같은 삼각형의 비 논증으로 구한다. 전체 = 안쪽 + 세 모서리로 나누는 것이 작은 문제로의 분할(도구 #7)이며, 이는 그림(도구 #1)에서 바로 읽힌다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 8.G.B.6 단계 1

직각이 C에 있음을 찾기

직각삼각형이지만 직각이 어디인지 찾아야 한다.
가장 긴 변이 빗변이고, $EA=20$이 가장 길다.
변의 길이로 확인하면 $12^2+16^2 = 144+256 = 400 = 20^2$이다.
제곱해서 더했을 때 빗변이 되는 두 변이 다리 $AC=12$와 $CE=16$이므로, 직각은 그 사이인 $C$에 있다.
따라서 $AC$와 $CE$가 수직이고, $ACE$의 넓이는 두 다리 곱의 절반이다.

$$12^2+16^2=20^2 \;\Rightarrow\; \angle C = 90^\circ,\qquad [\triangle ACE]=\tfrac12\cdot 12\cdot 16 = 96$$

💡 직각은 언제나 가장 긴 변을 마주 보므로, 두 다리는 그 꼭짓점에서 만나는 두 변이다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 2

전체 = 안쪽 + 세 모서리

세 점은 $ACE$의 세 모서리에서 작은 삼각형을 잘라 낸다.
꼭짓점 $A$에서 삼각형 $ABF$, 꼭짓점 $C$에서 삼각형 $BCD$, 꼭짓점 $E$에서 삼각형 $DEF$이다.
가운데 남는 것이 바로 목표인 삼각형 $DBF$이다.
그러니 $DBF$를 직접 재는 대신 세 모서리의 넓이를 구해 빼면 된다.
남은 길이도 적어 두자: $BC=9$, $DE=12$, $FA=15$.

$$[\triangle DBF] = [\triangle ACE] - [\triangle ABF] - [\triangle BCD] - [\triangle DEF]$$

💡 어색한 가운데 조각을 새로 만드는 것보다 쉬운 세 모서리를 깎아 내는 편이 더 쉽다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

C의 모서리는 직각삼각형

삼각형 $BCD$는 $C$의 직각을 그대로 가지므로 그 자체가 직각삼각형이고, 수직인 두 다리는 $BC=9$와 $CD=4$이다.
넓이는 두 다리 곱의 절반이다.
전체와 비교하면 $96$ 중 $18$, 즉 $\tfrac{3}{16}$이다.

$$[\triangle BCD]=\tfrac12\cdot 9\cdot 4 = 18,\qquad \frac{[\triangle BCD]}{[\triangle ACE]}=\frac{18}{96}=\frac{3}{16}$$

💡 원래의 직각을 그대로 가진 모서리는 그냥 더 작은 직각삼각형이므로 넓이는 다리 곱의 절반이다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

A의 모서리는 높이가 같은 비로

삼각형 $ABF$는 $ACE$와 $A$에서 각을 통째로 공유한다.
두 단계로 비교하자.
먼저 $ABF$와 $ACF$는 $F$에서 직선 $AC$로 내린 높이가 같으므로, 넓이의 비는 밑변의 비 $AB:AC = 3:12 = \tfrac14$이다.
다음으로 $ACF$와 $ACE$는 밑변 $AC$를 공유하므로, 넓이의 비는 $AF:AE = 15:20 = \tfrac34$이다.
두 축소 배율을 곱하면 이 모서리가 전체에서 차지하는 몫이 나온다.

$$\frac{[\triangle ABF]}{[\triangle ACE]}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AF}{AE}=\frac14\cdot\frac34=\frac{3}{16}$$

💡 두 삼각형이 한 각을 공유하면 줄인 변마다 넓이가 그 분수만큼 줄어드므로 두 분수를 곱하기만 하면 된다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 5

E의 모서리도 같은 방법으로

삼각형 $DEF$는 $E$에서 각을 공유한다.
똑같은 두 단계 논증으로, $EC=16$을 $ED=12$로 줄이면 $\tfrac{12}{16}=\tfrac34$배, $EA=20$을 $EF=5$로 줄이면 $\tfrac{5}{20}=\tfrac14$배가 된다.
모서리의 몫은 그 곱이다.
세 모서리가 모두 $\tfrac{3}{16}$으로 같다는 점에 주목하자.

$$\frac{[\triangle DEF]}{[\triangle ACE]}=\frac{ED}{EC}\cdot\frac{EF}{EA}=\frac34\cdot\frac14=\frac{3}{16}$$

💡 각을 공유하는 같은 방법이 모든 모서리에서 통하고, 여기서는 분수의 자리만 바뀌므로 답이 똑같이 나온다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 6

세 모서리를 빼기

세 모서리를 합치면 전체의 $\tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{16}=\tfrac{9}{16}$을 차지한다.
안쪽 삼각형 $DBF$는 남는 전부이므로 그 몫은 $1-\tfrac{9}{16}=\tfrac{7}{16}$이다.
이는 선택지 (E)이다.

$$\frac{[\triangle DBF]}{[\triangle ACE]} = 1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 전체를 $1$로 놓고 같은 세 모서리를 덜어 내면 남는 것이 가운데 삼각형의 몫이다.

[1] #1 8.G.B.6 직각삼각형이지만 직각이 어디인지 찾아야 한다. 가장 긴 변이 빗변이고, $EA=20$이 가장 길다. 변의 길이로 확인하면 $12^2+16^2 =

[2] #16 6.G.A.1 세 점은 $ACE$의 세 모서리에서 작은 삼각형을 잘라 낸다. 꼭짓점 $A$에서 삼각형 $ABF$, 꼭짓점 $C$에서 삼각형 $BCD$, 꼭짓점

[3] #7 6.G.A.1 삼각형 $BCD$는 $C$의 직각을 그대로 가지므로 그 자체가 직각삼각형이고, 수직인 두 다리는 $BC=9$와 $CD=4$이다. 넓이는 두 다리

[4] #16 6.RP.A.3 삼각형 $ABF$는 $ACE$와 $A$에서 각을 통째로 공유한다. 두 단계로 비교하자. 먼저 $ABF$와 $ACF$는 $F$에서 직선 $AC$로

[5] #16 6.RP.A.3 삼각형 $DEF$는 $E$에서 각을 공유한다. 똑같은 두 단계 논증으로, $EC=16$을 $ED=12$로 줄이면 $\tfrac{12}{16}=\

[6] #16 6.G.A.1 세 모서리를 합치면 전체의 $\tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{16}=\tfrac{9}{16}$을 차지한다.

검토

합리성 확인: 안쪽 삼각형은 $ACE$의 한참 안쪽에 놓이므로 그 몫은 $\tfrac12$보다 작아야 하고, $\tfrac{7}{16}$(절반보다 조금 작음)은 그림에 잘 맞는다. 실제 수로 세 모서리는 $18+18+18=54$이고 $96-54=42$이므로 $\tfrac{42}{96}=\tfrac{7}{16}$으로 같은 결과가 나온다. 함정 선택지 $\tfrac{9}{25}$는 $\left(\tfrac35\right)^2$ 같은 잘못된 추론에서, $\tfrac14$은 모서리들이 달라 보인다고 착각하는 데서 나오지만, 정직하게 구한 모서리 넓이는 모두 $\tfrac{3}{16}$이고 답은 $\tfrac{7}{16}$이다.

대안 접근: 좌표로도 빠르게 확인된다. $C=(0,0)$, $A=(0,12)$, $E=(16,0)$으로 놓으면 $B=(0,9)$, $D=(4,0)$, $F=(12,3)$이다. 신발끈 공식으로 $[\triangle DBF]=\tfrac12\left|0(0-3)+4(3-9)+12(9-0)\right|=\tfrac12\left|{-24}+108\right|=42$이고, $\tfrac{42}{96}=\tfrac{7}{16}$으로 (E)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.6 피타고라스 정리와 그 역의 증명 설명하기 ($12^2+16^2=20^2$을 이용해 직각이 $C$에 있음을 찾아 다리와 $ACE$의 넓이를 확정함.)
6.G.A.1 삼각형으로 분할하거나 합쳐 다각형의 넓이 구하기 ($ACE$를 안쪽 삼각형과 세 모서리 삼각형으로 나누고, 직각삼각형 모서리와 마지막 뺄셈을 계산함.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (높이가 같은 삼각형 비교로 각을 공유하는 각 모서리의 넓이를 두 변 길이 비의 곱으로 구함.)

⭐ 삼각형의 각 모서리를 잘라 냈을 때는, 쉬운 모서리 조각들을 구해 전체에서 빼면 된다. 한 각을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비는 두 변 길이를 곱한 비와 같다.