AMC 10 · 2004 · #18
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
안쪽 삼각형 DBF를 곧바로 구하는 것은 어렵다. DBF의 어느 변도 큰 삼각형의 변 위에 놓여 있지 않기 때문이다. 하지만 잘려 나간 세 모서리는 쉽다. 각 모서리 삼각형은 ACE와 한 각을 통째로 공유한다. 그래서 관점을 바꾸어(도구 #16), 세 모서리의 넓이를 구해 전체에서 빼자. C의 모서리는 직접 잴 수 있는 직각삼각형이고, A와 E의 모서리는 높이가 같은 삼각형의 비 논증으로 구한다. 전체 = 안쪽 + 세 모서리로 나누는 것이 작은 문제로의 분할(도구 #7)이며, 이는 그림(도구 #1)에서 바로 읽힌다.
직각이 C에 있음을 찾기
12²+16²=20²이므로 직각은 C에 있고, 다리 AC와 CE로 넓이는 96이다.
직각은 언제나 가장 긴 변을 마주 보므로, 두 다리는 그 꼭짓점에서 만나는 두 변이다.
8.G.B.6Draw A Diagram전체 = 안쪽 + 세 모서리
세 점이 각 꼭짓점에서 모서리 삼각형을 잘라 내므로, DBF는 ABF, BCD, DEF를 뺀 나머지이다.
어색한 가운데 조각을 새로 만드는 것보다 쉬운 세 모서리를 깎아 내는 편이 더 쉽다.
6.G.A.1Change Focus Count The ComplementC의 모서리는 직각삼각형
BCD는 C의 직각을 그대로 가져 다리가 BC=9, CD=4이므로 넓이는 18, 즉 96의 3/16이다.
원래의 직각을 그대로 가진 모서리는 그냥 더 작은 직각삼각형이므로 넓이는 다리 곱의 절반이다.
6.G.A.1Identify SubproblemsA의 모서리는 높이가 같은 비로
ABF는 A의 각을 ACE와 공유하므로 넓이 비는 두 변 비의 곱 3/12 × 15/20 = 3/16이다.
두 삼각형이 한 각을 공유하면 줄인 변마다 넓이가 그 분수만큼 줄어드므로 두 분수를 곱하기만 하면 된다.
두 삼각형이 한 각을 공유하면 짧아진 각 변이 넓이를 그 몫만큼 줄이므로, 두 몫이 곱해진다.
▸ 왜?
한 직선 위에 같은 꼭짓점을 둔 삼각형은 넓이가 밑변의 비를 이룬다.
▸ 왜?
각을 공유하면 두 번의 줄임이 서로 다른 방향에 작용하므로, 두 비가 동시에 적용된다.
E의 모서리도 같은 방법으로
DEF도 E의 각을 공유하니 같은 방법으로 12/16 × 5/20 = 3/16, 세 모서리가 모두 같다.
각을 공유하는 같은 방법이 모든 모서리에서 통하고, 여기서는 분수의 자리만 바뀌므로 답이 똑같이 나온다.
6.RP.A.3Change Focus Count The Complement세 모서리를 빼기
세 모서리가 각각 3/16이니 합은 9/16, 남는 DBF의 몫은 1-9/16 = 7/16, 즉 (E)이다.
전체를 1로 놓고 같은 세 모서리를 덜어 내면 남는 것이 가운데 삼각형의 몫이다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement삼각형의 각 모서리를 잘라 냈을 때는, 쉬운 모서리 조각들을 구해 전체에서 빼면 된다. 한 각을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비는 두 변 길이를 곱한 비와 같다.
- 직각이 C에 있음을 찾기
- 전체 = 안쪽 + 세 모서리
- C의 모서리는 직각삼각형
- A의 모서리는 높이가 같은 비로
- E의 모서리도 같은 방법으로
- 세 모서리를 빼기
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