AMC 10 · 2004 · #21

학년 6 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

sequences-arithmeticprinciple-of-inclusion-exclusionchinese-remainder-theorem pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$1$ ; $4$ ; $7$ ; $\ldots$ 와 $9$ ; $16$ ; $23$ ; $\ldots$ 를 두 개의 등차수열이라 하자. 집합 $S$ 는 각 수열의 처음 $2004$ 개 항들의 합집합이다. $S$ 에는 서로 다른 수가 몇 개 들어 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3722

(B)

3732

(C)

3914

(D)

3924

(E)

4007

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 같은 크기의 수를 계속 더해 만든 두 수열이 있다. 첫 번째 수열은 $1,4,7,\ldots$ ($1$에서 시작해 $3$씩 더함)이고, 두 번째 수열은 $9,16,23,\ldots$ ($9$에서 시작해 $7$씩 더함)이다. 각 수열의 처음 $2004$개 항을 모아 하나의 집합 $S$로 합친다. 어떤 수는 두 수열 모두에 나타날 수 있으므로, $S$에 들어가는 $\textit{서로 다른}$ 수가 몇 개인지 구하여라.

주어진 것: 첫 번째 수열: $1$에서 시작하고 공차는 $3$이므로 항은 $1,4,7,\ldots$이다.; 두 번째 수열: $9$에서 시작하고 공차는 $7$이므로 항은 $9,16,23,\ldots$이다.; 각 수열의 처음 $2004$개 항을 정확히 취한다.; $S$는 그 $2004+2004$개 수의 합집합(모음)이다.; 선택지: (A) $3722$, (B) $3732$, (C) $3914$, (D) $3924$, (E) $4007$.

구하는 것: $S$에 들어 있는 서로 다른 값의 개수, 즉 $|S|$.

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리

집합 $S$는 겹칠 수 있는 두 수열의 합집합이므로 두 원을 그려 생각한다(도구 #12, 벤 다이어그램 그리기). 합집합의 크기는 두 수열의 크기를 더한 뒤 두 번 세어진 겹치는 부분을 뺀 것이다. 즉 $|S|=2004+2004-(\text{공통 항의 개수})$이고, 문제 전체가 공통 항을 세는 것으로 줄어든다. 그 개수 세기가 진짜 핵심이다. 두 수열 모두에 있는 수는 각 수열과 같은 나머지를 남기므로, 공통 수들은 두 공차의 최소공배수만큼 뛰는 자신만의 규칙적인 수열을 이룬다(도구 #5, 패턴 찾기). 그 수열이 어디서 멈춰야 하는지 정하려면 두 마지막 항 중 더 작은 것을 천장으로 삼는데(도구 #14, 극단의 원리), 이를 위해 각 수열의 항 규칙이 필요하므로 마지막 항을 구할 수 있게 한다(도구 #4, 변수 도입하기).

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

규칙을 쓰고 각 마지막 항 구하기

항에 $1$부터 번호를 매긴다.
첫 번째 수열에서 각 항은 시작 값 $1$에 이미 뛴 만큼의 $3$을 더한 것이므로, $n$번째 항은 $1+3(n-1)=3n-2$이다.
두 번째 수열에서 $m$번째 항은 $9+7(m-1)=7m+2$이다.
내가 취하는 마지막 항은 각 수열의 $2004$번째 항이다.
첫 번째 수열: $3\cdot 2004-2=6010$.
두 번째 수열: $7\cdot 2004+2=14030$.
첫 번째 수열의 모든 항은 $3$으로 나누면 나머지가 $1$이고, 두 번째 수열의 모든 항은 $7$으로 나누면 나머지가 $2$임에 주목한다.

$$a_n=3n-2,\ a_{2004}=6010;\qquad b_m=7m+2,\ b_{2004}=14030$$

💡 항은 그저 시작하는 수에, 이미 뛴 횟수만큼의 한 걸음씩을 더한 것이다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 2

공통 수는 21씩 뛴다

두 수열 모두에 있는 수는 $3$으로 나누면 나머지가 $1$이고 동시에 $7$으로 나누면 나머지가 $2$여야 한다.
두 번째 수열에서 처음으로 맞는 수를 찾자.
$9$는 $3$으로 나눈 나머지가 $0$이지만 $16$은 나머지가 $1$이므로 $16$이 첫 번째 공통 수이다.
그 뒤로 두 나머지를 계속 유지하려면 $3$의 배수만큼과 $7$의 배수만큼을 동시에 올라가야 하는데, 이는 $3$과 $7$의 최소공배수인 $21$만큼 올라가는 것이다.
따라서 공통 수는 $16,37,58,\ldots$, 즉 $16$에서 시작해 $21$씩 뛰는 새로운 규칙적인 수열이다.

$$\operatorname{lcm}(3,7)=21;\quad \text{공통 항}=16+21k,\ k=0,1,2,\ldots$$

💡 두 나머지를 한꺼번에 유지하려면 두 간격 모두의 배수만큼만 걸을 수 있고, 그 가장 작은 걸음이 최소공배수이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 3

공통 수 개수 세기

공통 수는 $\textit{두}$ 수열 모두에 나타나야 하므로 두 마지막 항 중 더 작은 것보다 클 수 없다.
첫 번째 수열은 $6010$에서 멈추고 두 번째 수열은 $14030$까지 가므로 $6010$이 천장이다.
$16+21k$ 중 $6010$ 이하인 항을 세자.
$16+21k\le 6010$을 풀면 $21k\le 5994$, 즉 $k\le \tfrac{5994}{21}=285.4\ldots$이므로 $k=0,1,\ldots,285$이다.
곧 공통 수는 $286$개이고, 가장 큰 것은 $16+21\cdot 285=6001$로 실제로 $6010$보다 작다.

$$16+21k\le 6010\ \Rightarrow\ k\le \tfrac{5994}{21}=285.4\ldots\ \Rightarrow\ k=0,\ldots,285\ \ (286\text{개})$$

💡 두 수열 모두에 있는 수는 먼저 끝나는 수열을 앞지를 수 없으므로, 더 짧은 수열의 마지막 항이 결승선이다.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 4

벤 다이어그램으로 두 수열 합치기

두 원을 상상하자.
하나는 첫 번째 수열의 $2004$개 수를, 다른 하나는 두 번째 수열의 $2004$개 수를 담고, 겹치는 부분은 공통 수 $286$개를 담는다.
그냥 $2004+2004$를 더하면 각 공통 수를 두 번 세게 되므로 겹치는 부분을 한 번 뺀다.
$|S|=2004+2004-286=4008-286=3722$이다.
이는 선택지 (A)이다.

$$|S|=2004+2004-286=4008-286=3722\ \textbf{(A)}$$

💡 두 더미를 더하면 양쪽에 다 있는 것을 두 번 세므로, 겹치는 부분을 한 벌 덜어낸다.

[1] #4 6.EE.A.2 항에 $1$부터 번호를 매긴다. 첫 번째 수열에서 각 항은 시작 값 $1$에 이미 뛴 만큼의 $3$을 더한 것이므로, $n$번째 항은 $1+3(

[2] #5 6.NS.B.4 두 수열 모두에 있는 수는 $3$으로 나누면 나머지가 $1$이고 동시에 $7$으로 나누면 나머지가 $2$여야 한다. 두 번째 수열에서 처음으로

[3] #14 6.EE.B.5 공통 수는 $\textit{두}$ 수열 모두에 나타나야 하므로 두 마지막 항 중 더 작은 것보다 클 수 없다. 첫 번째 수열은 $6010$에서

[4] #12 4.OA.A.3 두 원을 상상하자. 하나는 첫 번째 수열의 $2004$개 수를, 다른 하나는 두 번째 수열의 $2004$개 수를 담고, 겹치는 부분은 공통 수

검토

합리성 확인: 중복을 빼기 전 모음에는 $4008$개의 수가 있고, 선택지 (E) $4007$은 $4008$보다 겨우 하나 적으므로 여러 번 교차하는 두 수열 사이에 겹침이 단 하나뿐이라는 뜻이 되어 지나치게 크다. $286$개의 중복을 빼면 $3722$가 되어 $4008$보다 충분히 작고 선택지 (A)와 일치한다. 공통 수 개수를 다른 방법으로 다시 세자. 공통 수는 $16,37,\ldots,6001$이고 $\frac{6001-16}{21}+1=\frac{5985}{21}+1=285+1=286$으로 개수가 확인된다. 모든 공통 값($\le 6001$)이 실제로 두 수열의 범위 안에 있으므로 잘못 센 것은 없다.

대안 접근: 벤 다이어그램 대신 두 번째 수열이 새로 보태는 양을 직접 세도 된다. 두 번째 수열은 $2004$개의 수를 가져오지만 그중 $286$개는 이미 첫 번째 수열에 있으므로 정말로 새로운 수는 $2004-286=1718$개뿐이다. 여기에 첫 번째 수열의 전체 $2004$개를 더하면 $2004+1718=3722$이다. 같은 답이며, 이제 겹침을 빼야 할 중복이 아니라 두 번째 수열이 되풀이하는 수로 바라본 것이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산한다 (각 수열의 항 규칙 $3n-2$와 $7m+2$를 쓰고 $n=m=2004$에서 계산해 마지막 항 $6010$과 $14030$을 구하기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (공통 수들이 $\operatorname{lcm}(3,7)=21$만큼 뛰는 새로운 수열을 이룸을 알아채기.)
6.EE.B.5 부등식을 푸는 것이 어떤 값이 참으로 만드는지 찾는 과정임을 이해한다 ($16+21k\le 6010$을 풀어 공통 수가 범위 안에 남는 $k$의 값을 찾아 $286$개를 얻기.)
4.OA.A.3 네 가지 연산으로 여러 단계 문장제를 해결한다 (포함-배제로 개수를 합치기: $2004+2004-286=3722$.)

⭐ 두 수열을 합칠 때는 길이를 더하고 겹치는 부분을 빼라. 겹치는 수들은 두 걸음 크기의 최소공배수만큼 뛰는 자신만의 수열을 이룬다.