AMC 10 · 2004 · #22
학년 8 geometry-2d세 변의 길이가 5, 12, 13인 삼각형에 내접원과 외접원이 각각 하나씩 있다. 이 두 원의 중심 사이의 거리는 얼마인가?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 변의 길이가 $5$, $12$, $13$인 삼각형이 있습니다. 세 변에 모두 안쪽에서 접하는 원(내접원)과 세 꼭짓점을 모두 지나는 원(외접원)이 하나씩 그려집니다. 두 원의 중심 사이의 거리를 구하세요.
주어진 것: 삼각형의 세 변의 길이는 $5$, $12$, $13$입니다.; 내접원은 세 변에 안쪽에서 접하며, 그 중심은 내심입니다.; 외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나며, 그 중심은 외심입니다.; 선택지: (A) $\frac{3\sqrt{5}}{2}$, (B) $\frac{7}{2}$, (C) $\sqrt{15}$, (D) $\frac{\sqrt{65}}{2}$, (E) $\frac{9}{2}$.
구하는 것: 내심과 외심 사이의 거리.
이해
문제 재정리: 세 변의 길이가 $5$, $12$, $13$인 삼각형이 있습니다. 세 변에 모두 안쪽에서 접하는 원(내접원)과 세 꼭짓점을 모두 지나는 원(외접원)이 하나씩 그려집니다. 두 원의 중심 사이의 거리를 구하세요.
주어진 것: 삼각형의 세 변의 길이는 $5$, $12$, $13$입니다.; 내접원은 세 변에 안쪽에서 접하며, 그 중심은 내심입니다.; 외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나며, 그 중심은 외심입니다.; 선택지: (A) $\frac{3\sqrt{5}}{2}$, (B) $\frac{7}{2}$, (C) $\sqrt{15}$, (D) $\frac{\sqrt{65}}{2}$, (E) $\frac{9}{2}$.
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기
변 $5$, $12$, $13$은 유명한 피타고라스 세 쌍이므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 계산 전에 이것이 직각삼각형임을 알려 줍니다. 이 한 가지 사실이 두 중심을 쉽게 찾게 해 주므로, 도구 #1(그림 그리기)로 직각을 원점에 두고 두 다리를 좌표축에 놓은 좌표평면을 세웁니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 나눕니다. 외심을 찾고, 내심을 찾고, 마지막으로 두 점 사이의 직선 거리를 거리 공식으로 잽니다. 모든 것을 좌표에 놓으면 '두 특별한 점 사이의 거리'가 단순한 계산으로 바뀝니다.
실행 — 정답: D
8.G.B.6 단계 1 직각삼각형 알아채기
- 변의 길이를 피타고라스 정리에 대입해 봅니다.
- 짧은 두 변을 제곱해 더하면 $5^2+12^2=25+144=169$이고, 가장 긴 변은 $13^2=169$을 만족합니다.
- $5^2+12^2=13^2$이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 이 삼각형은 직각삼각형이며, 직각은 길이 $5$와 $12$인 두 다리 사이에 있고 그 맞은편에 길이 $13$인 빗변이 있습니다.
💡 짧은 두 변의 제곱의 합이 가장 긴 변의 제곱과 같으면, 그 두 변 사이의 모서리는 완벽한 직각입니다.
6.NS.C.8 단계 2 좌표 놓고 외심 찾기
- 직각을 원점에 두고 두 다리를 좌표축을 따라 놓습니다.
- $C=(0,0)$, $A=(12,0)$, $B=(0,5)$입니다.
- 그러면 $CA=12$, $CB=5$이고 빗변 $AB=\sqrt{12^2+5^2}=13$으로 삼각형과 일치합니다.
- 직각삼각형에서 빗변은 외접원의 지름이므로 외심 $O$는 빗변의 중점에 있습니다.
- $AB$의 양 끝점을 평균 내면 $O=\left(\frac{12+0}{2},\frac{0+5}{2}\right)=\left(6,\tfrac{5}{2}\right)$입니다.
💡 직각은 항상 지름을 마주 보므로, 빗변의 중점은 세 꼭짓점 모두에서 정확히 같은 거리입니다.
6.G.A.1 단계 3 내접원 반지름과 내심 찾기
- 내접원은 세 변에 모두 접하므로, 그 반지름 $r$은 항등식 $\text{넓이}=r\cdot s$에서 나옵니다.
- 여기서 $s$는 반둘레입니다.
- 직각삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$이고 반둘레는 $s=\frac{5+12+13}{2}=15$이므로 $r=\frac{\text{넓이}}{s}=\frac{30}{15}=2$입니다.
- (직각삼각형 지름길 공식 $r=\frac{5+12-13}{2}=2$도 일치합니다.) 내접원은 좌표축 위에 놓인 두 다리에도 접하므로, 그 중심은 각 축에서 반지름만큼 안쪽에 있어 $I=(r,r)=(2,2)$입니다.
💡 두 축에 딱 붙은 원은 각 축에서 반지름만큼 떨어져 있어야 하므로, 그 중심은 $(r,r)$에 놓입니다.
8.G.B.8 단계 4 두 중심 사이 거리 재기
- 이제 $O=\left(6,\tfrac{5}{2}\right)$에서 $I=(2,2)$까지의 직선 거리를 거리 공식(좌표에서의 피타고라스 정리)으로 구하면 됩니다.
- 가로 차이는 $6-2=4$, 세로 차이는 $\tfrac{5}{2}-2=\tfrac{1}{2}$이므로 거리는 $\sqrt{4^2+\left(\tfrac12\right)^2}=\sqrt{16+\tfrac14}=\sqrt{\tfrac{65}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}$입니다.
- 답은 (D)입니다.
💡 두 중심이 격자 위의 점이 되면, 둘 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이가 만드는 작은 직각삼각형의 빗변일 뿐입니다.
8.G.B.6 변의 길이를 피타고라스 정리에 대입해 봅니다. 짧은 두 변을 제곱해 더하면 $5^2+12^2=25+144=169$이고, 가장 긴 변은 $13^2 6.NS.C.8 직각을 원점에 두고 두 다리를 좌표축을 따라 놓습니다. $C=(0,0)$, $A=(12,0)$, $B=(0,5)$입니다. 그러면 $CA=12$, 6.G.A.1 내접원은 세 변에 모두 접하므로, 그 반지름 $r$은 항등식 $\text{넓이}=r\cdot s$에서 나옵니다. 여기서 $s$는 반둘레입니다. 8.G.B.8 이제 $O=\left(6,\tfrac{5}{2}\right)$에서 $I=(2,2)$까지의 직선 거리를 거리 공식(좌표에서의 피타고라스 정리)으로 검토
합리성 확인: 소수로 나타내면 $\frac{\sqrt{65}}{2}\approx\frac{8.06}{2}\approx 4.03$입니다. 내심은 삼각형 안에 있고 외접원 반지름은 $R=\frac{13}{2}=6.5$이므로, 두 중심은 $6.5$보다 가까워야 하고 $4.03<6.5$로 잘 맞습니다. 선택지를 소수로 비교하면 (A) $\approx3.35$, (B) $=3.5$, (C) $\approx3.87$, (D) $\approx4.03$, (E) $=4.5$이고, 계산값과 맞는 것은 오직 (D)뿐이므로 답은 확실합니다.
대안 접근: 좌표를 전혀 쓰지 않고 오일러의 삼각형 정리를 씁니다. 이 정리는 내심과 외심 사이의 거리 $d$를 두 반지름과 연결합니다. $d^2=R^2-2Rr=R(R-2r)$입니다. 여기서 $R=\frac{13}{2}$(빗변의 절반)이고 $r=2$이므로 $d^2=\frac{13}{2}\left(\frac{13}{2}-4\right)=\frac{13}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{65}{4}$이고, 따라서 $d=\frac{\sqrt{65}}{2}$로 좌표 없이도 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.B.6피타고라스 정리와 그 역의 증명 설명 ($5^2+12^2=13^2$(역)을 이용해 $5$-$12$-$13$ 삼각형이 직각삼각형임을 알아채는 데 사용.)6.NS.C.8좌표평면의 모든 사분면에 점을 그려 실생활 문제 해결 (삼각형을 좌표평면에 놓고 외심을 빗변의 중점 $\left(6,\tfrac{5}{2}\right)$에서 찾는 데 사용.)6.G.A.1합성으로 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (직각삼각형의 넓이 $30$을 구해 내접원 반지름 $r=\frac{\text{넓이}}{s}=2$와 내심 $(2,2)$를 얻는 데 사용.)8.G.B.8좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구하기 위해 피타고라스 정리 적용 (내심 $(2,2)$와 외심 $\left(6,\tfrac{5}{2}\right)$ 사이의 거리 $\frac{\sqrt{65}}{2}$을 재는 데 사용.)
⭐ 직각삼각형에서 외접원의 중심은 빗변의 한가운데에 있고 내접원의 중심은 각 다리에서 반지름만큼 안쪽에 있습니다. 두 점을 격자에 놓으면 거리 공식이 마무리해 줍니다.
⭐ 직각삼각형에서 외접원의 중심은 빗변의 한가운데에 있고 내접원의 중심은 각 다리에서 반지름만큼 안쪽에 있습니다. 두 점을 격자에 놓으면 거리 공식이 마무리해 줍니다.
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