AMC 10 · 2004 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-triangles physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 5, 12, 13인 삼각형이 있습니다. 세 변에 모두 안쪽에서 접하는 원(내접원)과 세 꼭짓점을 모두 지나는 원(외접원)이 하나씩 그려집니다. 두 원의 중심 사이의 거리를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

(B)

$\frac{7}{2}$

(C)

$\sqrt{15}$

(D)

$\frac{\sqrt{65}}{2}$

(E)

$\frac{9}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

변 5, 12, 13은 유명한 피타고라스 세 쌍이므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 계산 전에 이것이 직각삼각형임을 알려 줍니다. 이 한 가지 사실이 두 중심을 쉽게 찾게 해 주므로, 도구 #1(그림 그리기)로 직각을 원점에 두고 두 다리를 좌표축에 놓은 좌표평면을 세웁니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 나눕니다. 외심을 찾고, 내심을 찾고, 마지막으로 두 점 사이의 직선 거리를 거리 공식으로 잽니다. 모든 것을 좌표에 놓으면 '두 특별한 점 사이의 거리'가 단순한 계산으로 바뀝니다.

1STEP 1

직각삼각형 알아채기

5²+12²=169=13²이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 직각삼각형이고, 직각은 길이 5와 12인 두 다리 사이에 있습니다.

5²+12²=25+144=169=13² → 직각삼각형

2STEP 2

좌표 놓고 외심 찾기

C=(0,0), A=(12,0), B=(0,5)로 놓으면 빗변 AB가 지름이므로 외심은 그 중점 O=(6,5/2)입니다.

C=(0,0), A=(12,0), B=(0,5); O=AB의 중점=(6,5/2)

3STEP 3

내접원 반지름과 내심 찾기

넓이=1/2·5·12=30, 반둘레 s=15이므로 r=30/15=2이고, 내접원이 두 축에 접하므로 내심은 I=(2,2)입니다.

넓이=1/2·5·12=30, s=(5+12+13)/2=15, r=30/15=2, I=(2,2)

4STEP 4

두 중심 사이 거리 재기

가로 차는 6-2=4, 세로 차는 5/2-2=1/2이므로 거리 공식으로 OI=√(16+1/4)=√(65)/2, 즉 (D)입니다.

OI=√((6-2)²+(5/2-2)²)=√(16+1/4)=√(65/4)=√(65)/2 (D)

정답

√(65)/2

소수로 나타내면 √(65)/2≈8.06/2≈ 4.03입니다. 내심은 삼각형 안에 있고 외접원 반지름은 R=13/2=6.5이므로, 두 중심은 6.5보다 가까워야 하고 4.03 ＜ 6.5로 잘 맞습니다. 선택지를 소수로 비교하면 (A) ≈3.35, (B) =3.5, (C) ≈3.87, (D) ≈4.03, (E) =4.5이고, 계산값과 맞는 것은 오직 (D)뿐이므로 답은 확실합니다.

💡핵심 정리

직각삼각형에서 외접원의 중심은 빗변의 한가운데에 있고 내접원의 중심은 각 다리에서 반지름만큼 안쪽에 있습니다. 두 점을 격자에 놓으면 거리 공식이 마무리해 줍니다.

직각삼각형 알아채기
좌표 놓고 외심 찾기
내접원 반지름과 내심 찾기
두 중심 사이 거리 재기

직각삼각형 알아채기

좌표 놓고 외심 찾기

내접원 반지름과 내심 찾기

두 중심 사이 거리 재기

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