AMC 10 · 2004 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-differencetangent-circles complementary-countingphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름 $1$ 인 원이 반지름 $2$ 인 두 원에 점 $A$ 와 $B$ 에서 내접하며, $AB$ 는 작은 원의 지름이다. 작은 원의 바깥이면서 두 큰 원 안쪽에 동시에 들어가는, 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{3} \pi - 3\sqrt 2$

(B)

$\frac{5}{3} \pi - 2\sqrt 3$

(C)

$\frac{8}{3} \pi - 3\sqrt 3$

(D)

$\frac{8}{3} \pi - 3\sqrt 2$

(E)

$\frac{8}{3} \pi - 2\sqrt 3$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $1$ 인 작은 원이 반지름 $2$ 인 두 큰 원에 각각 내접(내부에서 접)하며, 그 접점은 작은 원의 한 지름의 양 끝 $A$ 와 $B$ 입니다. 작은 원의 바깥이면서 두 큰 원 안쪽에 동시에 들어가는 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 작은 원의 반지름은 $1$ 이고, 지름 $AB$ 의 길이는 $2$ 입니다.; 두 큰 원은 반지름이 모두 $2$ 이고, 작은 원과 각각 $A$, $B$ 에서 내접합니다.; 그림에서 한 큰 원은 $A$ 를 중심으로, 다른 큰 원은 $B$ 를 중심으로 하며, 각각 반대쪽 접점을 지납니다.; 선택지: (A) $\frac{5}{3}\pi - 3\sqrt{2}$, (B) $\frac{5}{3}\pi - 2\sqrt{3}$, (C) $\frac{8}{3}\pi - 3\sqrt{3}$, (D) $\frac{8}{3}\pi - 3\sqrt{2}$, (E) $\frac{8}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

구하는 것: 색칠된 영역의 넓이: 작은 원 바깥이면서 두 큰 원 안쪽인 부분.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

모든 것이 네 개의 핵심 점을 놓는 데서 시작하므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장섭니다: 작은 원을 원점에 두고 $A=(0,1)$, $B=(0,-1)$, 큰 원들의 중심을 $A$ 와 $B$ 로 잡습니다. 그러면 두 사실이 곧바로 나옵니다 — 큰 두 원은 $(\pm\sqrt3,0)$ 에서 만나고, 작은 원판은 겹친 영역 안에 통째로 들어갑니다. 두 번째 사실이 도구 #16(관점 바꾸기)을 살립니다: 울퉁불퉁한 색칠 영역을 곧장 쫓지 말고, 두 큰 원판이 겹치는 렌즈 전체를 구한 다음 맨 마지막에 작은 원판 넓이 $\pi$ 만 빼면 됩니다. 렌즈 자체를 구하는 일은 깔끔한 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 두 교점을 잇는 현이 렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누고, 각 활꼴은 부채꼴 하나에서 삼각형 하나를 뺀 것입니다. 한 변이 $2$ 인 정삼각형에서 나오는 $60^\circ$ 각이 $\sqrt3$ 을 만들고, $\pi$ 를 빼는 것을 잊지 않는 것이 바로 선택지 (B)를 함정 (C)/(D)/(E)와 가르는 지점입니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

좌표를 잡고 두 큰 원의 교점 찾기

작은 원을 원점 $O=(0,0)$ 에 두면 지름의 양 끝은 $A=(0,1)$, $B=(0,-1)$ 입니다.
$A$ 에서 접하는 큰 원은 $A$ 를 중심으로 반지름 $2$ 이고($AB=2$ 이므로 $B$ 를 지납니다), 다른 큰 원은 $B$ 를 중심으로 반지름 $2$ 입니다.
두 식은 $x^2+(y-1)^2=4$ 와 $x^2+(y+1)^2=4$ 입니다.
한 식에서 다른 식을 빼면 $x^2$ 이 없어지고 $(y-1)^2-(y+1)^2=0$, 즉 $-4y=0$ 이므로 $y=0$ 입니다.
그러면 $x^2+1=4$ 에서 $x=\pm\sqrt3$.
두 원은 $P=(\sqrt3,0)$ 과 $Q=(-\sqrt3,0)$ 에서 만납니다.

$$x^2+(y-1)^2=4,\ x^2+(y+1)^2=4 \ \Rightarrow\ y=0,\ x=\pm\sqrt3;\quad P=(\sqrt3,0),\ Q=(-\sqrt3,0)$$

💡 대칭에 의해 두 교점은 중심들과 같은 높이에 있을 수밖에 없고, 가로 방향으로 뻗은 거리 $\sqrt3$ 은 반지름 $2$ 에서 세로로 $1$ 을 쓰고 남은 나머지 변입니다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 2

관점 바꾸기: 작은 원판을 되채운 뒤 마지막에 빼기

색칠 영역은 (두 큰 원 안쪽)에서 작은 원판을 도려낸 것입니다.
먼저 작은 원판이 정말로 겹친 영역 안에 있는지 확인합니다.
작은 원 위의 점은 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 이고, 중심 $A=(0,1)$ 까지의 거리는 $\sqrt{\cos^2\theta+(\sin\theta-1)^2}=\sqrt{2-2\sin\theta}\le 2$ 로 항상 성립합니다.
$B$ 에 대해서도 똑같으므로 작은 원판 전체가 두 큰 원 안에 들어갑니다.
따라서 색칠 넓이는 겹친 렌즈 전체 넓이에서 작은 원판 넓이 $\pi\cdot 1^2=\pi$ 를 뺀 값과 같습니다.
이것이 핵심 전략입니다: 다루기 쉬운 렌즈를 먼저 구하고, $\pi$ 를 한 번만 빼는 것.

$$\text{색칠} = \text{겹친 렌즈 넓이} - \pi\cdot 1^2 = \text{렌즈 넓이} - \pi$$

💡 울퉁불퉁한 고리를 재는 대신, 우리가 자를 줄 아는 렌즈 전체를 재고 작은 원은 맨 마지막에 도려냅니다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

정삼각형을 알아채 각도 구하기

$A=(0,1)$, $B=(0,-1)$, $P=(\sqrt3,0)$ 로 이루어진 삼각형 $ABP$ 를 봅니다.
변의 길이는 $AB=2$, $AP=\sqrt{3+1}=2$, $BP=\sqrt{3+1}=2$ 로 모두 같으므로 $ABP$ 는 정삼각형이고 모든 각이 $60^\circ$ 입니다.
$ABQ$ 도 마찬가지입니다.
특히 중심 $B$ 에서 현 $PQ$ 가 이루는 각은 $\angle PBQ=\angle PBA+\angle ABQ=60^\circ+60^\circ=120^\circ$ 이고, 대칭에 의해 중심 $A$ 에서도 $\angle PAQ=120^\circ$ 입니다.
이 $120^\circ$ 중심각이 렌즈의 두 호의 크기를 정해 줍니다.

$$AB=AP=BP=2 \Rightarrow \triangle ABP \text{ 정삼각형},\ \angle PBA=60^\circ;\quad \angle PBQ = 60^\circ+60^\circ = 120^\circ$$

💡 세 변이 같으면 세 각이 모두 $60^\circ$ 가 되고, 지름을 사이에 두고 그 두 각을 포개면 렌즈의 각 호가 얹히는 $120^\circ$ 부채꼴이 만들어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

렌즈를 두 활꼴로 잘라 더하기

현 $PQ$($x$ 축)는 겹친 렌즈를 아래쪽 원(중심 $B$)이 경계인 위쪽 조각과 위쪽 원(중심 $A$)이 경계인 아래쪽 조각으로 나눕니다.
대칭에 의해 두 조각은 합동입니다.
위쪽 조각을 봅시다: 이것은 중심 $B$ 인 원의 $120^\circ$ 부채꼴($BP$, $BQ$ 와 $A$ 를 지나는 호로 둘러싸임)에서 삼각형 $PBQ$ 를 뺀 것입니다.
부채꼴은 그 원의 $\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac13$ 이므로 $\frac13\cdot \pi\cdot 2^2=\frac{4\pi}{3}$ 입니다.
삼각형 $PBQ$ 는 밑변 $PQ=2\sqrt3$, 높이 $1$($B$ 에서 $x$ 축까지)이므로 넓이는 $\frac12\cdot 2\sqrt3\cdot 1=\sqrt3$ 입니다.
활꼴 하나 $=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3$ 이고, 렌즈는 그것 둘이므로 $\text{렌즈 넓이}=2\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3$ 입니다.

$$\text{활꼴}=\frac13(4\pi)-\sqrt3=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3;\quad \text{렌즈 넓이}=2\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3$$

💡 휘어진 렌즈는 어렵지만, 부채꼴에서 곧은 삼각형을 뺀 것은 쉽습니다 — 렌즈는 그런 조각 둘을 등끼리 붙인 것일 뿐입니다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 5

작은 원을 빼서 최종 넓이 구하기

2단계에서 색칠 영역은 렌즈에서 작은 원판을 뺀 것입니다: $\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3\right)-\pi$.
$\pi=\frac{3\pi}{3}$ 로 쓰면 $\frac{8\pi}{3}-\frac{3\pi}{3}-2\sqrt3=\frac{5\pi}{3}-2\sqrt3$ 입니다.
이것이 선택지 (B)입니다.
함정 (C), (D), (E)는 모두 $\frac{8\pi}{3}$ 을 그대로 두는데, 이는 작은 원을 빼는 것을 잊었을 때 나오는 값입니다 — 그러니 $\pi$ 를 빼는 것이 승부처입니다.

$$\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3\right)-\pi=\frac{5\pi}{3}-2\sqrt3\quad\textbf{(B)}$$

💡 렌즈는 겹친 부분 전체였고, 거기서 작은 원을 벗겨 내면 $\frac{8\pi}{3}$ 이 $\frac{5\pi}{3}$ 로 바뀌며 답에 도달합니다.

[1] #1 8.G.B.7 작은 원을 원점 $O=(0,0)$ 에 두면 지름의 양 끝은 $A=(0,1)$, $B=(0,-1)$ 입니다. $A$ 에서 접하는 큰 원은 $A$

[2] #16 7.G.B.6 색칠 영역은 (두 큰 원 안쪽)에서 작은 원판을 도려낸 것입니다. 먼저 작은 원판이 정말로 겹친 영역 안에 있는지 확인합니다. 작은 원 위의 점

[3] #1 8.G.A.5 $A=(0,1)$, $B=(0,-1)$, $P=(\sqrt3,0)$ 로 이루어진 삼각형 $ABP$ 를 봅니다. 변의 길이는 $AB=2$, $AP

[4] #7 7.G.B.4 현 $PQ$($x$ 축)는 겹친 렌즈를 아래쪽 원(중심 $B$)이 경계인 위쪽 조각과 위쪽 원(중심 $A$)이 경계인 아래쪽 조각으로 나눕니다.

[5] #16 7.G.B.6 2단계에서 색칠 영역은 렌즈에서 작은 원판을 뺀 것입니다: $\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3\right)-\pi$. $\pi

검토

합리성 확인: 수치로 보면 렌즈는 $\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3\approx 8.378-3.464=4.914$ 이고, $\pi\approx3.142$ 를 빼면 $\approx1.772$ 로, $\frac{5\pi}{3}-2\sqrt3\approx5.236-3.464=1.772$ 과 일치합니다. 이 값은 양수이고 렌즈보다 넉넉히 작으므로, 도려낸 부분 영역으로서 타당합니다 — 좋은 점검입니다. $\sqrt3$ 이 맞는 근호입니다: $30$-$60$-$90$/정삼각형 구조($60^\circ$, $120^\circ$ 각)에서 나오기 때문입니다. 따라서 $45^\circ$ 각이 필요한 $\sqrt2$ 나, 작은 원을 빼지 않은 $3\sqrt3$ 은 여기 들어설 자리가 없어 (A), (C), (D)를 배제합니다. 오직 (B)만 올바른 $\frac{5\pi}{3}$(작은 원 제거)과 올바른 $2\sqrt3$ 을 모두 갖습니다.

대안 접근: 두 원의 겹침 넓이 공식을 바로 씁니다. 반지름 $R$ 인 두 원의 중심 거리가 $d$ 이면 겹침 넓이는 $2R^2\cos^{-1}\!\left(\frac{d}{2R}\right)-\frac{d}{2}\sqrt{4R^2-d^2}$ 입니다. 여기서 $R=2$, $d=2$ 이므로 $2(4)\cos^{-1}\!\left(\frac12\right)-1\cdot\sqrt{16-4}=8\cdot\frac{\pi}{3}-\sqrt{12}=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3$ 입니다. 여기서 작은 원판 $\pi$ 를 빼면 다시 $\frac{5\pi}{3}-2\sqrt3$ 이 되어, 손으로 쪼개지 않고도 (B)를 확인합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 미지의 변의 길이를 구한다 (두 원의 방정식을 풀어 교점 $(\pm\sqrt3,0)$ 을 찾고 변의 길이 $AP=BP=2$ 를 확인하는 데 사용.)
8.G.A.5 비형식적 논증으로 각에 관한 사실을 밝힌다 ($\triangle ABP$ 를 정삼각형으로 알아채 $60^\circ$ 각을 얻고, 이를 더해 각 렌즈 호의 $120^\circ$ 중심각을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 안다 ($120^\circ$ 부채꼴을 반지름 $2$ 인 원의 $\frac13$(넓이 $\frac{4\pi}{3}$)로 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피에 관한 실생활 문제를 해결한다 (렌즈를 부채꼴에서 삼각형을 뺀 활꼴로 조립하고 작은 원판을 빼서 색칠된 합성 넓이를 구하는 데 사용.)

⭐ 울퉁불퉁한 색칠 고리를 재는 대신 작은 원을 채워 두 큰 원이 겹치는 깔끔한 렌즈를 만들고, 그 렌즈를 부채꼴에서 삼각형을 뺀 조각으로 잘라 $\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3$ 임을 구한 뒤, 작은 원 $\pi$ 를 다시 빼면 $\frac{5\pi}{3}-2\sqrt3$ 이 됩니다.