AMC 10 · 2004 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-differencetangent-circles complementary-countingphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름 1인 작은 원이 반지름 2인 두 큰 원에 각각 내접(내부에서 접)하며, 그 접점은 작은 원의 한 지름의 양 끝 A와 B입니다. 작은 원의 바깥이면서 두 큰 원 안쪽에 동시에 들어가는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{3} \pi - 3\sqrt 2$

(B)

$\frac{5}{3} \pi - 2\sqrt 3$

(C)

$\frac{8}{3} \pi - 3\sqrt 3$

(D)

$\frac{8}{3} \pi - 3\sqrt 2$

(E)

$\frac{8}{3} \pi - 2\sqrt 3$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

모든 것이 네 개의 핵심 점을 놓는 데서 시작하므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장섭니다: 작은 원을 원점에 두고 A=(0,1), B=(0,-1), 큰 원들의 중심을 A 와 B 로 잡습니다. 그러면 두 사실이 곧바로 나옵니다 — 큰 두 원은 (±√3,0) 에서 만나고, 작은 원판은 겹친 영역 안에 통째로 들어갑니다. 두 번째 사실이 도구 #16(관점 바꾸기)을 살립니다: 울퉁불퉁한 색칠 영역을 곧장 쫓지 말고, 두 큰 원판이 겹치는 렌즈 전체를 구한 다음 맨 마지막에 작은 원판 넓이 π 만 빼면 됩니다. 렌즈 자체를 구하는 일은 깔끔한 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 두 교점을 잇는 현이 렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누고, 각 활꼴은 부채꼴 하나에서 삼각형 하나를 뺀 것입니다. 한 변이 2 인 정삼각형에서 나오는 60° 각이 √3을 만들고, π 를 빼는 것을 잊지 않는 것이 바로 선택지 (B)를 함정 (C)/(D)/(E)와 가르는 지점입니다.

1STEP 1

좌표를 잡고 두 큰 원의 교점 찾기

작은 원을 $O=(0,0)$ , $A=(0,1)$ , $B=(0,-1)$ 로 두면 두 큰 원은 $P=(\sqrt{3},0)$ , $Q=(-\sqrt{3},0)$ 에서 만납니다.

x²+(y-1)²=4, x²+(y+1)²=4 → y=0, x=±√3; P=(√3,0), Q=(-√3,0)

2STEP 2

관점 바꾸기: 작은 원판을 되채운 뒤 마지막에 빼기

작은 원판의 모든 점은 $A$ , $B$ 에서 거리가 $2$ 이하라 겹친 부분 안에 있으므로, 색칠 넓이는 렌즈에서 $\pi$ 를 뺀 값입니다.

색칠 = 겹친 렌즈 넓이 - π · 1² = 렌즈 넓이 - π

3STEP 3

정삼각형을 알아채 각도 구하기

$AB=AP=BP=2$ 이므로 $ABP$ 는 정삼각형이고 각 각이 $60^\circ$ , 따라서 $A$ 와 $B$ 에서 현 $PQ$ 의 중심각은 $120^\circ$ 입니다.

AB=AP=BP=2 → △ ABP 정삼각형, ∠ PBA=60°; ∠ PBQ = 60°+60° = 120°

4STEP 4

렌즈를 두 활꼴로 잘라 더하기

현 $PQ$ 가 렌즈를 합동인 활꼴 둘로 자르고, 각 활꼴은 부채꼴 $\frac{4\pi}{3}$ 에서 넓이 $\sqrt{3}$ 인 삼각형 $PBQ$ 를 뺀 것이라 렌즈는 $\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}$ 입니다.

활꼴=1/3(4π)-√3=4π/3-√3; 렌즈 넓이=2(4π/3-√3)=8π/3-2√3

5STEP 5

작은 원을 빼서 최종 넓이 구하기

렌즈에서 작은 원판을 벗겨 내면 $\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}-\pi$ = $\frac{5\pi}{3}-2\sqrt{3}$ , 즉 (B)입니다.

(8π/3-2√3)-π=5π/3-2√3 (B)

정답

5/3 π - 2√3

수치로 보면 렌즈는 8π/3-2√3≈8.378-3.464=4.914이고, π≈3.142를 빼면 ≈1.772로, 5π/3-2√3≈5.236-3.464=1.772와 일치합니다. 이 값은 양수이고 렌즈보다 넉넉히 작으므로, 도려낸 부분 영역으로서 타당합니다 — 좋은 점검입니다. √3이 맞는 근호입니다: 30-60-90/정삼각형 구조(60°, 120° 각)에서 나오기 때문입니다. 따라서 45° 각이 필요한 √2나, 작은 원을 빼지 않은 3√3은 여기 들어설 자리가 없어 (A), (C), (D)를 배제합니다. 오직 (B)만 올바른 5π/3(작은 원 제거)과 올바른 2√3을 모두 갖습니다.

💡핵심 정리

울퉁불퉁한 색칠 고리를 재는 대신 작은 원을 채워 두 큰 원이 겹치는 깔끔한 렌즈를 만들고, 그 렌즈를 부채꼴에서 삼각형을 뺀 조각으로 잘라 8π/3-2√3 임을 구한 뒤, 작은 원 π 를 다시 빼면 5π/3-2√3이 됩니다.

좌표를 잡고 두 큰 원의 교점 찾기
관점 바꾸기: 작은 원판을 되채운 뒤 마지막에 빼기
정삼각형을 알아채 각도 구하기
렌즈를 두 활꼴로 잘라 더하기
작은 원을 빼서 최종 넓이 구하기

좌표를 잡고 두 큰 원의 교점 찾기

관점 바꾸기: 작은 원판을 되채운 뒤 마지막에 빼기

정삼각형을 알아채 각도 구하기

렌즈를 두 활꼴로 잘라 더하기

작은 원을 빼서 최종 넓이 구하기

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