경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2004B · #5

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

exponentsorder-of-operations extremal-constructionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

네 수 0, 1, 2, 3을 식 c · a^b-d의 a, b, c, d에 하나씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제가 최댓값을 묻는데, 이는 도구 #14(극단의 원리)의 대표 신호입니다: 식의 각 부분을 전체가 가장 커지는 극단으로 밀어붙입니다 — 뺄 수 있는 가장 작은 수를 빼고, 만들 수 있는 가장 큰 곱을 만듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 몇 안 되는 유력 후보를 정리해 빠뜨리지 않게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)은 함정들 — 큰 수를 곱셈 자리에 낭비하거나 두 번째로 좋은 거듭제곱에 만족하는 것 — 을 지워 9가 진짜 상한임을 확인합니다.

1STEP 1

가장 작게 빼고, 나머지를 크게

가장 적게 빼려면 d=0으로 둡니다. 0을 밑이나 곱하는 자리에 두면 곱이 무너지므로 이 배치가 안전합니다.

d=0 → c · a^b-d=c · a^b

2STEP 2

거듭제곱이 가장 빨리 커진다

거듭제곱이 가장 높이 오르니 큰 수를 여기에 줍니다: 3²=9가 2³=8보다 크므로 a=3, b=2입니다.

3²=9 ＞ 2³=8

3STEP 3

남은 수 배치하기

남은 수는 0과 1인데 c=0이면 곱이 사라지므로 c=1, d=0으로 두면 1 · 3²-0=9입니다.

c · a^b-d=1 · 3²-0=1 · 9-0=9

4STEP 4

다른 후보들 확인하기

따라잡는 후보가 없습니다: 1 · 2³-0=8, 큰 수를 곱해도 3 · 2-0=6뿐이라 최댓값은 9입니다.

1 · 8-0=8, 3 · 2¹-0=6, 2 · 3¹-0=6 → max=9 (D)

정답

결과는 만들 수 있는 가장 큰 곱을 넘을 수 없는데, 그 곱은 1 · 3²=9에서 최대가 됩니다. 여기서 d ≥ 0을 빼므로 식 전체는 많아야 9입니다. 이는 10 (선택지 E)이 도달 불가능임을 바로 보여 줍니다 — 여기에는 빼서 값을 더 올릴 음수가 없습니다. 함정 답들은 특정 실수와 맞아떨어집니다: 8은 거듭제곱 2³에 만족할 때, 6은 큰 수를 작은 거듭제곱의 곱셈 자리에 낭비할 때 나옵니다. 제시된 선택지 9에 정확히 도달한 것은 배치가 옳다는 좋은 신호입니다.

💡핵심 정리

식을 최대한 크게 만들려면 가장 빨리 커지는 부분인 지수에 큰 수를 주고, 절대 0을 곱하지 말며, 0은 빼는 자리에 아껴 두세요.

가장 작게 빼고, 나머지를 크게
거듭제곱이 가장 빨리 커진다
남은 수 배치하기
다른 후보들 확인하기

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가장 작게 빼고, 나머지를 크게

거듭제곱이 가장 빨리 커진다

남은 수 배치하기

다른 후보들 확인하기

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