AMC 10 · 2004 · #5
학년 6 algebra식 c⋅ab−d에서 a, b, c, d의 값은 0, 1, 2, 3이며, 반드시 이 순서일 필요는 없다. 이 식이 가질 수 있는 최댓값은 얼마인가?
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 수 $0$, $1$, $2$, $3$ 을 식 $c\cdot a^b-d$ 의 $a$, $b$, $c$, $d$ 에 하나씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.
주어진 것: 식은 $c\cdot a^b-d$ 입니다.; $a$, $b$, $c$, $d$ 는 $0$, $1$, $2$, $3$ 을 어떤 순서로 하나씩 나눠 가집니다.; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$.
구하는 것: 네 수를 배치하는 모든 경우에서 $c\cdot a^b-d$ 의 최댓값.
이해
문제 재정리: 네 수 $0$, $1$, $2$, $3$ 을 식 $c\cdot a^b-d$ 의 $a$, $b$, $c$, $d$ 에 하나씩 넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.
주어진 것: 식은 $c\cdot a^b-d$ 입니다.; $a$, $b$, $c$, $d$ 는 $0$, $1$, $2$, $3$ 을 어떤 순서로 하나씩 나눠 가집니다.; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$.
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
문제가 최댓값을 묻는데, 이는 도구 #14(극단의 원리)의 대표 신호입니다: 식의 각 부분을 전체가 가장 커지는 극단으로 밀어붙입니다 — 뺄 수 있는 가장 작은 수를 빼고, 만들 수 있는 가장 큰 곱을 만듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 몇 안 되는 유력 후보를 정리해 빠뜨리지 않게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)은 함정들 — 큰 수를 곱셈 자리에 낭비하거나 두 번째로 좋은 거듭제곱에 만족하는 것 — 을 지워 $9$ 가 진짜 상한임을 확인합니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 가장 작게 빼고, 나머지를 크게
- $c\cdot a^b-d$ 를 가장 크게 만드는 두 가지 방법: 되도록 조금만 빼고, 곱 $c\cdot a^b$ 를 되도록 크게 만드는 것입니다.
- 가진 수 중 가장 작은 것은 $0$ 이므로 이를 $d$ 에 씁니다 — $0$ 을 빼면 아무것도 줄어들지 않습니다.
- 게다가 가장 약한 수를 해가 없는 자리에 두는 셈인데, $0$ 을 밑이나 곱하는 수로 쓰면 곱이 $0$ 으로 무너지기 때문입니다.
💡 가장 적게 빼고 나머지를 최대한 높이 쌓을 때 결과가 가장 커집니다.
6.EE.A.1 단계 2 거듭제곱이 가장 빨리 커진다
- 세 부분 중 거듭제곱 $a^b$ 가 가장 높이 올라갈 수 있으므로 큰 수를 여기에 줍니다.
- $\{1,2,3\}$ 으로 만들 수 있는 강한 거듭제곱 둘을 비교합니다: $3^2=9$ 와 $2^3=8$.
- $3$ 과 $2$ 의 자리를 바꿔 봐도 $3^2=9$ 가 앞서므로 $a=3$, $b=2$ 를 택합니다.
💡 지수는 빠르게 쌓이므로 어느 수가 밑이고 어느 수가 지수인지가 곱하기나 빼기보다 더 중요합니다.
6.EE.A.2 단계 3 남은 수 배치하기
- $a=3$, $b=2$ 를 쓰면 $3$ 과 $2$ 를 소진합니다.
- $c$ 와 $d$ 에 남는 수는 $0$ 과 $1$ 입니다.
- 곱하는 수가 $0$ 이면 곱 전체가 사라지므로 $c=1$, $d=0$ 으로 둡니다.
- 대입하면 $1\cdot 3^2-0=1\cdot 9-0=9$ 입니다.
💡 큰 곱을 원하면 절대 $0$ 을 곱하지 말고, $0$ 은 빼는 자리에 아껴 둡니다.
6.NS.C.7 단계 4 다른 후보들 확인하기
- $9$ 를 넘는 것이 없는지 확인합니다.
- 또 다른 큰 거듭제곱은 $2^3=8$ 뿐이고, 이때 $c$, $d$ 에 $\{0,1\}$ 이 남아 최선은 $1\cdot 8-0=8$ 입니다.
- 큰 곱셈 수로도 작은 거듭제곱을 살릴 수 없습니다 — $c=3$ 에 $2^1$ 이면 $3\cdot 2-0=6$, $c=2$ 에 $3^1$ 이면 $2\cdot 3-0=6$.
- 모든 경쟁자가 $8$ 이하이므로 최댓값은 $9$, 선택지 (D)입니다.
💡 진짜 후보 몇 개만 나열해 가장 큰 것을 고르면 — $9$ 가 모두를 앞섭니다.
6.EE.A.2 $c\cdot a^b-d$ 를 가장 크게 만드는 두 가지 방법: 되도록 조금만 빼고, 곱 $c\cdot a^b$ 를 되도록 크게 만드는 것입니다 6.EE.A.1 세 부분 중 거듭제곱 $a^b$ 가 가장 높이 올라갈 수 있으므로 큰 수를 여기에 줍니다. $\{1,2,3\}$ 으로 만들 수 있는 강한 거듭제 6.EE.A.2 $a=3$, $b=2$ 를 쓰면 $3$ 과 $2$ 를 소진합니다. $c$ 와 $d$ 에 남는 수는 $0$ 과 $1$ 입니다. 곱하는 수가 $0$ 6.NS.C.7 $9$ 를 넘는 것이 없는지 확인합니다. 또 다른 큰 거듭제곱은 $2^3=8$ 뿐이고, 이때 $c$, $d$ 에 $\{0,1\}$ 이 남아 최선 검토
합리성 확인: 결과는 만들 수 있는 가장 큰 곱을 넘을 수 없는데, 그 곱은 $1\cdot 3^2=9$ 에서 최대가 됩니다. 여기서 $d\ge 0$ 을 빼므로 식 전체는 많아야 $9$ 입니다. 이는 $10$ (선택지 E)이 도달 불가능임을 바로 보여 줍니다 — 여기에는 빼서 값을 더 올릴 음수가 없습니다. 함정 답들은 특정 실수와 맞아떨어집니다: $8$ 은 거듭제곱 $2^3$ 에 만족할 때, $6$ 은 큰 수를 작은 거듭제곱의 곱셈 자리에 낭비할 때 나옵니다. 제시된 선택지 $9$ 에 정확히 도달한 것은 배치가 옳다는 좋은 신호입니다.
대안 접근: 빠짐없이 나열해 완전 탐색을 합니다. 순서는 $4!=24$ 가지뿐이고 대칭성으로 빠르게 줄어듭니다: $d=0$ 으로 고정해 아무것도 빼지 않고 $c=1$ 로 고정해 곱을 살린 뒤, 남은 쌍의 거듭제곱 $a^b$ 만 비교하면 — 바로 $3^2=9$ 대 $2^3=8$ 입니다. 24행 표를 전부 채워도 $9$ 가 상한임이 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.1정수(자연수) 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산한다 (후보 거듭제곱 $3^2=9$ 와 $2^3=8$ 을 계산·비교하여 밑과 지수를 정하는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산한다 ($0,1,2,3$ 의 한 배치를 $c\cdot a^b-d$ 에 대입해 계산하는 데 사용, 예: $1\cdot 3^2-0=9$.)6.NS.C.7유리수의 대소 관계와 절댓값을 이해한다 (후보 결과 $9$, $8$, $6$ 을 크기순으로 정렬해 최댓값을 찾는 데 사용.)
⭐ 식을 최대한 크게 만들려면 가장 빨리 커지는 부분인 지수에 큰 수를 주고, 절대 $0$ 을 곱하지 말며, $0$ 은 빼는 자리에 아껴 두세요.
⭐ 식을 최대한 크게 만들려면 가장 빨리 커지는 부분인 지수에 큰 수를 주고, 절대 $0$ 을 곱하지 말며, $0$ 은 빼는 자리에 아껴 두세요.
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