AMC 8 · 2001 · #22

학년 6 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-diophantinesystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

20 문항 시험입니다. 정답은 5 점, 답안 미기재는 1 점, 오답은 0 점입니다. 다음 점수 중 받을 수 없는 점수는 무엇인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

선택지 다섯 개 중 하나만 불가능 — 도구 #6(추측하고 확인하기)을 위에서부터 적용하기 좋은 구조입니다. 점수식 5C + U 는 충분히 작아서 C 를 20 부터 내려가며 만들 수 있는 점수를 모두 적을 수 있어요. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정리하면, 각 C 마다 점수가 깔끔한 구간 [5C, 5C + (20 - C)] 안에 들어옵니다. 그러면 90 과 100 사이에 실제로 존재하는 점수가 무엇인지 방정식을 풀지 않고도 한눈에 보입니다.

1STEP 1

점수식을 세웁니다: 정답 C 개, 미기재 U 개면 점수는 5C + U, 오답은 0 점이라 C + U ≤ 20.

점수 = 5C + U, 0 ≤ C + U ≤ 20

2STEP 2

가장 좋은 경우는 모두 정답인 C = 20, U = 0 으로, 최고점은 100.

C = 20, U = 0 → 5(20) + 0 = 100

3STEP 3

C = 19 로 내리면 한 문항이 남아 점수는 95(오답) 또는 96(미기재) — 벌써 100 아래로 빈틈이 생깁니다.

C = 19 → 점수 ∈ {95, 96}

4STEP 4

C = 18 이면 점수 90, 91, 92, 더 작은 C 는 90 미만. 가능 점수 = {90, 91, 92, 95, 96, 100}.

만들 수 있는 점수 ≥ 90 : {90, 91, 92, 95, 96, 100}

5STEP 5

선택지를 맞춰 보면 90, 91, 92, 95 는 나오지만 97 은 없음 — 불가능한 점수, (E).

97 ∉ {90, 91, 92, 95, 96, 100} → (E)

정답

남은 선택지를 구체적인 경우로 확인합니다. 90 = 5(18) + 0 (정답 18, 오답 2). 91 = 5(18) + 1 (정답 18, 미기재 1, 오답 1). 92 = 5(18) + 2 (정답 18, 미기재 2). 95 = 5(19) + 0 (정답 19, 오답 1). 97 의 경우 5C + U = 97 과 C + U ≤ 20 을 만족해야 합니다. C ≤ 19 이면 최대가 5(19) + 1 = 96 ＜ 97, C = 20 이면 U = 0 으로 점수가 100. 어떤 경우도 맞지 않으므로 97 은 정말 만들 수 없는 점수 — 답은 (E).

💡핵심 정리

점수 = 5C + U, 문항은 20 개. C = 20 부터 내려가며 가능한 점수를 적으면 위에서부터 100, 그다음 95 와 96, 그다음 90, 91, 92 입니다. 97 은 96 과 100 사이 빈틈에 들어가서 만들 수 없으므로 답은 (E).

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