AMC 10 · 2004 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionlinear-equations-one-vardigit-sum convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

미국에서 캐나다로 여행하면서 Isabella는 미국 달러 $d$ 달러를 가져갔다. 국경에서 그녀는 미국 달러 $7$ 달러당 캐나다 달러 $10$ 달러를 받는 환율로 전부 환전했다. 캐나다 달러 $60$ 달러를 쓰고 나니 캐나다 달러 $d$ 달러가 남았다. $d$ 의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Isabella는 $d$ 미국 달러를 가지고 캐나다로 가서, 미국 달러 $7$ 달러당 캐나다 달러 $10$ 달러의 환율로 전부 환전합니다. 그녀는 캐나다 달러 $60$ 달러를 쓰고 나서 캐나다 달러 $d$ 달러가 남았습니다 — 처음 가졌던 수와 같은 수입니다. $d$ 의 각 자리 숫자의 합을 구하세요.

주어진 것: 그녀는 미국 달러 $d$ 달러로 시작해 전부 환전합니다.; 환율은 미국 달러 $7$ 달러당 캐나다 달러 $10$ 달러입니다.; 캐나다 달러 $60$ 달러를 쓰고 나서 캐나다 달러 $d$ 달러가 남습니다.; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$.

구하는 것: $d$ 의 값, 그리고 그 각 자리 숫자의 합.

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이것은 미지수 $d$ 가 돈 이야기 속에 얽혀 있는 문장제로, 도구 #13(대수로 바꾸기)의 대표 신호입니다: 문장을 하나의 방정식으로 바꾸고 대수가 일하게 합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 환율을 다룹니다 — 미국 달러 $7$ 달러가 캐나다 달러 $10$ 달러로 바뀌는 흐름을 추적해 변환을 정확히 유지합니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 $d$ 가 설정에서 풀이까지 미지수를 그대로 짊어지게 합니다. 마지막으로 문제에는 두 층이 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 나눕니다: 먼저 $d$ 를 구하고, 그다음 실제로 묻는 것 — 각 자리 숫자의 합 — 에 답합니다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

환율을 이득으로 바꾸기

미국 달러 $7$ 달러를 환전하면 캐나다 달러 $10$ 달러가 나옵니다 — 교환하는 미국 달러 $7$ 달러마다 캐나다 달러 $3$ 달러의 이득입니다.
그녀는 미국 달러 $d$ 달러 전부를 환전하므로 달러 개수는 분수 $\tfrac{3}{7}$ 만큼 늘어납니다: $d$ 에서 캐나다 달러 $\tfrac{10}{7}d$ 달러가 되는데, 이는 원래의 $d$ 에 추가분 $\tfrac{3}{7}d$ 를 더한 것입니다.

$$d\text{ USD}\;\longrightarrow\;\tfrac{10}{7}d\text{ CAD}=d+\tfrac{3}{7}d$$

💡 고정된 환율은 모든 달러를 똑같은 방식으로 늘리므로, 전체 더미도 작은 한 묶음이 늘어나는 것과 같은 분수만큼 늘어납니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

이야기를 방정식으로 쓰기

환전 후 그녀는 캐나다 달러 $\tfrac{10}{7}d$ 달러를 가집니다.
$60$ 을 쓰고 캐나다 달러 $d$ 달러가 남습니다.
이를 방정식으로 쓰고 $d$ 를 넘기면, 그녀가 환전으로 얻은 추가 캐나다 달러가 정확히 쓴 $60$ 과 같아야 합니다 — 그렇지 않으면 같은 수 $d$ 로 되돌아올 수 없습니다.

$$\tfrac{10}{7}d-60=d\;\Rightarrow\;\tfrac{10}{7}d-d=60\;\Rightarrow\;\tfrac{3}{7}d=60$$

💡 $60$ 을 써서 시작한 수로 되돌아온다면, 환전이 정확히 $60$ 만큼을 더 준 것입니다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.3 단계 3

금액 구하기

방정식 $\tfrac{3}{7}d=60$ 은 $d$ 의 칠분의 삼이 $60$ 이라는 뜻이므로, 칠분의 일은 $20$ 이고 전체는 $7\times 20=140$ 입니다.
같은 말로, 양변에 $\tfrac{7}{3}$ 을 곱합니다.
따라서 Isabella는 $d=140$ 으로 시작했습니다.

$$\tfrac{3}{7}d=60\;\Rightarrow\;d=60\cdot\tfrac{7}{3}=140$$

💡 어떤 수의 분수 부분을 되돌리려면 똑같은 조각으로 나눕니다: 세 조각이 $60$ 이면 한 조각은 $20$, 일곱 조각은 $140$ 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.A.1 단계 4

물은 것에 답하기

문제는 $d$ 자체가 아니라 $d$ 의 각 자리 숫자의 합을 원합니다.
$140$ 의 각 자리 숫자는 $1$, $4$, $0$ 이고 그 합은 $1+4+0=5$ 입니다.
이는 선택지 (A)와 일치합니다.

$$1+4+0=5\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 마지막 작은 과제를 글자 그대로 읽어야 — 수가 아니라 자리 숫자의 합 — 옳게 한 일을 엉뚱한 질문에 버리지 않습니다.

[1] #8 6.RP.A.3 미국 달러 $7$ 달러를 환전하면 캐나다 달러 $10$ 달러가 나옵니다 — 교환하는 미국 달러 $7$ 달러마다 캐나다 달러 $3$ 달러의 이득입

[2] #13 7.EE.B.4 환전 후 그녀는 캐나다 달러 $\tfrac{10}{7}d$ 달러를 가집니다. $60$ 을 쓰고 캐나다 달러 $d$ 달러가 남습니다. 이를 방정식

[3] #4 7.NS.A.3 방정식 $\tfrac{3}{7}d=60$ 은 $d$ 의 칠분의 삼이 $60$ 이라는 뜻이므로, 칠분의 일은 $20$ 이고 전체는 $7\times

[4] #7 2.NBT.A.1 문제는 $d$ 자체가 아니라 $d$ 의 각 자리 숫자의 합을 원합니다. $140$ 의 각 자리 숫자는 $1$, $4$, $0$ 이고 그 합은 $

검토

합리성 확인: $d=140$ 을 이야기에 직접 대입해 확인합니다. 그녀는 미국 달러 $140$ 달러를 $7$ USD당 $10$ CAD로 환전합니다: 이는 $140\div 7=20$ 묶음이고, $20\times 10=200$ 캐나다 달러를 줍니다. $60$ 을 쓰면 $200-60=140$ 캐나다 달러가 남는데 — 정확히 $d$ 이며 조건을 만족합니다. 이 수는 또한 $7$ 의 깔끔한 배수인데, 환전이 딱 맞아떨어지려면 반드시 그래야 합니다. 그러면 각 자리 숫자의 합 $1+4+0=5$ 가 제시된 선택지 (A)에 도달하니, 잘못 읽은 것이 없다는 좋은 신호입니다.

대안 접근: 분수 대신 묶음으로 셉니다. 환전하는 미국 달러 $7$ 달러마다 시작보다 캐나다 달러 $3$ 달러가 더 나옵니다. $60$ 을 쓰고도 같은 수로 끝내려면 총 추가분이 $60$ 이어야 하므로, $7$ 달러 묶음이 $60\div 3=20$ 개 필요합니다. 이는 $20\times 7=140$ 달러이니 $d=140$, 각 자리 숫자의 합은 $5$ 입니다 — 분수가 필요 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용해 실생활 및 수학 문제를 푼다 ($10$ CAD 대 $7$ USD 환율을 적용해 미국 달러 $d$ 달러 전부를 캐나다 달러 $\tfrac{10}{7}d$ 달러로 변환하는 데 사용.)
7.EE.B.4 문자로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 (환전하고 쓰는 이야기를 방정식 $\tfrac{3}{7}d=60$ 으로 옮기는 데 사용.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산을 포함한 실생활 문제를 푼다 ($\tfrac{7}{3}$ 을 곱해 $\tfrac{3}{7}d=60$ 을 $d=140$ 으로 푸는 데 사용.)
2.NBT.A.1 세 자리 수의 세 숫자가 백, 십, 일을 나타냄을 이해한다 ($140$ 의 각 자리 숫자 $1$, $4$, $0$ 을 읽어 합 $5$ 로 더하는 데 사용.)

⭐ 고정된 환율은 돈을 일정한 분수만큼 늘리니, 환율을 그 분수로 바꾸고, 늘어난 추가분을 쓴 돈과 같다고 놓은 뒤, 정확히 묻는 것 — 여기서는 수가 아니라 각 자리 숫자의 합 — 에 답하세요.