AMC 10 · 2009 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 우유갑에는 지방이 $2$ %인 우유가 들어 있는데, 이는 전유(whole milk) 한 갑에 든 지방보다 $40$ % 적은 양이다. 전유의 지방 함량은 몇 %인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{12}{5}$

(B)

$\ 3$

(C)

$\ \frac{10}{3}$

(D)

$\ 38$

(E)

$\ 42$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 우유는 지방이 $2\%$이다. 이 $2\%$는 일반 우유(전유)의 지방 비율보다 $40\%$ 적은 값이다. 전유의 지방 비율을 구하여라.

주어진 것: 저지방 우유의 지방은 $2\%$이다; 이 $2\%$는 전유의 지방 비율보다 $40\%$ 적은 값이다; 선택지: (A) $\frac{12}{5}$, (B) $3$, (C) $\frac{10}{3}$, (D) $38$, (E) $42$

구하는 것: 전유의 지방 비율

이해

문제 재정리: 어떤 우유는 지방이 $2\%$이다. 이 $2\%$는 일반 우유(전유)의 지방 비율보다 $40\%$ 적은 값이다. 전유의 지방 비율을 구하여라.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

이 문제의 함정은 "$40\%$ 적다"라는 표현이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 중심이다. 이 도구는 "$40\%$ 적다"를 정확한 배수인 "$60\%$이다"로 바꾸게 만드는데, 오답 대부분이 바로 이 지점에서 생긴다. 도구 #4(변수 도입하기)는 전유의 비율에 이름을 붙여 문장을 깔끔한 하나의 방정식으로 만든다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마무리 점검이다. 답이 흔치 않은 분수이므로, 그 값과 아슬아슬한 오답 선택지들을 "$40\%$ 적다" 규칙에 대입해 어느 것이 진짜 맞는지 확인한다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 1

"40% 적다"를 "60%이다"로 바꾸기

전유는 전체 양이므로 그 자신의 $100\%$에 해당한다.
여기서 $40\%$를 덜어내면 $100\%-40\%=60\%$가 남는다.
따라서 $2\%$ 우유는 전유가 가진 지방의 $60\%$를 담고 있다.
핵심은 어떤 수에서도 $40$을 빼지 않는 것이다.
"$40\%$ 적다"는 $40$을 빼는 것이 아니라 $60\%$로 줄이는 것이다.

$$100\%-40\%=60\%,\qquad 2 = \text{전유 지방의 } 60\%$$

💡 무언가를 $40\%$ 줄이면 그 $60\%$가 남으므로, "몇 퍼센트 적다"는 사실 "더 작은 퍼센트를 곱하기"이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

모르는 값에 이름 붙이고 방정식 세우기

전유의 지방 비율을 $w$라 하자.
"$2$는 $w$의 $60\%$이다"는 $0.6\,w = 2$가 된다.
$60\%$를 소수 $0.6$으로 쓰면 문장이 $px=q$ 꼴의 방정식 하나로 바뀌어 풀 준비가 끝난다.

$$w = \text{전유 지방 }\%,\qquad 0.6\,w = 2$$

💡 모르는 값에 이름을 붙이면 영어 문장이 실제로 풀 수 있는 방정식 하나가 된다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.3 단계 3

전유의 비율 구하기

양변을 $0.6$으로 나누어 곱셈을 되돌린다.
$w = 2 \div 0.6$이다.
$0.6$으로 나누는 것은 $\frac{6}{10}$으로 나누는 것과 같으므로 $\frac{10}{6}$을 곱하는 것이다.
따라서 $w = 2 \times \frac{10}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$이고, 소수로는 약 $3.33$이다.

$$w = \dfrac{2}{0.6} = 2 \times \dfrac{10}{6} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33$$

💡 "$0.6$ 곱하기"를 되돌리려면 $0.6$으로 나눈다. 그러면 줄어든 값에서 원래 전체 양이 다시 나온다.

#3 가능성 지우기 7.RP.A.3 단계 4

선택지에 맞추고 함정 지우기

$\frac{10}{3}$은 바로 선택지 (C)이다.
규칙에 대입해 확인하면 $\frac{10}{3}$의 $60\%$는 $0.6 \times \frac{10}{3} = 2$로 맞다.
함정 선택지는 이 검사를 통과하지 못한다.
(A) $\frac{12}{5}$의 $60\%$는 $1.44$, (B) $3$의 $60\%$는 $1.8$로 둘 다 $2$가 아니며, (D) $38$과 (E) $42$는 우유의 지방으로는 터무니없다.
오직 (C)만 살아남으므로 답은 (C)이다.

$$0.6 \times \tfrac{10}{3} = 2 \ \checkmark,\quad 0.6\times\tfrac{12}{5}=1.44,\quad 0.6\times 3 = 1.8 \ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 올바른 전체 값은 $40\%$ 줄였을 때 정확히 $2$로 돌아오지만, 함정 선택지는 엉뚱한 수로 줄어든다.

[1] #13 7.RP.A.3 전유는 전체 양이므로 그 자신의 $100\%$에 해당한다. 여기서 $40\%$를 덜어내면 $100\%-40\%=60\%$가 남는다. 따라서 $2

[2] #4 6.EE.B.7 전유의 지방 비율을 $w$라 하자. "$2$는 $w$의 $60\%$이다"는 $0.6\,w = 2$가 된다. $60\%$를 소수 $0.6$으로 쓰

[3] #4 6.NS.B.3 양변을 $0.6$으로 나누어 곱셈을 되돌린다. $w = 2 \div 0.6$이다. $0.6$으로 나누는 것은 $\frac{6}{10}$으로 나누

[4] #3 7.RP.A.3 $\frac{10}{3}$은 바로 선택지 (C)이다. 규칙에 대입해 확인하면 $\frac{10}{3}$의 $60\%$는 $0.6 \times \

검토

합리성 확인: 전유는 줄어든 우유보다 지방이 더 많아야 하는데, $\frac{10}{3}\approx 3.33$은 실제로 $2$보다 크므로 상식에 맞는다. 정확한 확인도 성립한다. $\frac{10}{3}$을 $40\%$ 줄이면 $0.4 \times \frac{10}{3} = \frac{4}{3}$을 덜어내어 $\frac{10}{3}-\frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$가 남아 주어진 $2\%$와 일치한다. 큰 선택지 $38$과 $42$는 줄이는 대신 곱해버리는 사람을 유혹하려고 만든 미끼이다.

대안 접근: 소수를 쓰지 않고 전체를 셋으로 나누어 생각해도 된다. 전체의 $60\%$(즉 $\frac{3}{5}$)가 $2$라면 $\frac{1}{5}$은 $\frac{2}{3}$이므로, 전체 $\frac{5}{5}$는 $5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$이다. 방정식을 세우지 않고도 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ("$40\%$ 적다"를 "$60\%$이다"로 읽고, 각 선택지를 그 퍼센트 감소 규칙에 대입해 검사하기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (전유의 비율을 $w$로 놓고 방정식 $0.6\,w = 2$를 세우기.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals ($2 \div 0.6$을 계산해 $w = \frac{10}{3}$을 구하기.)

⭐ "$40\%$ 적다"는 $40$을 빼라는 뜻이 아니라 $60\%$를 남기라는 뜻이다. 그러니 $0.6$으로 줄이고 거꾸로 전체 양을 찾자.