AMC 10 · 2012 · #2

학년 7 geometry-2d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up
area-rectanglesratio-proportionarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 5인 원이 직사각형에 내접해 있고, 직사각형의 가로와 세로의 비는 2:1이다. 직사각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
50
(B)
100
(C)
125
(D)
150
(E)
200

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림이 핵심이다. 도구 #1(그림 그리기)은 "내접"이라는 말을 잴 수 있는 사실로 바꿔 준다. 원이 위 변과 아래 변에 접하므로, 원이 위아래로 차지하는 거리 — 즉 지름 — 이 바로 직사각형의 세로이다. 세로가 정해지면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계만 남는다. 2:1 비로 가로를 구하고, 가로와 세로를 곱해 넓이를 구한다.

1STEP 1

원에서 세로를 읽어내기

내접이므로 원은 위아래 변에 닿는다. 세로 = 지름 = 2 × 5 = 10.

세로 = 지름 = 2 × 5 = 10
2STEP 2

비를 이용해 가로 구하기

2:1 비는 가로가 세로의 2배라는 뜻이므로, 가로는 2 × 10 = 20.

가로 = 2 × 세로 = 2 × 10 = 20
3STEP 3

가로와 세로 곱하기

직사각형의 넓이는 가로 × 세로이므로 20 × 10 = 200, 보기 (E)이다.

넓이 = 가로 × 세로 = 20 × 10 = 200 → (E)
정답
200
두 변을 그림과 맞춰 보자: 세로 10은 지름 2 × 5와 같고, 가로 20은 그 두 배 — 정확히 그림의 2:1 상자이다. 넓이 200만이 조건에 맞는다. 헷갈리기 쉬운 오답은 (B) 100인데, 이는 지름 10 대신 반지름 5를 세로로 쓴 결과이다. 하지만 반지름은 원의 절반까지만 닿으므로, 전체 세로는 반드시 지름이어야 한다.
💡핵심 정리

내접원은 딱 지름만큼 가로질러 뻗으므로, 그 지름이 상자의 짧은 변이다 — 그것을 먼저 찾으면 나머지는 비와 넓이 계산일 뿐이다.

  • 원에서 세로를 읽어내기
  • 비를 이용해 가로 구하기
  • 가로와 세로 곱하기

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