AMC 10 · 2008 · #12

학년 7 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

percentageratio-proportionformula-substitution convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

빨간색, 파란색, 초록색 구슬로 이루어진 어떤 모음에서, 빨간색 구슬은 파란색 구슬보다 $25\%$ 더 많고, 초록색 구슬은 빨간색 구슬보다 $60\%$ 더 많다. 빨간색 구슬이 $r$ 개 있다고 하자. 이 모음에 있는 구슬의 총 개수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2.85r$

(B)

$\ 3r$

(C)

$\ 3.4r$

(D)

$\ 3.85r$

(E)

$\ 4.25r$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 빨강, 파랑, 초록 구슬이 섞인 모음이 있다. 빨강은 파랑보다 25% 많고, 초록은 빨강보다 60% 많다. 빨강 구슬의 개수를 $r$라 할 때, 전체 구슬 개수를 $r$로 나타내어라.

주어진 것: 빨강은 파랑보다 25% 많다.; 초록은 빨강보다 60% 많다.; 빨강 구슬의 개수는 $r$이다.; 보기: (A) $2.85r$, (B) $3r$, (C) $3.4r$, (D) $3.85r$, (E) $4.25r$.

구하는 것: 전체 구슬 개수를 $r$의 몇 배로 나타낸 값.

이해

주어진 것: 빨강은 파랑보다 25% 많다.; 초록은 빨강보다 60% 많다.; 빨강 구슬의 개수는 $r$이다.; 보기: (A) $2.85r$, (B) $3r$, (C) $3.4r$, (D) $3.85r$, (E) $4.25r$.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

모든 것이 빨강 개수 $r$를 기준으로 비교되므로, 파랑과 초록을 $r$의 배수로 표현한다(도구 #4). 두 개의 퍼센트 문장을 식으로 옮기되(도구 #13), 매번 어느 색이 기준인지 알아채는 것이 핵심이다. 'X% 많다'를 '기준에 기준의 X%를 더한 것'으로 읽으면(도구 #8) 파랑과 초록을 헷갈리지 않는다. 세 배수를 더해 하나의 계수를 얻고, 그 값을 보기에서 찾으면(도구 #3) 답이 나온다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 1

빨강 개수로 파랑을 다시 쓰기

'빨강이 파랑보다 25% 많다'는 빨강이 파랑에 파랑의 4분의 1을 더한 것과 같다는 뜻이므로 빨강 $= 1.25 \times$ 파랑이다.
여기서 기준은 빨강이 아니라 파랑이다.
$r$에서 파랑을 얻으려면 나눈다: 파랑 $= r / 1.25 = 0.8r$.
따라서 파랑은 빨강보다 적은데, 빨강이 더 크게 늘어난 쪽이므로 자연스럽다.

$$r = 1.25 \cdot b \;\Rightarrow\; b = \frac{r}{1.25} = 0.8r$$

💡 'A가 B보다 25% 많다'는 B가 기준이므로, A에서 B로 돌아가려면 1.25로 나눈다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 2

빨강 개수로 초록을 다시 쓰기

'초록이 빨강보다 60% 많다'는 초록이 빨강에 빨강의 $60\%$를 더한 것과 같다는 뜻이고, 이번에는 빨강이 기준이다.
그래서 초록 $= r + 0.6r = 1.6r$이다.
초록은 빨강을 절반 이상 늘린 것이므로 가장 많은 무리이다.

$$g = r + 0.6r = 1.6r$$

💡 '빨강보다 많다'는 빨강이 기준이라는 뜻이므로 $r$에 퍼센트를 바로 더한다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 3

세 개수를 더하기

전체는 파랑 더하기 빨강 더하기 초록이다.
각각을 $r$의 배수로 대입하면 $0.8r + r + 1.6r$이다.
이들은 동류항이므로 계수를 더한다: $0.8 + 1 + 1.6 = 3.4$.
전체는 $3.4r$이다.

$$0.8r + r + 1.6r = (0.8 + 1 + 1.6)r = 3.4r$$

💡 모든 색을 $r$의 개수로 나타내면, 전체를 더하는 일은 그 숫자들을 더하는 것일 뿐이다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

계수를 보기와 맞추기

전체 $3.4r$는 보기 목록에 정확히 들어 있다.
다른 보기들은 파랑을 $0.8r$ 대신 $0.75r$로 쓰는 것 같은 실수에서 나온다.
$3.4r$가 일치하므로 답은 (C)이다.

$$3.4r \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 올바른 전체는 반올림 없이 보기 값에 딱 떨어져야 하고, $3.4r$가 그렇다.

[1] #4 7.RP.A.3 '빨강이 파랑보다 25% 많다'는 빨강이 파랑에 파랑의 4분의 1을 더한 것과 같다는 뜻이므로 빨강 $= 1.25 \times$ 파랑이다. 여기

[2] #13 7.RP.A.3 '초록이 빨강보다 60% 많다'는 초록이 빨강에 빨강의 $60\%$를 더한 것과 같다는 뜻이고, 이번에는 빨강이 기준이다. 그래서 초록 $= r

[3] #13 6.EE.A.3 전체는 파랑 더하기 빨강 더하기 초록이다. 각각을 $r$의 배수로 대입하면 $0.8r + r + 1.6r$이다. 이들은 동류항이므로 계수를 더한

[4] #3 6.RP.A.3 전체 $3.4r$는 보기 목록에 정확히 들어 있다. 다른 보기들은 파랑을 $0.8r$ 대신 $0.75r$로 쓰는 것 같은 실수에서 나온다. $3

검토

합리성 확인: 구체적인 개수로 확인하자. 파랑 $= 100$이라 하자. 그러면 빨강은 $25\%$ 많으므로 $r = 125$이다. 초록은 빨강보다 $60\%$ 많으므로 $1.6 \times 125 = 200$이다. 전체는 $100 + 125 + 200 = 425$이다. $r$의 배수로 보면 $425 / 125 = 3.4$이므로 전체는 $3.4r$이다. 이는 (C)를 확인해 준다. 초록이 가장 큰 무리이므로 전체가 $3r$보다 조금 큰 것도 자연스럽다.

대안 접근: $r = 100$으로 바로 두자. 파랑 $= 100 / 1.25 = 80$, 초록 $= 1.6 \times 100 = 160$이다. 전체 $= 80 + 100 + 160 = 340 = 3.4 \times 100 = 3.4r$로 같은 보기 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ('25% 많다', '60% 많다'를 퍼센트 증가로 읽어 파랑을 $0.8r$, 초록을 $1.6r$로 다시 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (동류항 $0.8r + r + 1.6r$를 하나의 식 $3.4r$로 합치는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (계수를 보기와 대조하고 구체적인 개수 $100, 125, 200$으로 검산하는 데 사용.)

⭐ 'A가 B보다 25% 많다'에서 기준은 B이므로 파랑은 $r/1.25 = 0.8r$이고, 파랑·빨강·초록을 모두 $r$ 단위로 더하면 $3.4r$가 된다.