AMC 10 · 2004 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremestimation physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Minneapolis-St. Paul International Airport은 downtown St. Paul에서 남서쪽으로 $8$ 마일, downtown Minneapolis에서 남동쪽으로 $10$ 마일 떨어져 있다. 다음 중 downtown St. Paul과 downtown Minneapolis 사이의 거리(마일)에 가장 가까운 값은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 공항이 세인트폴 도심에서 남서쪽으로 $8$마일, 미니애폴리스 도심에서 남동쪽으로 $10$마일 떨어진 곳에 있다. 이 두 방위 거리를 이용해, 두 도심 사이의 직선 거리에 가장 가까운 정수 마일 값을 구하라.

주어진 것: 공항은 세인트폴에서 남서쪽으로 $8$마일 떨어져 있으므로, 세인트폴은 공항에서 북동쪽으로 $8$마일 떨어져 있다.; 공항은 미니애폴리스에서 남동쪽으로 $10$마일 떨어져 있으므로, 미니애폴리스는 공항에서 북서쪽으로 $10$마일 떨어져 있다.; 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$

구하는 것: 세인트폴 도심과 미니애폴리스 도심 사이의 거리(마일).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 사실 방향에 관한 문제이므로, 첫 단계는 공항을 그림 위에 놓고 두 도심으로 향하는 두 선분을 그리는 것이다(도구 #1). 방위 표현을 주의 깊게 읽으면(도구 #17) 세인트폴로 가는 선분은 북동쪽, 미니애폴리스로 가는 선분은 북서쪽을 가리키고, 이 두 방향은 서로 수직이다. 그러면 그림은 두 변이 $8$과 $10$이고 빗변이 우리가 구하려는 거리인 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리로 마무리된다. 실제 거리가 정수가 아니므로, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 가장 가까운 선택지를 고른다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

공항에서 나가는 두 길 그리기

공항을 나침반의 중심에 놓자.
세인트폴은 그곳에서 북동쪽으로 $8$마일, 미니애폴리스는 북서쪽으로 $10$마일 떨어져 있다.
북동쪽은 북과 동의 정중앙을, 북서쪽은 북과 서의 정중앙을 가리킨다.
이 두 반직선은 정북을 기준으로 서로 반대쪽에 있으며 각각 $45^\circ$씩 기울어져 있으므로, 공항에서 두 반직선 사이의 각은 $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$이다.
따라서 공항은 두 변이 $8$마일과 $10$마일 선분인 직각삼각형의 직각 꼭짓점이 된다.

$$45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$$

💡 북동쪽과 북서쪽은 북에서 서로 반대쪽으로 같은 크기만큼 기울어져 있어서, 둘이 합쳐 직각을 이룬다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

피타고라스 정리 적용하기

두 도심 사이의 거리는 이 직각삼각형에서 공항의 직각과 마주 보는 빗변이다.
두 변이 $8$과 $10$이므로 피타고라스 정리로 빗변 $d$를 구하면 $d^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164$이고, 따라서 $d = \sqrt{164}$마일이다.

$$d = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}$$

💡 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 변의 제곱의 합과 같으므로, 두 변을 제곱해 더하면 남은 변이 나온다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 3

제곱근 어림하고 선택지 고르기

이제 $\sqrt{164}$가 어느 정수에 가장 가까운지 찾자.
$12^2 = 144$이고 $13^2 = 169$이므로 $\sqrt{164}$는 $12$와 $13$ 사이에 있다.
$164$는 $144$보다 $169$에 훨씬 가까우므로 이 제곱근은 $13$에 가깝다.
$12.8^2 = 163.84$를 확인하면 $\sqrt{164} \approx 12.8$임을 알 수 있다.
가장 가까운 선택지는 $13$이므로 답은 (A)이다.

$$12^2 = 144 < 164 < 169 = 13^2,\quad 12.8^2 = 163.84 \;\Rightarrow\; \sqrt{164}\approx 12.8 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}\ 13$$

💡 제곱근 양옆의 정수를 제곱해 보면 제곱근이 어느 쪽에 더 가까운지 알 수 있다.

[1] #1 4.G.A.1 공항을 나침반의 중심에 놓자. 세인트폴은 그곳에서 북동쪽으로 $8$마일, 미니애폴리스는 북서쪽으로 $10$마일 떨어져 있다. 북동쪽은 북과 동의

[2] #1 8.G.B.7 두 도심 사이의 거리는 이 직각삼각형에서 공항의 직각과 마주 보는 빗변이다. 두 변이 $8$과 $10$이므로 피타고라스 정리로 빗변 $d$를 구

[3] #3 8.NS.A.2 이제 $\sqrt{164}$가 어느 정수에 가장 가까운지 찾자. $12^2 = 144$이고 $13^2 = 169$이므로 $\sqrt{164}$는

검토

합리성 확인: 직각삼각형의 빗변은 어느 한 변보다는 길고 두 변의 합보다는 짧아야 하므로, 이 거리는 $10$과 $8+10=18$마일 사이에 있어야 한다. 어림값 $\sqrt{164}\approx 12.8$은 이 범위 안에 있고, 긴 변인 $10$보다 조금 더 큰데, 이는 두 변이 $8$과 $10$인 직각삼각형이 마땅히 가져야 할 값이다. 가장 가까운 선택지로 반올림하면 $13$, 즉 (A)이다.

대안 접근: 삼각형을 익숙한 것으로 축소해 보자. 두 변이 $8$과 $10$인 삼각형은 두 변이 $4$와 $5$인 직각삼각형의 정확히 두 배이고, 그 삼각형의 빗변은 $\sqrt{41}\approx 6.4$이다. 두 배 하면 $2\times 6.4 = 12.8$마일이 되어 $\sqrt{164}$와 일치하며, 역시 (A)를 가리킨다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 선, 반직선, 각, 수직선을 그리고 식별하기 (방위 표현을 읽어 북동쪽 선분과 북서쪽 선분이 공항에서 직각으로 만난다는 것을 알아내기.)
8.G.B.7 실생활 문제에서 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (두 도심 사이의 거리인 빗변 $\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}$를 계산하기.)
8.NS.A.2 무리수를 유리수로 근사해 비교하고 위치 정하기 ($\sqrt{164}\approx 12.8$을 어림하고 가장 가까운 답 $13$을 고르기.)

⭐ 두 나침반 방향이 직각으로 만나면 가로지르는 직선 거리는 빗변이다. 두 변을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 구하면 된다.