AMC 10 · 2004 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremestimation physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 공항이 세인트폴 도심에서 남서쪽으로 8마일, 미니애폴리스 도심에서 남동쪽으로 10마일 떨어진 곳에 있다. 이 두 방위 거리를 이용해, 두 도심 사이의 직선 거리에 가장 가까운 정수 마일 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 사실 방향에 관한 문제이므로, 첫 단계는 공항을 그림 위에 놓고 두 도심으로 향하는 두 선분을 그리는 것이다(도구 #1). 방위 표현을 주의 깊게 읽으면(도구 #17) 세인트폴로 가는 선분은 북동쪽, 미니애폴리스로 가는 선분은 북서쪽을 가리키고, 이 두 방향은 서로 수직이다. 그러면 그림은 두 변이 8과 10이고 빗변이 우리가 구하려는 거리인 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리로 마무리된다. 실제 거리가 정수가 아니므로, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 가장 가까운 선택지를 고른다.

1STEP 1

공항에서 나가는 두 길 그리기

공항을 나침반 중심에 놓으면 세인트폴은 북동쪽 8마일, 미니애폴리스는 북서쪽 10마일이라 두 반직선은 90°로 만난다.

45° + 45° = 90°

2STEP 2

피타고라스 정리 적용하기

두 도심을 잇는 선은 빗변이므로 $d^2 = 8^2 + 10^2 = 164$ , 즉 거리는 $\sqrt{164}$ 마일이다.

d = √(8² + 10²) = √(64 + 100) = √(164)

3STEP 3

제곱근 어림하고 선택지 고르기

$12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ 이므로 $\sqrt{164}\approx 12.8$ 이고, 가장 가까운 정수는 13, 즉 (A)이다.

12² = 144 ＜ 164 ＜ 169 = 13², 12.8² = 163.84 → √(164)≈ 12.8 → (A) 13

정답

직각삼각형의 빗변은 어느 한 변보다는 길고 두 변의 합보다는 짧아야 하므로, 이 거리는 10과 8+10=18마일 사이에 있어야 한다. 어림값 √(164)≈ 12.8은 이 범위 안에 있고, 긴 변인 10보다 조금 더 큰데, 이는 두 변이 8과 10인 직각삼각형이 마땅히 가져야 할 값이다. 가장 가까운 선택지로 반올림하면 13, 즉 (A)이다.

💡핵심 정리

두 나침반 방향이 직각으로 만나면 가로지르는 직선 거리는 빗변이다. 두 변을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 구하면 된다.

공항에서 나가는 두 길 그리기
피타고라스 정리 적용하기
제곱근 어림하고 선택지 고르기

공항에서 나가는 두 길 그리기

피타고라스 정리 적용하기

제곱근 어림하고 선택지 고르기

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