AMC 10 · 2004 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-rectanglescircular-sector physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 10인 정사각형이 있다. 반지름이 10인 원이 이 정사각형의 한 꼭짓점을 중심으로 그려져 있다. 두 영역의 합집합의 넓이 — 정사각형 안, 원 안, 또는 둘 다에 속하는 모든 점 — 을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$200+25\pi$

(B)

$100+75\pi$

(C)

$75+100\pi$

(D)

$100+100\pi$

(E)

$100+125\pi$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

여기서는 그림이 전부다 (#1 그림 그리기): 원을 꼭짓점 위에 그려 놓으면 원의 모서리 조각만이 정사각형 안에 들어온다는 것이 보인다. 그다음 합집합을 계산하기 좋은 세 조각 — 정사각형 넓이, 원 넓이, 겹치는 부분 — 으로 나누는 것이 작은 문제로 쪼개기(#7)이고, 겹친 부분을 두 번 세지 않도록 합집합 규칙으로 합친다. 마지막으로 가능성 지우기(#3)로 결과를 다섯 선택지와 대조한다. 함정은 모두 겹친 부분을 잘못 다루는 데서 나오기 때문이다.

1STEP 1

그림을 그리고 겹침을 찾기

원의 중심을 꼭짓점에 두면 거기서 만나는 두 변이 직각을 이루므로, 원판의 1/4만 정사각형 안에 들어온다.

모서리 각=90°=1/4 바퀴

2STEP 2

정사각형과 원의 넓이

변 곱하기 변, π 곱하기 반지름의 제곱으로 100과 100π를 얻고, 겹침은 다음 단계로 미룬다.

정사각형=10 · 10=100, 원=π · 10²=100π

3STEP 3

겹치는 모서리 쐐기 재기

그 사분원은 10×10 정사각형 안에 통째로 들어가므로, 공유 넓이는 원의 1/4인 25π이다.

겹침=1/4 · 100π=25π

4STEP 4

두 번 세지 않고 합치기

100과 100π를 더한 뒤 두 번 세어진 25π를 한 번 빼면, 합집합은 100+75π로 선택지 (B)이다.

100+100π-25π=100+75π → (B)

정답

100+75π

정사각형과 원이 겹치므로, 답은 단순 합 100+100π보다 조금 작아야 한다. 100+75π는 정확히 25π만큼 작고, 이는 둘이 공유하는 사분원과 일치한다. 또한 두 도형의 합집합이므로 정사각형 하나(100)보다도, 원의 3/4(75π≈235.6)보다도 커야 하는데, 100+75π≈ 335.6으로 실제로 더 크다. 선택지 (D)는 겹침을 무시하고, (A)·(C)·(E)는 겹침 비율을 잘못 썼다. (B)만 맞다.

💡핵심 정리

두 도형이 겹칠 때는 두 넓이를 더한 뒤 공유 조각을 한 번 빼라 — 여기서 정사각형은 원의 1/4만 잡으므로 합집합은 100+100π-25π=100+75π이다.

그림을 그리고 겹침을 찾기
정사각형과 원의 넓이
겹치는 모서리 쐐기 재기
두 번 세지 않고 합치기

그림을 그리고 겹침을 찾기

정사각형과 원의 넓이

겹치는 모서리 쐐기 재기

두 번 세지 않고 합치기

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