AMC 10 · 2004 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-rectanglescircular-sector physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 $10$ 인 정사각형이 있고, 그 한 꼭짓점을 중심으로 하는 반지름 $10$ 인 원이 있다. 정사각형과 원이 둘러싸는 영역의 합집합의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$200+25\pi$

(B)

$100+75\pi$

(C)

$75+100\pi$

(D)

$100+100\pi$

(E)

$100+125\pi$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$인 정사각형이 있다. 반지름이 $10$인 원이 이 정사각형의 한 꼭짓점을 중심으로 그려져 있다. 두 영역의 합집합의 넓이 — 정사각형 안, 원 안, 또는 둘 다에 속하는 모든 점 — 을 구하여라.

주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이는 $10$이다; 원의 반지름은 $10$이고, 중심은 정사각형의 한 꼭짓점에 있다; 선택지: (A) $200+25\pi$, (B) $100+75\pi$, (C) $75+100\pi$, (D) $100+100\pi$, (E) $100+125\pi$

구하는 것: 정사각형과 원이 함께 덮는 전체 넓이 (합집합)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

여기서는 그림이 전부다 (#1 그림 그리기): 원을 꼭짓점 위에 그려 놓으면 원의 모서리 조각만이 정사각형 안에 들어온다는 것이 보인다. 그다음 합집합을 계산하기 좋은 세 조각 — 정사각형 넓이, 원 넓이, 겹치는 부분 — 으로 나누는 것이 작은 문제로 쪼개기(#7)이고, 겹친 부분을 두 번 세지 않도록 합집합 규칙으로 합친다. 마지막으로 가능성 지우기(#3)로 결과를 다섯 선택지와 대조한다. 함정은 모두 겹친 부분을 잘못 다루는 데서 나오기 때문이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

그림을 그리고 겹침을 찾기

원의 중심을 원점에 두어 정사각형이 $0\le x\le 10$, $0\le y\le 10$ 영역을 덮게 놓는다.
중심에서 만나는 정사각형의 두 변은 양의 $x$축과 $y$축을 따라 뻗으므로, 그 꼭짓점에서 직각 — 한 바퀴의 $\tfrac14$ — 을 벌린다.
원에서 정사각형 안에 들어오는 부분은 그 직각 모서리에 놓인 원판의 쐐기뿐이다.
반지름 $10$이 한 변과 같으므로 이 쐐기는 정확히 원의 $\tfrac14$이다.

$$\text{모서리 각}=90^\circ=\tfrac{1}{4}\text{ 바퀴}$$

💡 정사각형은 중심에서 $90^\circ$ 모서리만 벌리므로 원의 $\tfrac14$만 붙잡을 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

정사각형과 원의 넓이

정사각형의 넓이는 변 곱하기 변이다.
원의 넓이는 $\pi$ 곱하기 반지름의 제곱이다.
겹치는 부분은 다음 단계에서 처리하고, 지금은 둘을 따로 둔다.

$$\text{정사각형}=10\cdot 10=100,\qquad \text{원}=\pi\cdot 10^2=100\pi$$

💡 복잡한 도형을 이미 공식을 아는 두 넓이로 쪼갠다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

겹치는 모서리 쐐기 재기

겹치는 부분은 정사각형의 직각 모서리에 놓인 원판의 $\tfrac14$이다.
그 사분원의 모든 점은 꼭짓점에서 거리 $10$ 이내이고 두 좌표가 모두 $0$과 $10$ 사이에 있으므로, 실제로 $10\times10$ 정사각형 안에 머문다 — 사분원 전체가 들어간다.
그 넓이는 원 넓이의 $\tfrac14$이다.

$$\text{겹침}=\tfrac{1}{4}\cdot 100\pi=25\pi$$

💡 원의 $\tfrac14$이 정사각형 안에 놓이므로 겹치는 영역은 사분원이다.

#3 가능성 지우기 7.G.B.6 단계 4

두 번 세지 않고 합치기

합집합은 정사각형 더하기 원에서, 둘 다에 세어진 조각을 뺀 것이다.
$100$과 $100\pi$를 더하면 모서리 쐐기가 두 번 세어지므로, 그 $25\pi$를 한 번 뺀다.
합계는 $100+100\pi-25\pi=100+75\pi$이고, 이것이 선택지 (B)이다.
함정은 겹침을 빼는 것을 잊거나((D) $100+100\pi$), 잘못된 도형을 빼는 데서 나온다.

$$100+100\pi-25\pi=100+75\pi\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 두 넓이를 더한 뒤, 공유된 쐐기를 한 번만 세도록 한 번 뺀다.

[1] #1 3.MD.C.7 원의 중심을 원점에 두어 정사각형이 $0\le x\le 10$, $0\le y\le 10$ 영역을 덮게 놓는다. 중심에서 만나는 정사각형의 두

[2] #7 7.G.B.4 정사각형의 넓이는 변 곱하기 변이다. 원의 넓이는 $\pi$ 곱하기 반지름의 제곱이다. 겹치는 부분은 다음 단계에서 처리하고, 지금은 둘을 따로

[3] #7 7.G.B.4 겹치는 부분은 정사각형의 직각 모서리에 놓인 원판의 $\tfrac14$이다. 그 사분원의 모든 점은 꼭짓점에서 거리 $10$ 이내이고 두 좌표가

[4] #3 7.G.B.6 합집합은 정사각형 더하기 원에서, 둘 다에 세어진 조각을 뺀 것이다. $100$과 $100\pi$를 더하면 모서리 쐐기가 두 번 세어지므로, 그

검토

합리성 확인: 정사각형과 원이 겹치므로, 답은 단순 합 $100+100\pi$보다 조금 작아야 한다. $100+75\pi$는 정확히 $25\pi$만큼 작고, 이는 둘이 공유하는 사분원과 일치한다. 또한 두 도형의 합집합이므로 정사각형 하나($100$)보다도, 원의 $\tfrac34$($75\pi\approx235.6$)보다도 커야 하는데, $100+75\pi\approx 335.6$으로 실제로 더 크다. 선택지 (D)는 겹침을 무시하고, (A)·(C)·(E)는 겹침 비율을 잘못 썼다. (B)만 맞다.

대안 접근: 합집합을 (원) 더하기 (원 바깥에 있는 정사각형 부분)으로 세어도 된다. 정사각형에서 사분원 모서리를 뺀 것은 $100-25\pi$이고, 여기에 원 전체를 더하면 $100-25\pi+100\pi=100+75\pi$ — 같은 결과다. 겹침을 빼는 대신 남은 정사각형 모서리를 원 전체에 붙인 것이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하기; 변의 길이를 곱해 직사각형의 넓이 구하기 (정사각형의 넓이를 $10\cdot10=100$으로 계산하고, 정사각형이 원의 중심과 만나는 직각 모서리를 알아보는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이 공식을 알고 사용하기 (원의 넓이 $\pi\cdot10^2=100\pi$를 구하고, 겹치는 쐐기를 위해 그 $\tfrac14$인 $25\pi$를 취하는 데 사용.)
7.G.B.6 다른 도형들로 이루어진 2차원 도형의 넓이 문제 해결하기 (정사각형·원·겹침을 $100+100\pi-25\pi$로 합쳐, 공유 영역을 한 번만 세는 합집합을 만드는 데 사용.)

⭐ 두 도형이 겹칠 때는 두 넓이를 더한 뒤 공유 조각을 한 번 빼라 — 여기서 정사각형은 원의 $\tfrac14$만 잡으므로 합집합은 $100+100\pi-25\pi=100+75\pi$이다.