AMC 10 · 2005 · #11

학년 6 geometry-3d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

spatial-visualizationratio-proportionexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsspatial-visualizationratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변이 n 단위인 나무 정육면체의 여섯 겉면을 모두 빨갛게 칠한 뒤 n³ 개의 단위 정육면체로 자릅니다. 모든 단위 정육면체의 모든 작은 면을 세었을 때, 그 작은 면들 중 정확히 4분의 1이 빨간색입니다. n의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

모든 것을 하나의 미지수 n 으로 나타낼 수 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 풀이를 이끕니다. 두 가지 개수가 필요합니다: 전체 작은 면의 수와 빨간 작은 면의 수. 전체는 쉽습니다 — n³ 개의 정육면체가 각각 6 개의 면을 가집니다. 빨간 개수에는 도구 #17(공간 상상하기)이 필요합니다: 빨간 작은 면은 큰 정육면체의 칠해진 껍질 조각들이므로, 넓이 n² 인 여섯 면으로 이루어진 원래 겉면을 덮습니다. 빨간 것과 전체를 비교하면 깔끔한 분수 tfrac1n 이 나오고, 이를 1/4과 같게 놓으면 n 이 정해집니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 값을 선택지와 맞춥니다.

1STEP 1

모든 작은 면 세기

자르면 단위 정육면체 n³ 개가 나오고 각각 면이 6 개이므로, 작은 면은 칠해졌든 아니든 모두 6n³ 개입니다.

전체 면 = 6 · n³ = 6n³

2STEP 2

빨간 면만 세기

자른 자리에는 페인트가 없습니다. 빨간 면은 큰 정육면체의 껍질뿐 — n² 개짜리 정사각형 여섯 면, 즉 6n² 개입니다.

빨간 면 = 6 · n² = 6n²

3STEP 3

빨간 것과 전체 비교하기

빨강 대 전체는 6n²을 6n³으로 나눈 값이고, 6n³은 6n²의 n 배이므로 1/n로 약분됩니다.

빨간/전체=6n²/6n³=6n²/(n · 6n²)=1/n

4STEP 4

n 풀고 선택지 고르기

빨간 비율이 4분의 1이므로 1/n=1/4. 단위분수가 같으면 분모도 같으니 n=4, 곧 (B)입니다.

1/n=1/4 → n=4 → (B)

정답

n=4를 직접 확인합니다. 전체 면은 6 · 4³=6 · 64=384. 빨간 면은 6 · 4²=6 · 16=96. 비율은 96/384=1/4로, 문제가 요구하는 정확히 4분의 1입니다. 또한 정육면체가 커질수록 빨간 비율이 줄어드는 것이 이치에 맞습니다: 큰 정육면체는 숨겨진 속이 비율상 더 많으므로 칠해진 채로 남는 면의 비율이 작아지고, 이는 1/n 패턴과 일치합니다.

💡핵심 정리

자르면 안쪽 맨 면이 잔뜩 생기지만 새 페인트는 없으므로 빨간 비율은 1/n일 뿐입니다 — 이를 1/4과 같게 놓으면 n=4.

모든 작은 면 세기
빨간 면만 세기
빨간 것과 전체 비교하기
n 풀고 선택지 고르기

모든 작은 면 세기

빨간 면만 세기

빨간 것과 전체 비교하기

n 풀고 선택지 고르기

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