AMC 10 · 2005 · #11
학년 6 geometry-3d한 변이 n 단위인 나무 정육면체의 여섯 면을 모두 빨갛게 칠한 뒤 n3 개의 단위 정육면체로 자릅니다. 이 단위 정육면체들의 전체 면 개수 중 정확히 4분의 1이 빨간색입니다. n 은 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변이 $n$ 단위인 나무 정육면체의 여섯 겉면을 모두 빨갛게 칠한 뒤 $n^3$ 개의 단위 정육면체로 자릅니다. 모든 단위 정육면체의 모든 작은 면을 세었을 때, 그 작은 면들 중 정확히 4분의 1이 빨간색입니다. $n$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 큰 정육면체는 한 변이 $n$ 이고 여섯 면이 모두 빨갛게 칠해짐; 이것을 $n^3$ 개의 단위 정육면체로 자름; 빨간 작은 면은 전체 작은 면의 정확히 $\tfrac14$ 을 차지함; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
구하는 것: 원래 정육면체의 한 변 길이 $n$
이해
문제 재정리: 한 변이 $n$ 단위인 나무 정육면체의 여섯 겉면을 모두 빨갛게 칠한 뒤 $n^3$ 개의 단위 정육면체로 자릅니다. 모든 단위 정육면체의 모든 작은 면을 세었을 때, 그 작은 면들 중 정확히 4분의 1이 빨간색입니다. $n$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 큰 정육면체는 한 변이 $n$ 이고 여섯 면이 모두 빨갛게 칠해짐; 이것을 $n^3$ 개의 단위 정육면체로 자름; 빨간 작은 면은 전체 작은 면의 정확히 $\tfrac14$ 을 차지함; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기
모든 것을 하나의 미지수 $n$ 으로 나타낼 수 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 풀이를 이끕니다. 두 가지 개수가 필요합니다: 전체 작은 면의 수와 빨간 작은 면의 수. 전체는 쉽습니다 — $n^3$ 개의 정육면체가 각각 $6$ 개의 면을 가집니다. 빨간 개수에는 도구 #17(공간 상상하기)이 필요합니다: 빨간 작은 면은 큰 정육면체의 칠해진 껍질 조각들이므로, 넓이 $n^2$ 인 여섯 면으로 이루어진 원래 겉면을 덮습니다. 빨간 것과 전체를 비교하면 깔끔한 분수 $\tfrac1n$ 이 나오고, 이를 $\tfrac14$ 과 같게 놓으면 $n$ 이 정해집니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 값을 선택지와 맞춥니다.
실행 — 정답: B
6.EE.A.1 단계 1 모든 작은 면 세기
- 큰 정육면체를 자르면 $n^3$ 개의 단위 정육면체가 나오고, 각 단위 정육면체는 자기 면 $6$ 개를 가집니다.
- 따라서 칠해졌든 아니든 전체 작은 면의 수는 $n^3$ 의 $6$ 배입니다.
- 이것이 우리가 분수를 취할 전체 면 더미입니다.
💡 먼저 정육면체 개수로 세고, 각 정육면체가 지닌 면 $6$ 개를 곱합니다.
6.G.A.4 단계 2 빨간 면만 세기
- 페인트는 큰 정육면체의 바깥 껍질에만 있습니다.
- 정육면체를 자를 때 그 빨간 껍질은 움직이지 않고 단지 단위 정사각형들로 나뉩니다.
- 껍질은 큰 정육면체의 $6$ 개 면이고, 각 면은 $n^2$ 개의 작은 정사각형을 담은 $n\times n$ 정사각형입니다.
- 따라서 빨간 작은 면의 수는, 빨간색이 작은 정육면체들에 어떻게 흩어지든 상관없이, $n^2$ 의 $6$ 배입니다.
💡 새로 잘린 면에는 빨간색이 없으므로, 빨간 면은 원래 칠해진 겉면뿐입니다.
6.EE.A.3 단계 3 빨간 것과 전체 비교하기
- 빨간 작은 면의 비율은 빨간 개수를 전체 개수로 나눈 것입니다.
- $n^3=n\cdot n^2$ 이므로, 분자의 $6n^2$ 이 분모 안의 같은 $6n^2$ 과 약분되어 $\tfrac1n$ 이 남습니다.
- 따라서 전체 면 중 빨간 비율은 단순히 $\tfrac1n$ 입니다.
💡 모든 단위 정육면체가 면 $6$ 개를 내놓지만 겉면만 빨간색을 주므로, 빨간 비율은 $\tfrac1n$ 으로 옅어집니다.
6.RP.A.3 단계 4 n 풀고 선택지 고르기
- 문제에서 빨간 비율이 4분의 1과 같다고 했으므로 $\tfrac1n=\tfrac14$ 로 놓습니다.
- 분자가 $1$ 인 두 분수는 분모가 같을 때에만 같으므로 $n=4$ 입니다.
- 선택지를 훑어보면 $4$ 는 (B)이고 다른 선택지는 맞지 않으므로 답은 (B)입니다.
💡 두 단위분수가 같으면 분모도 같습니다.
6.EE.A.1 큰 정육면체를 자르면 $n^3$ 개의 단위 정육면체가 나오고, 각 단위 정육면체는 자기 면 $6$ 개를 가집니다. 따라서 칠해졌든 아니든 전체 6.G.A.4 페인트는 큰 정육면체의 바깥 껍질에만 있습니다. 정육면체를 자를 때 그 빨간 껍질은 움직이지 않고 단지 단위 정사각형들로 나뉩니다. 껍질은 큰 6.EE.A.3 빨간 작은 면의 비율은 빨간 개수를 전체 개수로 나눈 것입니다. $n^3=n\cdot n^2$ 이므로, 분자의 $6n^2$ 이 분모 안의 같은 6.RP.A.3 문제에서 빨간 비율이 4분의 1과 같다고 했으므로 $\tfrac1n=\tfrac14$ 로 놓습니다. 분자가 $1$ 인 두 분수는 분모가 같을 때 검토
합리성 확인: $n=4$ 를 직접 확인합니다. 전체 면은 $6\cdot 4^3=6\cdot 64=384$. 빨간 면은 $6\cdot 4^2=6\cdot 16=96$. 비율은 $\tfrac{96}{384}=\tfrac14$ 로, 문제가 요구하는 정확히 4분의 1입니다. 또한 정육면체가 커질수록 빨간 비율이 줄어드는 것이 이치에 맞습니다: 큰 정육면체는 숨겨진 속이 비율상 더 많으므로 칠해진 채로 남는 면의 비율이 작아지고, 이는 $\tfrac1n$ 패턴과 일치합니다.
대안 접근: 약분 분수를 쓰지 않고 원래 방정식을 풉니다. 빨간 것을 전체의 4분의 1로 놓습니다: $6n^2=\tfrac14\,(6n^3)$. 양변에 $4$ 를 곱해 분수를 없앱니다: $24n^2=6n^3$. 양변을 $0$ 이 아닌 $6n^2$ 으로 나눕니다: $4=n$. 같은 답 $n=4$, 선택지 (B)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산한다 (면 $6$ 개씩인 $n^3$ 개의 정육면체로부터 전체 작은 면의 수를 $6n^3$ 으로 쓰는 데 사용.)6.G.A.4직사각형과 삼각형으로 이루어진 전개도로 입체도형을 나타내고, 전개도로 겉넓이를 구한다 (빨간 작은 면을 큰 정육면체의 칠해진 겉면으로 세는 데 사용: $n^2$ 개 단위 정사각형인 면 $6$ 개, 즉 $6n^2$.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 (공통 인수 $6n^2$ 을 약분하여 비 $\tfrac{6n^2}{6n^3}$ 을 $\tfrac{1}{n}$ 로 간단히 하는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제를 푼다 (빨간 비율 $\tfrac1n$ 을 $\tfrac14$ 과 같게 놓고 $n=4$ 를 읽어내는 데 사용.)
⭐ 자르면 안쪽 맨 면이 잔뜩 생기지만 새 페인트는 없으므로 빨간 비율은 $\tfrac1n$ 일 뿐입니다 — 이를 $\tfrac14$ 과 같게 놓으면 $n=4$.
⭐ 자르면 안쪽 맨 면이 잔뜩 생기지만 새 페인트는 없으므로 빨간 비율은 $\tfrac1n$ 일 뿐입니다 — 이를 $\tfrac14$ 과 같게 놓으면 $n=4$.
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