AMC 10 · 2005 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorequilateral-trianglearea-difference identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesequilateral-trianglecircular-sector

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림과 같은 도형을 트레포일(trefoil)이라 하며, 합동인 정삼각형들의 변을 중심으로 원의 부채꼴을 그려서 만듭니다. 수평 밑변의 길이가 $2$ 인 트레포일의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$

(B)

$\frac{2}{3}\pi$

(C)

$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{4}$

(D)

$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 트레포일(trefoil)은 합동인 정삼각형들의 변에 원의 부채꼴을 붙여 그린 도형으로, 길이가 $2$인 수평 밑변 위에 놓여 있다. 이 트레포일의 전체 넓이를 구하여라.

주어진 것: 이 도형은 합동인 정삼각형들의 변에 그린 원의 부채꼴들로 이루어져 있다; 수평 밑변의 길이는 $2$이다; 밑변은 중심에서 반으로 나뉘므로, 각 정삼각형의 한 변(그리고 각 부채꼴의 반지름)은 $1$이다; 선택지: (A) $\frac{1}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$, (B) $\frac{2}{3}\pi$, (C) $\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{4}$, (D) $\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{3}$, (E) $\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$

구하는 것: 트레포일의 전체 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

트레포일은 복합 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대가 된다. 넓이를 쉽게 구할 수 있는 조각으로 자르는 것이다. 가장 깔끔한 절단은 트레포일을 한 변이 $2$인 큰 정삼각형(꼭짓점은 밑변의 두 끝과 맨 위 점) 위에 앉히고, 네 개의 원형 "혹"을 더하는 것이다. 각 혹은 $60^\circ$ 부채꼴에서 한 변이 $1$인 작은 정삼각형을 뺀 것이다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 조각들의 위치를 잡는다. 핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)에 있다. 지저분한 삼각형 넓이를 일일이 계산하는 대신, 네 개의 작은 삼각형이 정확히 큰 삼각형을 다시 만든다는 점을 알아채면 모든 삼각형 항이 상쇄되고 부채꼴만 남는다. 그런 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 깔끔한 결과를 선택지와 맞춘다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

반지름과 기본 조각 정하기

도형의 중심은 밑변 위에 있고, 밑변은 원의 한쪽에서 반대쪽까지 지나가므로 밑변은 길이 $2$인 지름이다.
따라서 모든 부채꼴의 반지름은 $r=1$이다.
각 색칠된 호는 $60^\circ$만큼 돌고, 이런 호의 두 끝과 중심을 이으면 길이 $1$인 두 반지름 사이 각이 $60^\circ$인 삼각형, 즉 한 변이 $1$인 작은 정삼각형이 된다.
그러므로 전체 도형은 반지름 $1$인 $60^\circ$ 부채꼴들이 한 변 $1$인 정삼각형 위에 놓인 것으로 이루어진다.

$$r=1,\quad \text{각 호}=60^\circ,\quad \text{각 삼각형 변}=1$$

💡 두 반지름이 같은 $60^\circ$ 쐐기는 언제나 정삼각형으로 닫힌다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 2

트레포일을 큰 삼각형 위에 앉히기

밑변의 두 끝을 트레포일의 맨 위 점과 이으면, 이 세 점은 한 변이 전체 밑변인 큰 정삼각형을 이루고 그 변의 길이는 $2$이다.
트레포일은 바로 이 큰 삼각형의 두 빗변을 따라 네 개의 둥근 혹을 바깥으로 밀어낸 모양이다(각 빗변은 중점에서 나뉘어 변마다 혹이 두 개씩 생긴다).
정삼각형의 변을 두 배로 늘리면 넓이는 $2^2=4$배가 되므로, 큰 삼각형의 넓이는 한 변 $1$인 작은 삼각형 $4$개와 같다.

$$T_{\text{big}}(\text{변 }2)=2^2\,T_{\text{small}}(\text{변 }1)=4\,T_{\text{small}}$$

💡 도형을 $2$배로 키우면 넓이는 $2\times 2=4$배로 늘어난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

혹 하나 재기

각 혹은 활꼴(원의 조각)이다.
반지름 $1$인 $60^\circ$ 부채꼴을 잡고, 그 현 아래의 한 변 $1$인 정삼각형을 덜어낸 것이다.
$60^\circ$ 부채꼴은 원 전체의 $6$분의 $1$이므로 넓이는 $\frac{60}{360}\pi(1)^2=\frac{\pi}{6}$이다.
따라서 혹 하나의 넓이는 $\frac{\pi}{6}-T_{\text{small}}$이고, 똑같은 혹이 네 개 있다.

$$\text{부채꼴}=\tfrac{1}{6}\pi(1)^2=\tfrac{\pi}{6},\qquad \text{혹}=\tfrac{\pi}{6}-T_{\text{small}}$$

💡 활꼴은 부채꼴에서 직선 변으로 된 삼각형을 도려낸 것일 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 4

조각을 더하며 삼각형이 상쇄되는 것 지켜보기

트레포일은 큰 삼각형에 네 혹을 더한 것이다: $4\,T_{\text{small}}+4\left(\frac{\pi}{6}-T_{\text{small}}\right)$.
혹에 $4$를 분배하면, 큰 삼각형에서 온 $+4\,T_{\text{small}}$과 혹에서 온 $-4\,T_{\text{small}}$은 크기가 같고 부호가 반대이므로 모든 삼각형 항이 사라진다.
삼각형 넓이는 하나도 계산할 필요가 없으며, 그래서 답에 $\sqrt{3}$이 나타날 수 없다.

$$4T_{\text{small}}+4\left(\tfrac{\pi}{6}-T_{\text{small}}\right)=4\cdot\tfrac{\pi}{6}$$

💡 더한 네 작은 삼각형이 바로 다시 빼는 그 네 삼각형이므로 깨끗이 사라진다.

#3 가능성 지우기 5.NF.B.4 단계 5

살아남은 부채꼴 계산하기

부채꼴 네 개만 남는다: $4\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$.
선택지를 훑어보면 이 값에는 $\sqrt{3}$ 항이 없어서 (A), (C), (D), (E)를 바로 지울 수 있고, (B)와 정확히 일치한다.
트레포일의 넓이는 $\frac{2}{3}\pi$, 즉 (B)이다.

$$4\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 원의 $6$분의 $1$ 쐐기 네 개는 원 전체의 $3$분의 $2$로 붙는다.

[1] #1 6.G.A.1 도형의 중심은 밑변 위에 있고, 밑변은 원의 한쪽에서 반대쪽까지 지나가므로 밑변은 길이 $2$인 지름이다. 따라서 모든 부채꼴의 반지름은 $r=

[2] #7 7.G.A.1 밑변의 두 끝을 트레포일의 맨 위 점과 이으면, 이 세 점은 한 변이 전체 밑변인 큰 정삼각형을 이루고 그 변의 길이는 $2$이다. 트레포일은

[3] #7 7.G.B.4 각 혹은 활꼴(원의 조각)이다. 반지름 $1$인 $60^\circ$ 부채꼴을 잡고, 그 현 아래의 한 변 $1$인 정삼각형을 덜어낸 것이다. $

[4] #16 6.G.A.1 트레포일은 큰 삼각형에 네 혹을 더한 것이다: $4\,T_{\text{small}}+4\left(\frac{\pi}{6}-T_{\text{sma

[5] #3 5.NF.B.4 부채꼴 네 개만 남는다: $4\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$. 선택지를 훑어보면 이 값

검토

합리성 확인: 점검: $\frac{2}{3}\pi\approx 2.09$이다. 한 변 $2$인 큰 정삼각형의 넓이는 $\sqrt{3}\approx 1.73$이고, 트레포일은 그 삼각형에 바깥 혹 네 개를 더한 것이므로 넓이는 $1.73$보다 조금 커야 한다. $2.09$는 실제로 조금 더 크므로 맞아떨어진다. 다른 선택지는 모두 $\sqrt{3}$ 항을 더하지만, 더한 네 삼각형과 뺀 네 삼각형이 정확히 상쇄되므로 $\pi$만 남는 답이 바로 기하가 예측하는 것이다. $\frac{2}{3}\pi$는 (B)이다.

대안 접근: 상쇄 요령 없이 직접 계산할 수도 있다. 네 혹(활꼴)이 각각 $\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$(부채꼴에서 넓이 $\frac{\sqrt{3}}{4}$인 한 변 $1$ 정삼각형을 뺀 것)이고 큰 삼각형이 넓이 $\sqrt{3}$이라 하면: 전체 $=\sqrt{3}+4\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}$. $\sqrt{3}$ 항이 상쇄되어 같은 답 $\frac{2}{3}\pi$이 나오며, (B)를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (트레포일을 큰 정삼각형 하나와 네 개의 활꼴로 쪼갠 뒤 조각을 다시 더한다.)
7.G.A.1 Solve problems involving scale drawings of geometric figures (삼각형의 변을 두 배로 늘리면 넓이가 네 배가 됨을 이용해, 변 $2$인 삼각형이 변 $1$인 삼각형 네 개와 같음을 쓴다.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (반지름 $1$인 $60^\circ$ 부채꼴을 원의 $6$분의 $1$로 구한다: $\frac{1}{6}\pi(1)^2=\frac{\pi}{6}$.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (살아남은 부채꼴 네 개를 합친다: $4\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$.)

⭐ 트레포일을 큰 삼각형 위에 앉히고 파이 조각 혹 네 개를 더하면, 더하고 빼는 삼각형이 상쇄되어 원의 $\frac{1}{6}$ 짜리 $4$개, 곧 $\frac{2}{3}\pi$만 남는다.