AMC 10 · 2005 · #12

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
circular-sectorequilateral-trianglearea-difference identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesequilateral-trianglecircular-sector
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
트레포일(trefoil)은 합동인 정삼각형들의 변에 원의 부채꼴을 붙여 그린 도형으로, 중심을 곧장 지나는 길이가 2인 수평 밑변 위에 놓여 있다. 이 트레포일의 전체 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$
(B)
$\frac{2}{3}\pi$
(C)
$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{4}$
(D)
$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{3}$
(E)
$\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

트레포일은 복합 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대가 된다. 넓이를 쉽게 구할 수 있는 조각으로 자르는 것이다. 가장 깔끔한 절단은 트레포일을 한 변이 2인 큰 정삼각형(꼭짓점은 밑변의 두 끝과 맨 위 점) 위에 앉히고, 네 개의 원형 "혹"을 더하는 것이다. 각 혹은 60° 부채꼴에서 한 변이 1인 작은 정삼각형을 뺀 것이다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 조각들의 위치를 잡는다. 핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)에 있다. 지저분한 삼각형 넓이를 일일이 계산하는 대신, 네 개의 작은 삼각형이 정확히 큰 삼각형을 다시 만든다는 점을 알아채면 모든 삼각형 항이 상쇄되고 부채꼴만 남는다. 그런 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 깔끔한 결과를 선택지와 맞춘다.

1STEP 1

반지름과 기본 조각 정하기

밑변이 지름이므로 부채꼴 반지름은 1이고, 60° 호와 두 반지름은 한 변 1인 정삼각형을 이룬다.

r=1, 각 호=60°, 각 삼각형 변=1
2STEP 2

트레포일을 큰 삼각형 위에 앉히기

밑변 양끝과 꼭대기를 이으면 한 변 2인 큰 정삼각형은 작은 삼각형 4개이고, 빗변마다 혹이 둘씩 붙는다.

T_big(변 2)=2² T_small(변 1)=4 T_small
3STEP 3

혹 하나 재기

각 혹은 활꼴이다. 반지름 1인 60° 부채꼴 넓이 π/6에서 한 변 1인 삼각형을 뺀다.

부채꼴=1/6π(1)²=π/6, 혹=π/6-T_small
4STEP 4

조각을 더하며 삼각형이 상쇄되는 것 지켜보기

전체 = 작은 삼각형 4개 + 4(π/6 − 작은 삼각형)이므로, 더한 것과 뺀 것이 상쇄되어 부채꼴만 남는다.

4T_small+4(π/6-T_small)=4·π/6
5STEP 5

살아남은 부채꼴 계산하기

부채꼴 넷만 남는다: 4·π/6=2π/3. 근호 항이 없는 유일한 선택지 (B)이다.

4·π/6=2π/3 → (B)
정답
2/3π
점검: 2/3π≈ 2.09이다. 한 변 2인 큰 정삼각형의 넓이는 √(3)≈ 1.73이고, 트레포일은 그 삼각형에 바깥 혹 네 개를 더한 것이므로 넓이는 1.73보다 조금 커야 한다. 2.09는 실제로 조금 더 크므로 맞아떨어진다. 다른 선택지는 모두 √(3) 항을 더하지만, 더한 네 삼각형과 뺀 네 삼각형이 정확히 상쇄되므로 π만 남는 답이 바로 기하가 예측하는 것이다. 2/3π는 (B)이다.
💡핵심 정리

트레포일을 큰 삼각형 위에 앉히고 파이 조각 혹 네 개를 더하면, 더하고 빼는 삼각형이 상쇄되어 원의 1/6 짜리 4개, 곧 2/3π만 남는다.

  • 반지름과 기본 조각 정하기
  • 트레포일을 큰 삼각형 위에 앉히기
  • 혹 하나 재기
  • 조각을 더하며 삼각형이 상쇄되는 것 지켜보기
  • 살아남은 부채꼴 계산하기

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