AMC 10 · 2005 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremspatial-visualization identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremspatial-visualizationisosceles-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 1인치인 정사각형 두 개가 직선 위에 놓여 있고, 그 사이에는 원래 세 번째 정사각형이 있던 1인치 폭의 빈틈이 있습니다. 그 세 번째 정사각형을 45° 돌려 마름모 모양으로 만든 뒤, 양옆 정사각형에 닿을 때까지 빈틈으로 내립니다. 마름모의 꼭대기 꼭짓점 B가 밑선에서 얼마나 높은지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{2}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 마름모가 걸치는 두 꼭짓점과 마름모 자신의 꼭짓점들을 표시하면 어디가 닿는지 정확히 보입니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 기울어진 정사각형이 너무 넓어 빈틈으로 빠지지 못하고 양옆 정사각형의 위쪽 꼭짓점 두 곳에 걸린다는 것을 보는 데 필요합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 B의 높이를 두 조각 — 마름모 바닥 꼭짓점의 높이와 마름모의 수직 대각선 — 으로 나눕니다.

1STEP 1

빈틈과 그 꼭짓점 표시하기

가운데 정사각형을 들어내면 폭이 딱 1인치인 빈틈이 남고, 양옆 안쪽 위 꼭짓점 두 곳이 높이 1의 턱이 됩니다.

빈틈 폭=1, 꼭짓점 높이=1

2STEP 2

마름모는 너무 넓어 빠지지 못함

45° 돌리면 가로 폭이 대각선 √(2)≈1.41인치가 되어 1인치 빈틈보다 넓으므로 두 꼭짓점에 걸립니다.

마름모 폭=√(2) ＞ 1=빈틈 폭

3STEP 3

45-45-90 삼각형 찾기

바닥 꼭짓점을 걸쳐진 두 꼭짓점과 이으면, 두 변이 90°로 만나고 각각 45° 기울어져 빗변이 1인 45-45-90 삼각형이 됩니다.

바닥 꼭짓점에서 직각, 빗변=1

4STEP 4

바닥 꼭짓점의 높이 구하기

45-45-90 삼각형에서 직각에서 빗변까지의 높이는 빗변의 절반이므로, 바닥 꼭짓점은 높이 1/2에 있습니다.

내려간 거리=1/2, 바닥 꼭짓점 높이=1-1/2=1/2

5STEP 5

수직 대각선을 더해 B에 도달하기

B는 그 바로 위, 수직 대각선 √(1²+1²)=√(2)만큼 높은 곳에 있으므로 높이는 √(2)+1/2, 즉 (D)입니다.

B의 높이=1/2+√(2)=√(2)+1/2 → (D)

정답

√(2)+1/2

좌표로 확인합니다. 빈틈을 x=1과 x=2 사이에 두고 걸쳐진 두 꼭짓점을 높이 1에 놓으면 (1,1)과 (2,1)입니다. 마름모는 x=1.5를 중심으로 하고, 아래쪽 오른쪽 빗변은 (2,1)을 지나는 기울기 -1, 아래쪽 왼쪽 빗변은 (1,1)을 지나는 기울기 +1입니다. 이 둘은 바닥 꼭짓점 (1.5, 0.5)에서 만나 높이 1/2과 일치합니다. 수직 대각선 √(2)를 더하면 B는 (1.5, 0.5+√(2))≈(1.5, 1.91)입니다. 이는 2보다 조금 작으므로 (A) 1, (B) √2≈1.41, (C) 1.5보다 크고 (E) 2보다 작아 — 오직 (D) √2+1/2≈1.91만 맞습니다.

💡핵심 정리

정사각형을 꼭짓점으로 세우면 보기보다 넓어서 꼭짓점에 걸립니다 — 그다음 살짝 내려간 높이와 곧게 뻗은 대각선을 쌓으면 꼭대기를 찾을 수 있어요.

빈틈과 그 꼭짓점 표시하기
마름모는 너무 넓어 빠지지 못함
45-45-90 삼각형 찾기
바닥 꼭짓점의 높이 구하기
수직 대각선을 더해 B에 도달하기

빈틈과 그 꼭짓점 표시하기

마름모는 너무 넓어 빠지지 못함

45-45-90 삼각형 찾기

바닥 꼭짓점의 높이 구하기

수직 대각선을 더해 B에 도달하기

비슷한 유형 더 풀어보기