AMC 10 · 2005 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremspatial-visualization identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremspatial-visualizationisosceles-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 $1$ 인치인 정사각형 세 개를 밑변이 한 직선 위에 오도록 놓습니다. 그림과 같이 가운데 정사각형을 들어내어 $45^{\circ}$ 회전시킵니다. 그런 다음 그것을 원래 자리의 한가운데에 맞추어, 양옆의 두 정사각형에 닿을 때까지 내립니다. 점 $B$ 는 원래 정사각형들의 밑변이 놓였던 직선으로부터 몇 인치 떨어져 있습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{2}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변이 $1$인치인 정사각형 두 개가 직선 위에 놓여 있고, 그 사이에는 원래 세 번째 정사각형이 있던 $1$인치 폭의 빈틈이 있습니다. 그 세 번째 정사각형을 $45^{\circ}$ 돌려 마름모 모양으로 만든 뒤, 양옆 정사각형에 닿을 때까지 빈틈으로 내립니다. 마름모의 꼭대기 꼭짓점 $B$가 밑선에서 얼마나 높은지 구하세요.

주어진 것: 각 정사각형의 한 변의 길이는 $1$인치; 바깥쪽 두 정사각형은 밑변이 직선 위에 있고, 윗변은 높이 $1$에 위치; 가운데 정사각형은 정확히 $45^{\circ}$ 회전한 뒤 양옆 정사각형에 닿을 때까지 곧게 아래로 내려짐; $B$는 회전한(마름모) 정사각형의 꼭대기 꼭짓점; 선택지: (A) $1$, (B) $\sqrt{2}$, (C) $\frac{3}{2}$, (D) $\sqrt{2}+\frac{1}{2}$, (E) $2$

구하는 것: 밑선에서 점 $B$까지의 높이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 그림 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 마름모가 걸치는 두 꼭짓점과 마름모 자신의 꼭짓점들을 표시하면 어디가 닿는지 정확히 보입니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 기울어진 정사각형이 너무 넓어 빈틈으로 빠지지 못하고 양옆 정사각형의 위쪽 꼭짓점 두 곳에 걸린다는 것을 보는 데 필요합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $B$의 높이를 두 조각 — 마름모 바닥 꼭짓점의 높이와 마름모의 수직 대각선 — 으로 나눕니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

빈틈과 그 꼭짓점 표시하기

가운데 정사각형을 들어내면 남은 두 정사각형 사이에 정확히 $1$인치 폭의 빈틈이 생깁니다(들어낸 정사각형의 폭).
그 두 정사각형의 안쪽 위 꼭짓점이 바로 마름모가 걸치게 될 턱입니다.
두 꼭짓점은 $1$인치 떨어져 있고, 각각 밑선에서 높이 $1$에 있습니다.

$$\text{빈틈 폭}=1,\qquad \text{꼭짓점 높이}=1$$

💡 들어낸 정사각형은 자기 폭만큼 구멍을 남기므로, 그 구멍을 감싸는 두 꼭짓점은 $1$인치 떨어져 있습니다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 2

마름모는 너무 넓어 빠지지 못함

정사각형을 $45^{\circ}$ 돌리면, 가로 폭이 대각선인 $\sqrt{2}\approx 1.41$인치가 되는 마름모가 됩니다.
이는 $1$인치 빈틈보다 넓으므로 마름모는 빠져나갈 수 없습니다.
대신 아래쪽 두 빗변이 안쪽 위 꼭짓점 두 곳에 걸리고, 바닥 꼭짓점은 그 사이로 늘어집니다.

$$\text{마름모 폭}=\sqrt{2}>1=\text{빈틈 폭}$$

💡 기울어진 정사각형은 곧게 놓인 것보다 가로로 더 넓어서, 아래로 미끄러지지 않고 꼭짓점에 걸립니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.5 단계 3

45-45-90 삼각형 찾기

마름모의 바닥 꼭짓점을 걸쳐진 두 꼭짓점과 이어봅시다.
마름모의 아래쪽 두 빗변은 바닥 꼭짓점에서 $90^{\circ}$로 만나고(여전히 정사각형의 모서리이므로), 정사각형을 $45^{\circ}$ 돌렸으므로 각 빗변은 수평에서 $45^{\circ}$ 기울어져 있습니다.
따라서 이 삼각형은 걸쳐진 두 꼭짓점을 잇는 $1$인치 선분을 빗변으로 하는 직각이등변($45$-$45$-$90$) 삼각형입니다.

$$\text{바닥 꼭짓점에서 직각},\quad \text{빗변}=1$$

💡 정사각형의 모서리를 45도 기울이면 두 변이 각각 45도로 기울어져 완벽한 직각이등변삼각형이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

바닥 꼭짓점의 높이 구하기

$45$-$45$-$90$ 삼각형에서 직각에서 빗변까지 내린 높이는 정확히 빗변의 절반입니다.
여기서 빗변이 $1$이므로 바닥 꼭짓점은 걸쳐진 두 꼭짓점을 잇는 선보다 $\tfrac12$인치 아래에 있습니다.
그 선이 높이 $1$에 있으므로 마름모의 바닥 꼭짓점은 높이 $1-\tfrac12=\tfrac12$에 있습니다.

$$\text{내려간 거리}=\tfrac{1}{2},\qquad \text{바닥 꼭짓점 높이}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}$$

💡 직각이등변삼각형에서 꼭짓점은 밑변의 한가운데까지, 밑변 길이의 딱 절반만큼 내려옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

수직 대각선을 더해 B에 도달하기

점 $B$는 마름모의 꼭대기 꼭짓점으로, 바닥 꼭짓점 바로 위에 있습니다.
바닥 꼭짓점에서 $B$까지의 선분은 단위 정사각형의 대각선이고, 정사각형을 정확히 $45^{\circ}$ 돌렸으므로 이 대각선은 수직입니다.
그 길이는 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$입니다.
따라서 $B$의 높이는 $\tfrac12+\sqrt{2}$이고, 이는 선택지 (D)입니다.

$$B\text{의 높이}=\tfrac{1}{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 바닥 꼭짓점의 높이와 곧게 위로 뻗은 대각선을 쌓아 올려 꼭대기 꼭짓점까지 갑니다.

[1] #1 4.G.A.1 가운데 정사각형을 들어내면 남은 두 정사각형 사이에 정확히 $1$인치 폭의 빈틈이 생깁니다(들어낸 정사각형의 폭). 그 두 정사각형의 안쪽 위

[2] #17 8.G.A.1 정사각형을 $45^{\circ}$ 돌리면, 가로 폭이 대각선인 $\sqrt{2}\approx 1.41$인치가 되는 마름모가 됩니다. 이는 $1$

[3] #1 7.G.B.5 마름모의 바닥 꼭짓점을 걸쳐진 두 꼭짓점과 이어봅시다. 마름모의 아래쪽 두 빗변은 바닥 꼭짓점에서 $90^{\circ}$로 만나고(여전히 정사각

[4] #7 8.G.B.7 $45$-$45$-$90$ 삼각형에서 직각에서 빗변까지 내린 높이는 정확히 빗변의 절반입니다. 여기서 빗변이 $1$이므로 바닥 꼭짓점은 걸쳐진

[5] #7 8.G.B.7 점 $B$는 마름모의 꼭대기 꼭짓점으로, 바닥 꼭짓점 바로 위에 있습니다. 바닥 꼭짓점에서 $B$까지의 선분은 단위 정사각형의 대각선이고, 정사

검토

합리성 확인: 좌표로 확인합니다. 빈틈을 $x=1$과 $x=2$ 사이에 두고 걸쳐진 두 꼭짓점을 높이 $1$에 놓으면 $(1,1)$과 $(2,1)$입니다. 마름모는 $x=1.5$를 중심으로 하고, 아래쪽 오른쪽 빗변은 $(2,1)$을 지나는 기울기 $-1$, 아래쪽 왼쪽 빗변은 $(1,1)$을 지나는 기울기 $+1$입니다. 이 둘은 바닥 꼭짓점 $(1.5,\,0.5)$에서 만나 높이 $\tfrac12$과 일치합니다. 수직 대각선 $\sqrt{2}$를 더하면 $B$는 $(1.5,\,0.5+\sqrt{2})\approx(1.5,\,1.91)$입니다. 이는 $2$보다 조금 작으므로 (A) $1$, (B) $\sqrt2\approx1.41$, (C) $1.5$보다 크고 (E) $2$보다 작아 — 오직 (D) $\sqrt2+\tfrac12\approx1.91$만 맞습니다.

대안 접근: 삼각형 성질을 건너뛰고 대각선을 직접 씁니다. 마름모의 수평 대각선은 길이 $\sqrt2$이고 그 양끝은 빈틈 밖으로 튀어나오며, 두 빗변이 꼭짓점 $(1,1)$과 $(2,1)$을 지납니다. 수평 대각선은 마름모의 중심 높이 $h_c$에 있으므로, 바닥 꼭짓점 $(1.5,\,h_c-\tfrac{\sqrt2}{2})$에서 $(1,1)$을 지나는 기울기 $-1$인 빗변으로부터 $h_c=\tfrac12+\tfrac{\sqrt2}{2}$를 얻습니다. 그러면 $B=h_c+\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac12+\sqrt2$로 같은 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (그림을 읽어 빈틈이 $1$인치 폭이고 걸쳐진 꼭짓점이 높이 $1$에 있음을 파악.)
8.G.A.1 Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations ($45^{\circ}$ 회전이 정사각형을 $\sqrt2$인치 폭으로 만들어 $1$인치 빈틈으로 빠지기엔 너무 넓음을 확인.)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles (마름모 바닥 꼭짓점의 직각과 아래쪽 빗변의 $45^{\circ}$ 기울기를 알아내어 $45$-$45$-$90$ 삼각형을 얻음.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각이등변삼각형에서 $\tfrac12$인치 내려감과 정사각형 대각선의 $\sqrt2$ 길이를 구함.)

⭐ 정사각형을 꼭짓점으로 세우면 보기보다 넓어서 꼭짓점에 걸립니다 — 그다음 살짝 내려간 높이와 곧게 뻗은 대각선을 쌓으면 꼭대기를 찾을 수 있어요.