AMC 10 · 2005 · #20
학년 8 geometry-2d어떤 등각 팔각형이 길이 1 인 변 네 개와 길이 2/2 인 변 네 개를 가지며, 연속한 두 변의 길이가 서로 같지 않도록 배열되어 있습니다. 이 팔각형의 넓이는 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여덟 변으로 이루어진 도형의 모든 각이 같습니다. 네 변의 길이는 $1$ 이고 나머지 네 변의 길이는 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 이며, 두 길이가 번갈아 나와서 같은 길이의 변끼리는 서로 이웃하지 않습니다. 이 도형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 이 팔각형은 등각이다: 여덟 내각이 모두 같다; 네 변의 길이는 $1$ 이고 네 변의 길이는 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 이다; 길이가 번갈아 나오므로 길이 $1$ 인 변은 양옆이 모두 길이 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 인 변이고, 그 반대도 성립한다; 선택지: (A) $\tfrac{7}{2}$, (B) $\tfrac{7\sqrt{2}}{2}$, (C) $\tfrac{5+4\sqrt{2}}{2}$, (D) $\tfrac{4+5\sqrt{2}}{2}$, (E) $7$
구하는 것: 팔각형이 둘러싸는 넓이
이해
문제 재정리: 여덟 변으로 이루어진 도형의 모든 각이 같습니다. 네 변의 길이는 $1$ 이고 나머지 네 변의 길이는 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 이며, 두 길이가 번갈아 나와서 같은 길이의 변끼리는 서로 이웃하지 않습니다. 이 도형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 이 팔각형은 등각이다: 여덟 내각이 모두 같다; 네 변의 길이는 $1$ 이고 네 변의 길이는 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 이다; 길이가 번갈아 나오므로 길이 $1$ 인 변은 양옆이 모두 길이 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 인 변이고, 그 반대도 성립한다; 선택지: (A) $\tfrac{7}{2}$, (B) $\tfrac{7\sqrt{2}}{2}$, (C) $\tfrac{5+4\sqrt{2}}{2}$, (D) $\tfrac{4+5\sqrt{2}}{2}$, (E) $7$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
도형 문제는 그림을 부르므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장섭니다. 모든 각을 $135^\circ$ 로 표시하여 팔각형을 그리면, 짧은 네 변이 정확히 $45^\circ$ 로 기웁니다. 이 기울기가 핵심입니다: 긴 네 변을 서로 만날 때까지 연장하면 팔각형을 정사각형 안에 가두고, 팔각형 바깥으로 튀어나오는 것은 오직 네 개의 작은 모서리 삼각형뿐입니다. 그래서 어색한 여덟 변 영역을 직접 재는 대신 도구 #16(관점 바꾸기)으로 봅니다: 팔각형 넓이 $=$ 정사각형 넓이 $-$ 네 모서리. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이미 아는 두 조각 — 정사각형의 넓이와 직각삼각형의 넓이 — 으로 일을 나눕니다.
실행 — 정답: A
8.G.A.5 단계 1 모든 각은 135도
- 어떤 팔각형이든 내각의 합은 $(8-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ$ 입니다.
- 팔각형이 등각이므로 여덟 각이 모두 같고, 따라서 각각은 $1080^\circ \div 8 = 135^\circ$ 입니다.
- 긴 변 하나가 바닥에 평평하게 놓이도록 도형을 그립니다; 각 꼭짓점이 $180^\circ-135^\circ=45^\circ$ 만큼 꺾이므로, 그 바닥 변 옆의 두 짧은 변은 $45^\circ$ 로 비스듬히 올라갑니다.
💡 팔각형에서 각이 모두 같으면 각각 $135^\circ$ 여야 하고, 이는 짧은 변을 깔끔한 $45^\circ$ 로 기울입니다.
6.G.A.1 단계 2 팔각형을 정사각형 안에 가두기
- 긴 네 변은 수평 두 개, 수직 두 개의 쌍으로 나뉩니다.
- 각 긴 변을 직선으로 연장해 이웃과 만나게 하면, 네 직선이 팔각형을 딱 맞게 감싸는 정사각형으로 닫힙니다.
- 정사각형 안이면서 팔각형 바깥인 부분은 정확히 작은 삼각형 네 개로, 정사각형의 각 모서리에서 하나씩 잘려 나온 것입니다.
- 따라서 팔각형은 정사각형의 네 모서리를 잘라낸 것입니다.
💡 울퉁불퉁한 팔각형을 직접 재는 것보다 반듯한 정사각형을 재고 모서리를 빼는 편이 쉽습니다.
8.G.B.7 단계 3 각 모서리 삼각형은 다리가 1/2인 45-45-90
- 모서리 삼각형은 팔각형의 짧은 변 하나로 잘려 나오며, 그 짧은 변이 길이 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 인 빗변(기울어진 변)이 됩니다.
- 두 다리는 정사각형의 변을 따라 뻗어 정사각형의 직각 모서리에서 만납니다; 짧은 변이 $45^\circ$ 로 기울므로 이 삼각형은 두 다리 $\ell$ 이 같은 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 삼각형입니다.
- 피타고라스 정리에 의해 $\ell^2+\ell^2=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\tfrac12$ 이므로 $2\ell^2=\tfrac12$, 따라서 $\ell^2=\tfrac14$ 이고 $\ell=\tfrac12$ 입니다.
💡 같은 두 다리와 피타고라스 정리가 짧은 변 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 를 깔끔한 다리 $\tfrac12$ 로 바꿉니다.
6.G.A.1 단계 4 정사각형 넓이와 모서리 하나의 넓이 구하기
- 정사각형의 위쪽 변을 봅니다.
- 이 변은 팔각형의 긴 변 하나(길이 $1$)를 지나고, 양 끝에 삼각형 다리가 각각 $\tfrac12$ 씩 붙습니다.
- 따라서 정사각형의 한 변은 $\tfrac12+1+\tfrac12=2$ 이고, 넓이는 $2\times 2 = 4$ 입니다.
- 각 모서리 삼각형은 다리가 $\tfrac12$, $\tfrac12$ 인 직각삼각형이므로 넓이는 $\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac18$ 입니다.
💡 정사각형의 변은 긴 변 하나에 반 단위 다리 두 개를 더한 것이고, 각 모서리는 작은 직각삼각형입니다.
6.G.A.1 단계 5 네 모서리 빼기
- 정사각형에서 모서리 삼각형 네 개를 모두 제거합니다.
- 그 넓이의 합은 $4\cdot\tfrac18=\tfrac12$ 이므로 팔각형의 넓이는 $4-\tfrac12=\tfrac72$ 입니다.
- 이를 선택지와 맞추면 $\tfrac72$ 는 (A)이므로 답은 (A)입니다.
💡 정사각형 전체에서 똑같은 네 모서리를 빼면 팔각형이 남습니다.
8.G.A.5 어떤 팔각형이든 내각의 합은 $(8-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ$ 입니다. 팔각형이 등각이므로 여덟 각이 모두 같고, 6.G.A.1 긴 네 변은 수평 두 개, 수직 두 개의 쌍으로 나뉩니다. 각 긴 변을 직선으로 연장해 이웃과 만나게 하면, 네 직선이 팔각형을 딱 맞게 감싸는 8.G.B.7 모서리 삼각형은 팔각형의 짧은 변 하나로 잘려 나오며, 그 짧은 변이 길이 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 인 빗변(기울어진 변)이 됩니 6.G.A.1 정사각형의 위쪽 변을 봅니다. 이 변은 팔각형의 긴 변 하나(길이 $1$)를 지나고, 양 끝에 삼각형 다리가 각각 $\tfrac12$ 씩 붙습니 6.G.A.1 정사각형에서 모서리 삼각형 네 개를 모두 제거합니다. 그 넓이의 합은 $4\cdot\tfrac18=\tfrac12$ 이므로 팔각형의 넓이는 $4 검토
합리성 확인: 둘러싸는 정사각형의 넓이는 $4$ 이고, 팔각형은 그 정사각형에서 작은 네 모서리를 깎아낸 것이므로 넓이는 $4$ 보다 조금 작아야 합니다 — $\tfrac72=3.5$ 가 바로 그렇게 되어 상식 검사를 통과합니다. 두 번째 확인: 팔각형을 좌표평면에 놓고 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(0,0)$ 에 둔 뒤 변을 따라 걸으면 꼭짓점 $(1,0),(1.5,0.5),(1.5,1.5),(1,2),(0,2),(-0.5,1.5),(-0.5,0.5)$ 을 지납니다; 이 점들에 신발끈 공식을 적용하면 $\tfrac12\cdot 7 = \tfrac72$ 이 나와 답이 독립적으로 확인됩니다.
대안 접근: 큰 정사각형에서 모서리를 빼는 대신 팔각형을 잘게 나눕니다. 모든 각이 $135^\circ$ 이므로 같은 $45^\circ$ 기울기를 이용해 수평선과 수직선을 그으면 팔각형이 가운데 $1\times1$ 정사각형, 옆면의 $1\times\tfrac12$ 직사각형 네 개, 모서리 삼각형 네 개로 쪼개집니다. 넓이의 합은 $1+4\cdot\tfrac12+4\cdot\tfrac18=1+2+\tfrac12=\tfrac72$ 입니다. 같은 답 (A)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.A.5비형식적 논증으로 다각형의 내각의 합과 외각에 관한 사실을 확립한다 (등각 팔각형의 각 내각이 $135^\circ$ 임을 알아내어 짧은 변이 $45^\circ$ 로 기우는 것을 밝히는 데 사용.)6.G.A.1직사각형으로 합치거나 삼각형으로 쪼개어 삼각형과 다른 다각형의 넓이를 구한다 (팔각형을 둘러싸는 정사각형에서 모서리 삼각형 네 개를 뺀 것으로 나타내고, 정사각형과 삼각형의 넓이를 계산하는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형에서 알려지지 않은 변의 길이를 구한다 ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 모서리 삼각형의 짧은 변(빗변 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$)을 길이 $\tfrac12$ 인 두 다리로 바꾸는 데 사용.)
⭐ 팔각형을 정사각형 안에 가둔 뒤 작은 모서리 삼각형 네 개를 빼세요: $4-\tfrac12=\tfrac72$.
⭐ 팔각형을 정사각형 안에 가둔 뒤 작은 모서리 삼각형 네 개를 빼세요: $4-\tfrac12=\tfrac72$.
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