AMC 10 · 2005 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-differencearea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglesangle-sum-triangle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
여덟 변으로 이루어진 도형의 모든 각이 같습니다. 네 변의 길이는 1이고 나머지 네 변의 길이는 √(2)/2이며, 두 길이가 번갈아 나와서 같은 길이의 변끼리는 서로 이웃하지 않습니다. 이 도형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{7}{2}$
(B)
$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
(C)
$\frac{5+4\sqrt{2}}{2}$
(D)
$\frac{4+5\sqrt{2}}{2}$
(E)
7

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도형 문제는 그림을 부르므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장섭니다. 모든 각을 135° 로 표시하여 팔각형을 그리면, 짧은 네 변이 정확히 45° 로 기웁니다. 이 기울기가 핵심입니다: 긴 네 변을 서로 만날 때까지 연장하면 팔각형을 정사각형 안에 가두고, 팔각형 바깥으로 튀어나오는 것은 오직 네 개의 작은 모서리 삼각형뿐입니다. 그래서 어색한 여덟 변 영역을 직접 재는 대신 도구 #16(관점 바꾸기)으로 봅니다: 팔각형 넓이 = 정사각형 넓이 - 네 모서리. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이미 아는 두 조각 — 정사각형의 넓이와 직각삼각형의 넓이 — 으로 일을 나눕니다.

1STEP 1

모든 각은 135도

팔각형 내각의 합 1080°를 여덟 등분하면 한 각은 135°이고, 짧은 변은 45°로 기웁니다.

((8-2) · 180°)/8 = 1080°/8 = 135°
2STEP 2

팔각형을 정사각형 안에 가두기

긴 네 변을 연장해 만나게 하면 정사각형이 닫히고, 남는 것은 모서리 삼각형 네 개뿐입니다.

[팔각형] = [정사각형] - 4 [모서리 삼각형]
3STEP 3

각 모서리 삼각형은 다리가 1/2인 45-45-90

짧은 변은 모서리 삼각형의 빗변이므로 2ℓ²=(√(2)/2)²=1/2이고, 다리는 ℓ=1/2입니다.

2ℓ²=(√(2)/2)²=1/2 → ℓ²=1/4 → ℓ=1/2
4STEP 4

정사각형 넓이와 모서리 하나의 넓이 구하기

정사각형의 한 변은 1/2+1+1/2=2이므로 넓이는 4이고, 모서리 삼각형 하나는 1/8입니다.

[정사각형]=2²=4, [모서리 삼각형]=1/2·1/2·1/2=1/8
5STEP 5

네 모서리 빼기

네 모서리의 합은 4·1/8=1/2이므로 팔각형의 넓이는 4-1/2=7/2, 곧 선택지 (A)입니다.

[팔각형]=4-4·1/8=4-1/2=7/2 → (A)
정답
7/2
둘러싸는 정사각형의 넓이는 4이고, 팔각형은 그 정사각형에서 작은 네 모서리를 깎아낸 것이므로 넓이는 4보다 조금 작아야 합니다 — 7/2=3.5가 바로 그렇게 되어 상식 검사를 통과합니다. 두 번째 확인: 팔각형을 좌표평면에 놓고 왼쪽 아래 꼭짓점을 (0,0)에 둔 뒤 변을 따라 걸으면 꼭짓점 (1,0),(1.5,0.5),(1.5,1.5),(1,2),(0,2),(-0.5,1.5),(-0.5,0.5)을 지납니다; 이 점들에 신발끈 공식을 적용하면 1/2 · 7 = 7/2이 나와 답이 독립적으로 확인됩니다.
💡핵심 정리

팔각형을 정사각형 안에 가둔 뒤 작은 모서리 삼각형 네 개를 빼세요: 4-1/2=7/2.

  • 모든 각은 135도
  • 팔각형을 정사각형 안에 가두기
  • 각 모서리 삼각형은 다리가 1/2인 45-45-90
  • 정사각형 넓이와 모서리 하나의 넓이 구하기
  • 네 모서리 빼기

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