AMC 10 · 2005 · #21

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

triangular-numbersdivisibility-rulesfactors convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: triangular-numbersdivisibility-rulesfactors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1부터 n까지의 자연수를 모두 더한 값을 생각하자. 이 합이 6n을 나머지 없이 나누는 양의 정수 n은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

"1부터 n까지의 합"을 한 값씩 일일이 확인하기는 번거로우므로 도구 #4 (변수 도입하기)를 앞세운다. 합을 닫힌 공식 (n(n+1))/2로 바꾸면 문제 전체가 n에 대한 하나의 식이 된다. 6n을 그 식으로 나누고 정리하면 지저분한 비율이 12/(n+1)로 확 줄어든다 — 이제 문제는 "12/(n+1)이 언제 자연수인가?"일 뿐이다. 이것은 약수 찾기로 바뀌므로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 12의 약수를 모두 나열하고, 도구 #3 (가능성 지우기)로 n ≥ 1 규칙을 깨는 값 하나를 버린다. 남는 것이 개수다.

1STEP 1

합을 공식으로 바꾸기

항을 하나씩 더하면 느리니 공식 1+2+…+n = $\frac{n(n+1)}{2}$ 을 쓴다. 첫 항과 끝 항을 짝지으면 각 짝의 합이 n+1이다.

1+2+3+…b+n = (n(n+1))/2

2STEP 2

6n을 합으로 나누기

"나머지 없이 나눈다"는 몫이 자연수라는 뜻이므로, 역수를 곱해 $6n \div \frac{n(n+1)}{2} = \frac{12n}{n(n+1)}$ 을 얻는다.

6n ÷ (n(n+1))/2 = 6n · 2/(n(n+1)) = 12n/(n(n+1))

3STEP 3

n을 약분해 진짜 조건 드러내기

n ≥ 1이라 n ≠ 0이므로 공통 인수 n을 약분하면 $\frac{12}{n+1}$ 이고, 이것이 자연수인 것은 n+1이 12의 약수일 때이다.

12n/(n(n+1)) = 12/(n+1) ⟹ (n+1) ∣ 12

4STEP 4

12의 약수 모두 나열하기

12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 각각에서 1을 빼면 n = 0, 1, 2, 3, 5, 11이 된다.

n+1 ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12} → n ∈ {0, 1, 2, 3, 5, 11}

5STEP 5

n = 0 버리고 세기

n은 양수여야 하므로 n = 0은 버린다. 남는 n = 1, 2, 3, 5, 11의 다섯 개가 답이다. (B)

n ∈ {1, 2, 3, 5, 11} → 5 개 → (B)

정답

목록의 양 끝값을 손으로 점검한다. n = 1: 합은 1, 6n = 6이고 1은 6을 나눈다. n = 11: 합은 (11 · 12)/2 = 66, 6n = 66이고 66은 66을 나눈다. n = 5: 합은 15, 6n = 30이고 15는 30을 나눈다. 이제 건너뛴 값이 실패하는지 확인하자, 예를 들어 n = 4: 합은 10, 6n = 24이고 24 ÷ 10 = 2.4는 정수가 아니다 — n+1 = 5가 12의 약수가 아니므로 올바르게 제외된다. 다섯 개의 생존자가 모두 맞으므로 5가 정답이다.

💡핵심 정리

합을 (n(n+1))/2로 바꾸면 문제 전체가 "n+1이 12의 약수여야 한다"로 줄어든다 — 그것들을 세면 끝이다.

합을 공식으로 바꾸기
6n을 합으로 나누기
n을 약분해 진짜 조건 드러내기
12의 약수 모두 나열하기
n = 0 버리고 세기

합을 공식으로 바꾸기

6n을 합으로 나누기

n을 약분해 진짜 조건 드러내기

12의 약수 모두 나열하기

n = 0 버리고 세기

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