AMC 10 · 2005 · #21
학년 7 arithmetic1+2+⋯+n 이 6n 을 나머지 없이 나누는 양의 정수 n 은 몇 개인가?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1$부터 $n$까지의 자연수를 모두 더한 값을 생각하자. 이 합이 $6n$을 나머지 없이 나누는 양의 정수 $n$은 몇 개인가?
주어진 것: 합은 $1+2+3+\dotsb+n$ 이다; 이 합을 $6n$과 비교한다; "나머지 없이 나눈다"는 것은 $6n$을 합으로 나누었을 때 나머지가 $0$이라는 뜻이다; $n$은 양의 정수 $1, 2, 3, \dotsc$ 를 훑는다; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $9$, (E) $11$
구하는 것: 합이 $6n$을 정확히 나누는 양의 정수 $n$의 개수
이해
문제 재정리: $1$부터 $n$까지의 자연수를 모두 더한 값을 생각하자. 이 합이 $6n$을 나머지 없이 나누는 양의 정수 $n$은 몇 개인가?
주어진 것: 합은 $1+2+3+\dotsb+n$ 이다; 이 합을 $6n$과 비교한다; "나머지 없이 나눈다"는 것은 $6n$을 합으로 나누었을 때 나머지가 $0$이라는 뜻이다; $n$은 양의 정수 $1, 2, 3, \dotsc$ 를 훑는다; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $9$, (E) $11$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
"$1$부터 $n$까지의 합"을 한 값씩 일일이 확인하기는 번거로우므로 도구 #4 (변수 도입하기)를 앞세운다. 합을 닫힌 공식 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 로 바꾸면 문제 전체가 $n$에 대한 하나의 식이 된다. $6n$을 그 식으로 나누고 정리하면 지저분한 비율이 $\tfrac{12}{n+1}$ 로 확 줄어든다 — 이제 문제는 "$\tfrac{12}{n+1}$ 이 언제 자연수인가?"일 뿐이다. 이것은 약수 찾기로 바뀌므로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 $12$의 약수를 모두 나열하고, 도구 #3 (가능성 지우기)로 $n \ge 1$ 규칙을 깨는 값 하나를 버린다. 남는 것이 개수다.
실행 — 정답: B
6.EE.B.6 단계 1 합을 공식으로 바꾸기
- $1+2+3+\dotsb+n$ 을 매번 더하면 느리므로, 이 합의 잘 알려진 지름길 공식을 쓴다: $1+2+\dotsb+n = \tfrac{n(n+1)}{2}$.
- (첫 항과 마지막 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항을 짝지으면 각 짝의 합은 $n+1$이고, 짝이 $\tfrac{n}{2}$개 있다.) 이제 합은 $n$에 대한 하나의 식이 된다.
💡 깔끔한 공식 하나가 점점 커지는 합 전체를 대신하므로, 항을 하나씩 더하는 대신 $n$을 직접 다룰 수 있다.
6.NS.A.1 단계 2 6n을 합으로 나누기
- "나머지 없이 나눈다"는 것은 몫 $6n \div \tfrac{n(n+1)}{2}$ 가 자연수라는 뜻이다.
- 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같으므로, $6n \div \tfrac{n(n+1)}{2} = 6n \cdot \tfrac{2}{n(n+1)} = \tfrac{12n}{n(n+1)}$ 이다.
💡 뒤집어 곱하기는 까다로운 "분수로 나누기"를 내가 정리할 수 있는 평범한 곱으로 바꾼다.
7.EE.A.1 단계 3 n을 약분해 진짜 조건 드러내기
- $\tfrac{12n}{n(n+1)}$ 의 분자와 분모 모두 인수 $n$을 가지고 있고, $n \ge 1$ 이므로 $n \ne 0$ 이다; 이를 약분하면 $\tfrac{12}{n+1}$ 이 된다.
- 원래의 합이 $6n$을 나머지 없이 나누는 것은 이 남은 분수 $\tfrac{12}{n+1}$ 이 자연수일 때이고, $\tfrac{12}{n+1}$ 이 자연수인 것은 $n+1$ 이 $12$의 약수일 때이다.
💡 공통 인수 $n$을 약분하면 문제가 $n+1$에 대한 단순한 나눗셈 문제로 줄어든다.
4.OA.B.4 단계 4 12의 약수 모두 나열하기
- $12$의 모든 양의 약수를 순서대로 적는다: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — 여섯 개다.
- 각각이 $n+1$의 가능한 값이므로, 각 값에서 $1$을 빼면 대응하는 $n$을 얻는다: $n+1 = 1,2,3,4,6,12$ 에서 $n = 0, 1, 2, 3, 5, 11$ 이 나온다.
💡 $12$의 각 약수가 $n$의 후보 하나씩을 주므로, 약수를 나열하면 후보를 나열하는 셈이다.
6.EE.B.5 단계 5 n = 0 버리고 세기
- 문제는 양의 정수를 요구하므로 $n = 0$ 은 허용되지 않아 버려진다; 즉 약수 $n+1 = 1$ 은 쓸 수 없다.
- 나머지 값은 모두 된다.
- 그러면 $n = 1, 2, 3, 5, 11$ — 다섯 개가 남는다.
- 따라서 답은 (B)이다.
💡 "$n$은 양수" 규칙을 깨는 값만 제거하고, 살아남은 것을 세면 답이 된다.
6.EE.B.6 $1+2+3+\dotsb+n$ 을 매번 더하면 느리므로, 이 합의 잘 알려진 지름길 공식을 쓴다: $1+2+\dotsb+n = \tfrac{n( 6.NS.A.1 "나머지 없이 나눈다"는 것은 몫 $6n \div \tfrac{n(n+1)}{2}$ 가 자연수라는 뜻이다. 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 7.EE.A.1 $\tfrac{12n}{n(n+1)}$ 의 분자와 분모 모두 인수 $n$을 가지고 있고, $n \ge 1$ 이므로 $n \ne 0$ 이다; 이를 4.OA.B.4 $12$의 모든 양의 약수를 순서대로 적는다: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — 여섯 개다. 각각이 $n+1$의 가능한 값이므로, 각 값에 6.EE.B.5 문제는 양의 정수를 요구하므로 $n = 0$ 은 허용되지 않아 버려진다; 즉 약수 $n+1 = 1$ 은 쓸 수 없다. 나머지 값은 모두 된다. 검토
합리성 확인: 목록의 양 끝값을 손으로 점검한다. $n = 1$: 합은 $1$, $6n = 6$ 이고 $1$은 $6$을 나눈다. $n = 11$: 합은 $\tfrac{11\cdot 12}{2} = 66$, $6n = 66$ 이고 $66$은 $66$을 나눈다. $n = 5$: 합은 $15$, $6n = 30$ 이고 $15$는 $30$을 나눈다. 이제 건너뛴 값이 실패하는지 확인하자, 예를 들어 $n = 4$: 합은 $10$, $6n = 24$ 이고 $24 \div 10 = 2.4$ 는 정수가 아니다 — $n+1 = 5$ 가 $12$의 약수가 아니므로 올바르게 제외된다. 다섯 개의 생존자가 모두 맞으므로 $5$가 정답이다.
대안 접근: 공식을 쓰지 않고 작은 $n$을 직접 대입하며 합이 $6n$을 넘어서는 지점을 살펴본다. $n = 1, 2, 3, \dotsc$ 에 대해 합 $T$와 $6n$을 계산하면: $n=1$은 $T=1 \mid 6$ (됨), $n=2$는 $T=3 \mid 12$ (됨), $n=3$은 $T=6 \mid 18$ (됨), $n=4$는 $T=10 \nmid 24$ (안 됨), $n=5$는 $T=15 \mid 30$ (됨), 그리고 $n \ge 6$ 부터는 $n+1$이 $12$의 큰 약수일 때를 빼고 합 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 이 $6n$을 넘어서는데, 그 예외는 $n=11$ ($T=66 \mid 66$) 에서만 다시 일어난다. 되는 경우를 모으면 같은 다섯 개 값, 선택지 (B)가 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.6Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (달리는 합 $1+2+\dotsb+n$ 을 변수 $n$에 대한 하나의 식 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 로 바꾸는 데 사용.)6.NS.A.1Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems ($6n$을 분수 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 로 뒤집어 곱하기로 나누어 $\tfrac{12n}{n(n+1)}$ 을 얻는 데 사용.)7.EE.A.1Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (공통 인수 $n$을 약분하여 $\tfrac{12n}{n(n+1)}$ 을 $\tfrac{12}{n+1}$ 로 줄이는 데 사용.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($12$의 모든 양의 약수를 나열하여 $n+1$의 허용된 값을 모두 찾는 데 사용.)6.EE.B.5Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($n \ge 1$ 을 만족하는 $n$ 값만 남기고 그 개수를 세는 데 사용.)
⭐ 합을 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 로 바꾸면 문제 전체가 "$n+1$ 이 $12$의 약수여야 한다"로 줄어든다 — 그것들을 세면 끝이다.
⭐ 합을 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 로 바꾸면 문제 전체가 "$n+1$ 이 $12$의 약수여야 한다"로 줄어든다 — 그것들을 세면 끝이다.
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