AMC 10 · 2005 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometryarea-trianglespythagorean-theorem convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

$\overline{AB}$ 를 어떤 원의 지름이라 하고, 점 $C$ 를 $\overline{AB}$ 위의 점으로 $2 \cdot AC = BC$ 를 만족한다고 하자. 점 $D$ 와 $E$ 를 원 위의 점으로 $\overline{DC} \perp \overline{AB}$ 이고 $\overline{DE}$ 가 또 다른 지름이 되도록 잡는다. $\triangle DCE$ 의 넓이와 $\triangle ABD$ 의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\overline{AB}$는 원의 지름이고, 점 $C$는 $\overline{AB}$ 위에 있으며 $2\cdot AC = BC$를 만족한다. 점 $D$와 $E$는 원 위의 점으로 $\overline{DC}\perp\overline{AB}$이고, $\overline{DE}$는 또 다른 지름이다. $\triangle DCE$의 넓이와 $\triangle ABD$의 넓이의 비를 구하여라.

주어진 것: $\overline{AB}$는 원의 지름이다; $C$는 $\overline{AB}$ 위에 있고 $2\cdot AC = BC$이므로 $AC:CB = 1:2$이다; $D$와 $E$는 원 위의 점이고, $\overline{DC}\perp\overline{AB}$이며, $\overline{DE}$는 지름이다; 선택지: (A) $\frac{1}{6}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{3}$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) $\frac{2}{3}$

구하는 것: 두 삼각형 넓이의 비 $\dfrac{[\triangle DCE]}{[\triangle ABD]}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

넓이의 비는 원의 크기에 영향을 받지 않으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 반지름을 $1$로 고정하고 그림 위에 좌표 격자를 씌운다. 그러면 도구 #1(그림 그리기)로 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 각 점을 좌표로 바꿀 수 있고, 두 삼각형은 모두 간단한 (밑변)$\times$(높이) 계산으로 줄어든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 세 개의 깔끔한 작은 문제로 나눈다 — 비를 이용해 $C$ 찾기, 원을 이용해 높이 $DC$ 찾기, $D$의 반대편으로 $E$ 찾기 — 그러면 각 넓이는 한 줄로 끝난다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 정확한 분수를 다섯 선택지와 맞춰본다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

반지름 고정하고 C 위치 찾기

두 넓이의 비는 도형 전체를 확대·축소해도 변하지 않으므로 반지름을 $1$, 지름 $AB=2$로 잡는다.
중심을 원점에 두면 $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$이다.
$2\cdot AC = BC$이므로 $C$는 $AB$를 $AC:CB = 1:2$로 나누고, 따라서 $AC$는 $AB$의 $\frac{1}{3}$이다: $AC = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}$.
$A=(-1,0)$에서 $B$ 쪽으로 $\frac{2}{3}$만큼 가면 $C=\left(-\frac{1}{3},\,0\right)$이다.

$$AC:CB=1:2\ \Rightarrow\ AC=\tfrac{1}{3}\cdot 2=\tfrac{2}{3},\quad C=\left(-\tfrac{1}{3},0\right)$$

💡 비율은 크기를 따지지 않으므로, 가장 깔끔한 반지름을 골라 위치를 축 위에서 바로 읽으면 된다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

원으로 높이 DC 찾기

$\overline{DC}\perp\overline{AB}$이므로 점 $D$는 $C$ 바로 위에 있고, 따라서 $y>0$인 어떤 값에 대해 $D=\left(-\frac{1}{3},\,y\right)$이다.
$D$는 원점을 중심으로 하는 반지름 $1$인 원 위에 있으므로 좌표는 $x^2+y^2=1$을 만족한다.
$x=-\frac{1}{3}$을 대입하면 $\frac{1}{9}+y^2=1$이고, $y^2=\frac{8}{9}$, $y=\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다.
그러므로 $D=\left(-\frac{1}{3},\,\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$이고 수직 선분 $DC$의 길이는 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

$$\left(-\tfrac{1}{3}\right)^2+y^2=1\ \Rightarrow\ y^2=\tfrac{8}{9}\ \Rightarrow\ DC=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}$$

💡 원 위의 점은 그 좌표와 반지름 사이에 피타고라스 관계를 만족한다.

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 3

D의 반대편 E 찾기

$\overline{DE}$는 지름이므로 $E$는 중심을 지나 $D$의 정반대편에 있는 원 위의 점이다.
한 점을 원점에 대해 대칭시키면 두 좌표의 부호가 모두 바뀌므로 $E=\left(\frac{1}{3},\,-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$이다.
$E$의 $x$좌표는 $\frac{1}{3}$인데 $C$(그리고 $D$)는 $x=-\frac{1}{3}$에 있으므로, 가로 방향으로 $E$는 $C$와 $D$를 지나는 수직선에서 $\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$만큼 떨어져 있다.

$$E=-D=\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\right),\quad \text{직선 }DC\text{까지의 가로 거리}=\tfrac{2}{3}$$

💡 지름의 두 끝은 중심에 대해 서로 거울상이므로, 하나는 다른 하나의 두 부호를 모두 뒤집은 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

삼각형 ABD의 넓이

$\triangle ABD$의 밑변으로 $\overline{AB}$를 잡으면, 이는 $x$축 위에 놓여 길이가 $2$이다.
나머지 꼭짓점 $D$의 밑변에 대한 높이는 그 $y$좌표인 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다.
$\text{넓이}=\frac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$를 쓰면 $[\triangle ABD]=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

$$[\triangle ABD]=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\tfrac{2\sqrt{2}}{3}=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}$$

💡 밑변을 축에 평평하게 놓으면, 꼭짓점의 높이는 그저 그 점이 얼마나 위에 있는지이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

삼각형 DCE의 넓이

$\triangle DCE$에서는 수직 선분 $\overline{DC}$를 밑변으로 쓰며, 그 길이는 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다.
나머지 꼭짓점 $E$의 이 수직 밑변에 대한 높이는 $E$에서 $D$와 $C$를 지나는 직선까지의 가로 거리, 즉 3단계에서 구한 $\frac{2}{3}$이다.
따라서 $[\triangle DCE]=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}$이다.

$$[\triangle DCE]=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2\sqrt{2}}{9}$$

💡 수직인 밑변에서는 먼 꼭짓점의 '높이'가 바로 그 점이 옆으로 얼마나 뻗었는지이다.

#3 가능성 지우기 6.NS.A.1 단계 6

나눠서 비 구하기

두 넓이를 나눈다: $\dfrac{[\triangle DCE]}{[\triangle ABD]}=\dfrac{2\sqrt{2}/9}{2\sqrt{2}/3}$.
공통 인수 $2\sqrt{2}$가 약분되어 $\dfrac{1/9}{1/3}=\dfrac{1}{9}\cdot 3=\dfrac{1}{3}$이 남는다.
선택지를 살펴보면 $\frac{1}{3}$은 $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ 중 어느 것도 아니므로 그것들은 지워지고 (C)와 일치한다.
답은 $\frac{1}{3}$, 선택지 (C)이다.

$$\dfrac{2\sqrt{2}/9}{2\sqrt{2}/3}=\dfrac{1/9}{1/3}=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 지저분한 $2\sqrt{2}$가 두 넓이에 모두 들어 있어 약분되고, 깔끔한 분모만 비를 결정한다.

[1] #4 6.RP.A.3 두 넓이의 비는 도형 전체를 확대·축소해도 변하지 않으므로 반지름을 $1$, 지름 $AB=2$로 잡는다. 중심을 원점에 두면 $A=(-1,0)$

[2] #1 8.G.B.7 $\overline{DC}\perp\overline{AB}$이므로 점 $D$는 $C$ 바로 위에 있고, 따라서 $y>0$인 어떤 값에 대해 $D

[3] #1 6.NS.C.6 $\overline{DE}$는 지름이므로 $E$는 중심을 지나 $D$의 정반대편에 있는 원 위의 점이다. 한 점을 원점에 대해 대칭시키면 두 좌

[4] #7 6.G.A.1 $\triangle ABD$의 밑변으로 $\overline{AB}$를 잡으면, 이는 $x$축 위에 놓여 길이가 $2$이다. 나머지 꼭짓점 $D$

[5] #7 6.G.A.1 $\triangle DCE$에서는 수직 선분 $\overline{DC}$를 밑변으로 쓰며, 그 길이는 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$이다

[6] #3 6.NS.A.1 두 넓이를 나눈다: $\dfrac{[\triangle DCE]}{[\triangle ABD]}=\dfrac{2\sqrt{2}/9}{2\sqrt{

검토

합리성 확인: 공통 인수 $2\sqrt{2}$가 약분되는 것은 설정이 옳다는 강한 신호이다: $\frac{1}{3}$ 같은 깔끔한 비는 잘 만들어진 객관식 정답이 보여야 할 바로 그 모습이다. 두 번째 확인은 공통 선분 $DC$에서 온다: 두 삼각형 모두 높이가 $DC$라고 볼 수 있으므로, 그 비는 대응하는 밑변의 비이다. $\triangle ABD$의 밑변은 $AB=2$이고, $\triangle DCE$에서 해당하는 폭은 $E$의 가로 도달 거리 $\frac{2}{3}$이므로 $\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}$이 되어 같은 답이며, (C)와 일관된다.

대안 접근: 좌표를 전혀 쓰지 않는 방법도 있다. $\overline{AB}$가 지름이므로 $\angle ADB=90^\circ$이고, 따라서 $DC$는 직각삼각형 $ADB$의 빗변에 내린 높이여서 $DC^2=AC\cdot CB$이다. $AC=\frac{2}{3}$, $CB=\frac{4}{3}$(지름 $2$일 때)이므로 $DC=\frac{2\sqrt2}{3}$이다. $\triangle ABD$와 $\triangle DCE$는 높이 $DC$를 공유하므로, 넓이의 비는 $DC$에 수직으로 잰 밑변의 비와 같다: $\triangle ABD$에서는 지름 $AB=2$, $\triangle DCE$에서는 가로 폭 $\frac{2}{3}$이다. 이는 $\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}$이 되어 좌표 하나 없이 (C)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제 해결하기 ($2\cdot AC = BC$를 $AC:CB = 1:2$로 바꿔 $C$를 $AB$의 $\frac{1}{3}$ 지점에 놓기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 미지의 변의 길이 구하기 (반지름 $1$인 원 위의 점에 대해 $x^2+y^2=1$을 사용하여 높이 $DC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 구하기.)
6.NS.C.6 유리수를 좌표평면 위의 점으로 이해하기(대칭 포함) ($E$를 $D$의 원점 대칭점으로 찾아 두 좌표의 부호를 모두 뒤집기.)
6.G.A.1 합성과 분할로 삼각형과 다각형의 넓이 구하기 (각 삼각형의 넓이를 $\frac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$로 계산하기.)
6.NS.A.1 분수의 나눗셈의 몫을 해석하고 계산하기 (두 넓이 $\frac{2\sqrt{2}}{9}\div\frac{2\sqrt{2}}{3}$을 나눠 비 $\frac{1}{3}$ 구하기.)

⭐ 반지름 $1$인 격자 위에 그림을 놓고 모든 점을 읽어내면 두 삼각형이 모두 (밑변)$\times$(높이)가 되고, 지저분한 $\sqrt{2}$는 약분되어 비는 그냥 $\frac{1}{3}$이다.