AMC 10 · 2005 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometryarea-trianglespythagorean-theorem convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

AB는 원의 지름이고, 점 C는 AB 위에 있으며 2 · AC = BC를 만족한다. 점 D와 E는 원 위의 점으로 DC ⊥ AB이고, DE는 또 다른 지름이다. △ DCE의 넓이와 △ ABD의 넓이의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

넓이의 비는 원의 크기에 영향을 받지 않으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 반지름을 1로 고정하고 그림 위에 좌표 격자를 씌운다. 그러면 도구 #1(그림 그리기)로 A, B, C, D, E의 각 점을 좌표로 바꿀 수 있고, 두 삼각형은 모두 간단한 (밑변)×(높이) 계산으로 줄어든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 세 개의 깔끔한 작은 문제로 나눈다 — 비를 이용해 C 찾기, 원을 이용해 높이 DC 찾기, D의 반대편으로 E 찾기 — 그러면 각 넓이는 한 줄로 끝난다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 정확한 분수를 다섯 선택지와 맞춰본다.

1STEP 1

반지름 고정하고 C 위치 찾기

확대·축소해도 비는 그대로이니 반지름을 1로 잡아 A=(-1,0), B=(1,0)입니다. AC:CB = 1:2이므로 C=(-1/3, 0)입니다.

AC:CB=1:2 → AC=1/3 · 2=2/3, C=(-1/3,0)

2STEP 2

원으로 높이 DC 찾기

D는 C 바로 위에 있으므로 x²+y²=1에 x=-1/3을 넣으면 y²=8/9, 즉 DC=2√(2)/3입니다.

(-1/3)²+y²=1 → y²=8/9 → DC=2√(2)/3

3STEP 3

D의 반대편 E 찾기

DE는 지름이니 E는 D의 원점 대칭점 (1/3, -2√(2)/3)이고, 직선 DC에서 가로로 2/3 떨어져 있습니다.

E=-D=(1/3,-2√(2)/3), 직선 DC까지의 가로 거리=2/3

4STEP 4

삼각형 ABD의 넓이

밑변 AB의 길이는 2, D의 높이는 y좌표 2√(2)/3이므로 [△ ABD]=2√(2)/3입니다.

[△ ABD]=1/2 · 2·2√(2)/3=2√(2)/3

5STEP 5

삼각형 DCE의 넓이

밑변 DC는 2√(2)/3, 높이는 E의 가로 거리 2/3이므로 [△ DCE]=2√(2)/9입니다.

[△ DCE]=1/2·2√(2)/3·2/3=2√(2)/9

6STEP 6

나눠서 비 구하기

나누면 공통 인수 2√(2)가 약분되어 2√(2)/9 ÷ 2√(2)/3 = 1/3, 곧 선택지 (C)입니다.

2√(2)/9/2√(2)/3=1/9/1/3=1/3 → (C)

정답

1/3

공통 인수 2√(2)가 약분되는 것은 설정이 옳다는 강한 신호이다: 1/3 같은 깔끔한 비는 잘 만들어진 객관식 정답이 보여야 할 바로 그 모습이다. 두 번째 확인은 공통 선분 DC에서 온다: 두 삼각형 모두 높이가 DC라고 볼 수 있으므로, 그 비는 대응하는 밑변의 비이다. △ ABD의 밑변은 AB=2이고, △ DCE에서 해당하는 폭은 E의 가로 도달 거리 2/3이므로 2/3/2=1/3이 되어 같은 답이며, (C)와 일관된다.

💡핵심 정리

반지름 1인 격자 위에 그림을 놓고 모든 점을 읽어내면 두 삼각형이 모두 (밑변)×(높이)가 되고, 지저분한 √(2)는 약분되어 비는 그냥 1/3이다.

반지름 고정하고 C 위치 찾기
원으로 높이 DC 찾기
D의 반대편 E 찾기
삼각형 ABD의 넓이
삼각형 DCE의 넓이
나눠서 비 구하기