AMC 10 · 2005 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-rectangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectanglesexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 직사각형은 세로보다 가로가 두 배 길고, 그 대각선의 길이는 x입니다. 이 직사각형의 넓이를 x에 대한 식으로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}x^2$

(B)

$\frac{2}{5}x^2$

(C)

$\frac{1}{2}x^2$

(D)

$x^2$

(E)

$\frac{3}{2}x^2$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

변의 길이가 숫자로 주어지지 않고 비와 대각선만 주어졌으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 변을 이름 붙이면 두 변과 넓이를 그 하나의 미지수로 쓸 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 피타고라스 정리가 왜 성립하는지 보여 줍니다: 대각선이 직사각형을 두 변을 다리로 하는 직각삼각형으로 나눕니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 지름길을 알아챕니다 — 넓이는 2w² 이므로 w 자체가 아니라 w²의 값만 있으면 되고, 피타고라스 식이 w²을 곧바로 내어 줍니다.

1STEP 1

두 변에 이름 붙이기

짧은 변을 w라 하면 긴 변은 2w입니다. 모든 길이가 미지수 하나로 표현됩니다.

짧은 변=w, 긴 변=2w

2STEP 2

대각선은 빗변

대각선은 직사각형을 다리가 w와 2w, 빗변이 x인 직각삼각형으로 나눕니다. 피타고라스 정리로 x² = w² + (2w)²이 됩니다.

x² = w² + (2w)²

3STEP 3

w 가 아니라 w²을 구하기

(2w)² = 4w²이므로 x² = 5w²이고, 양변을 5로 나누면 w² = x²/5입니다. w 자체는 필요 없습니다.

x² = 5w² → w² = x²/5

4STEP 4

넓이 구하기

넓이는 2w × w = 2w²이고, 여기에 w² = x²/5를 대입하면 2/5x², 즉 (B)입니다.

A = 2w² = 2·x²/5 = 2/5x² → (B)

정답

2/5x²

구체적인 수로 확인해 봅니다: 짧은 변을 1, 긴 변을 2로 두면 대각선은 x=√(1²+2²)=√(5) 이므로 x²=5이고, 실제 넓이는 1 × 2 = 2입니다. 선택지 (B)에 x²=5를 넣으면 2/5 · 5 = 2로 정확히 일치합니다. 다른 선택지는 어긋납니다: (A)는 1.25, (C)는 2.5, (D)는 5, (E)는 7.5. 넓이는 길이의 제곱 단위를 가지고 x 는 길이이므로 넓이는 상수 곱하기 x² 이어야 하는데 — 이는 모든 선택지가 만족하지만 — 올바른 상수를 내는 것은 (B)뿐입니다.

💡핵심 정리

도형이 대각선만으로 설명될 때는 한 변을 변수로 이름 붙이고 피타고라스 정리를 쓰세요 — 변 자체를 구하지 않고도 w² 에서 넓이에 이르는 경우가 많습니다.

두 변에 이름 붙이기
대각선은 빗변
w 가 아니라 w²을 구하기
넓이 구하기

두 변에 이름 붙이기

대각선은 빗변

w 가 아니라 w²을 구하기

넓이 구하기

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