AMC 10 · 2005 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-rectangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectanglesexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

대각선의 길이가 $x$ 인 어떤 직사각형은 가로가 세로의 두 배이다. 이 직사각형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}x^2$

(B)

$\frac{2}{5}x^2$

(C)

$\frac{1}{2}x^2$

(D)

$x^2$

(E)

$\frac{3}{2}x^2$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 직사각형은 세로보다 가로가 두 배 길고, 그 대각선의 길이는 $x$ 입니다. 이 직사각형의 넓이를 $x$ 에 대한 식으로 구하세요.

주어진 것: 직사각형의 긴 변은 짧은 변의 두 배; 대각선의 길이는 $x$; 선택지: (A) $\frac{1}{4}x^2$, (B) $\frac{2}{5}x^2$, (C) $\frac{1}{2}x^2$, (D) $x^2$, (E) $\frac{3}{2}x^2$

구하는 것: 직사각형의 넓이를 $x$ 에 대한 식으로 나타낸 것

이해

문제 재정리: 어떤 직사각형은 세로보다 가로가 두 배 길고, 그 대각선의 길이는 $x$ 입니다. 이 직사각형의 넓이를 $x$ 에 대한 식으로 구하세요.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

변의 길이가 숫자로 주어지지 않고 비와 대각선만 주어졌으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 변을 이름 붙이면 두 변과 넓이를 그 하나의 미지수로 쓸 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 피타고라스 정리가 왜 성립하는지 보여 줍니다: 대각선이 직사각형을 두 변을 다리로 하는 직각삼각형으로 나눕니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 지름길을 알아챕니다 — 넓이는 $2w^2$ 이므로 $w$ 자체가 아니라 $w^2$ 의 값만 있으면 되고, 피타고라스 식이 $w^2$ 을 곧바로 내어 줍니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

두 변에 이름 붙이기

짧은 변을 $w$ 라고 합시다.
직사각형은 세로보다 가로가 두 배 길므로 긴 변은 $2w$ 입니다.
이제 문제의 모든 길이를 하나의 미지수 $w$ 로 쓸 수 있습니다.

$$\text{짧은 변}=w,\quad \text{긴 변}=2w$$

💡 짧은 변을 하나의 변수로 이름 붙이면 두 변과 넓이 모두 그 하나의 미지수에서 자라납니다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

대각선은 빗변

직사각형과 그 대각선을 그립니다.
대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나누고, 그중 하나는 다리가 $w$(짧은 변)와 $2w$(긴 변)이며 대각선 $x$ 가 빗변입니다.
피타고라스 정리에 의해 빗변의 제곱은 두 다리의 제곱의 합과 같습니다.

$$x^2 = w^2 + (2w)^2$$

💡 직사각형의 대각선은 언제나 두 변과 직각삼각형을 이루므로, 피타고라스 정리가 대각선을 두 변과 묶어 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 3

$w$ 가 아니라 $w^2$ 을 구하기

오른쪽을 정리합니다: $(2w)^2 = 4w^2$ 이므로 $x^2 = w^2 + 4w^2 = 5w^2$ 입니다.
양변을 $5$ 로 나누면 $w^2 = \frac{x^2}{5}$ 입니다.
$w$ 그 자체는 필요 없고, 넓이 계산에 필요한 것은 오직 $w^2$ 의 값이라는 점에 주목하세요.

$$x^2 = 5w^2 \;\Rightarrow\; w^2 = \frac{x^2}{5}$$

💡 넓이는 $w^2$ 에 달려 있으므로 식에서 $w^2$ 만 얻으면 충분합니다 — 제곱근은 필요 없습니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 4

넓이 구하기

직사각형의 넓이는 긴 변 곱하기 짧은 변입니다: $2w \times w = 2w^2$.
여기에 $w^2 = \frac{x^2}{5}$ 을 대입하면 넓이는 $2 \cdot \frac{x^2}{5} = \frac{2}{5}x^2$ 입니다.
따라서 넓이는 $\frac{2}{5}x^2$, 선택지 (B)입니다.

$$A = 2w^2 = 2\cdot\frac{x^2}{5} = \frac{2}{5}x^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $w^2$ 을 알고 나면 넓이 식 $2w^2$ 이 곧바로 $x^2$ 에 대한 식으로 바뀝니다.

[1] #4 6.EE.B.6 짧은 변을 $w$ 라고 합시다. 직사각형은 세로보다 가로가 두 배 길므로 긴 변은 $2w$ 입니다. 이제 문제의 모든 길이를 하나의 미지수 $w

[2] #1 8.G.B.7 직사각형과 그 대각선을 그립니다. 대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나누고, 그중 하나는 다리가 $w$(짧은 변)와 $2w$(긴 변)이

[3] #7 6.EE.A.2 오른쪽을 정리합니다: $(2w)^2 = 4w^2$ 이므로 $x^2 = w^2 + 4w^2 = 5w^2$ 입니다. 양변을 $5$ 로 나누면 $w^

[4] #4 6.EE.A.2 직사각형의 넓이는 긴 변 곱하기 짧은 변입니다: $2w \times w = 2w^2$. 여기에 $w^2 = \frac{x^2}{5}$ 을 대입하

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 확인해 봅니다: 짧은 변을 $1$, 긴 변을 $2$ 로 두면 대각선은 $x=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ 이므로 $x^2=5$ 이고, 실제 넓이는 $1\times 2 = 2$ 입니다. 선택지 (B)에 $x^2=5$ 를 넣으면 $\frac{2}{5}\cdot 5 = 2$ 로 정확히 일치합니다. 다른 선택지는 어긋납니다: (A)는 $1.25$, (C)는 $2.5$, (D)는 $5$, (E)는 $7.5$. 넓이는 길이의 제곱 단위를 가지고 $x$ 는 길이이므로 넓이는 상수 곱하기 $x^2$ 이어야 하는데 — 이는 모든 선택지가 만족하지만 — 올바른 상수를 내는 것은 (B)뿐입니다.

대안 접근: 대수 계산을 건너뛰고 처음부터 수를 대입합니다: 짧은 변 $1$, 긴 변 $2$ 로 두면 $x^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ 이고 넓이는 $2$ 입니다. 그런 다음 $x^2 = 5$ 일 때 $2$ 가 되는 선택지가 무엇인지 물으면 됩니다. $\frac{2}{5}x^2 = \frac{2}{5}\cdot 5 = 2$ 만 성립하므로 곧장 (B)를 가리킵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 문자로 수를 나타내고 문제를 해결하는 식을 쓴다 (짧은 변을 $w$ 로 이름 붙이고 긴 변을 $2w$ 로 써서, 두 변과 넓이를 하나의 미지수로 나타내는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 모르는 변의 길이를 구한다 (대각선 $x$ 를, 그것이 만드는 직각삼각형을 통해 두 변과 연결하는 데 사용: $x^2 = w^2 + (2w)^2$.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 ($(2w)^2=4w^2$ 을 정리해 $x^2=5w^2$ 에 이르고, $w^2=\frac{x^2}{5}$ 을 구한 뒤 넓이 $2w^2$ 에 대입해 $\frac{2}{5}x^2$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 도형이 대각선만으로 설명될 때는 한 변을 변수로 이름 붙이고 피타고라스 정리를 쓰세요 — 변 자체를 구하지 않고도 $w^2$ 에서 넓이에 이르는 경우가 많습니다.