AMC 10 · 2005 · #7

학년 7 rate-ratio
유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed
ratelinear-equations-one-varratio-proportion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rateratio-proportionfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 집은 13마일 떨어져 있습니다. 한 사람(Josh)이 먼저 상대의 집을 향해 자전거를 타기 시작하고, 조금 뒤에 다른 사람(Mike)이 Josh의 집을 향해 출발합니다. 두 사람이 만났을 때 Josh는 Mike보다 두 배 오래 탔고 속력은 Mike의 5분의 4였습니다. 만나는 순간 Mike가 몇 마일을 탔는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 문제는 Mike의 속력, Mike의 시간, 그리고 두 거리라는 세 가지 미지수를 숨긴 것처럼 보이지만, 잘 고른 하나의 변수가 모든 것을 무너뜨립니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 Mike가 탄 거리를 m이라 부르면, '두 배의 시간'과 '4/5의 속력'이라는 두 조건이 속력이나 시간을 따로 알 필요 없이 Josh의 거리를 m에 묶어 줍니다. 그 묶음을 정당하게 만들어 주는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)입니다. 거리 = 속력 × 시간이므로, 시간 배수 2와 속력 배수 4/5가 거리 배수 8/5로 곱해집니다. 그러면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '두 거리의 합은 13'이라는 말을 m에 관한 한 줄 방정식으로 바꿔 줍니다.

1STEP 1

Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기

Mike가 탄 거리를 m마일이라 합시다. 거리 = 속력 × 시간이므로, Mike의 속력 r, 시간 t로 m = r t입니다.

m = r t (Mike: 속력 r, 시간 t)
2STEP 2

Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기

Josh는 2t 동안 4/5r로 타므로 거리는 8/5 rt, 즉 8/5m입니다. r과 t는 곱으로만 남습니다.

Josh = (4/5r)(2t) = 8/5 r t = 8/5m
3STEP 3

두 거리를 더해 13마일 간격 메우기

정면으로 만나므로 두 거리의 합이 13마일입니다. m + 8/5m = 13/5m = 13이 됩니다.

m + 8/5m = 5/5m + 8/5m = 13/5m = 13
4STEP 4

Mike의 거리 풀기

양변에 5/13을 곱하면 m = 5입니다. Josh는 8마일이고 5 + 8 = 13이므로 답은 (B)입니다.

m = 13 · 5/13 = 5 → (B)
정답
5
Mike는 더 빠르고 더 짧게 타며, Josh는 더 느리지만 훨씬 오래 탑니다. 그래서 Josh가 13마일 중 더 큰 몫을 차지해야 합니다. 우리 답은 Mike 5마일, Josh 8마일로, 실제로 Josh의 몫이 더 크고 합이 정확히 13입니다. Mike의 5마일은 13의 절반보다 작은데, 이는 '두 배 시간에 4/5 속력'이라는 불리함 때문에 Josh가 더 멀리 간다는 사실과 맞습니다. 헷갈리기 쉬운 오답은 8인데, 이는 Mike가 아니라 Josh의 거리입니다.
💡핵심 정리

구하려는 거리에 이름을 붙이고, 거리 = 속력 × 시간으로 '두 배 시간에 4/5 속력'을 하나의 수(8/5)로 바꾸면, 정면으로 만나 합이 13마일이라는 조건이 단 한 단계로 풀립니다.

  • Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기
  • Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기
  • 두 거리를 더해 13마일 간격 메우기
  • Mike의 거리 풀기

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