AMC 10 · 2005 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-rectangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 정사각형 $ABCD$ 의 한 변 $AB$ 의 길이는 $\sqrt{50}$ 이고, $E$ 는 $B$ 와 $H$ 사이에 있으며, $BE = 1$ 입니다. 안쪽 정사각형 $EFGH$ 의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이는 $\sqrt{50}$이다. 안쪽으로 합동인 직각삼각형 네 개가 접혀 들어가면서 가운데에 기울어진 작은 정사각형 $EFGH$가 남는다. 점 $E$는 선분 $BH$ 위에 있고 $BE = 1$이다. 안쪽 정사각형 $EFGH$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 바깥 정사각형 $ABCD$의 한 변 $AB = \sqrt{50}$; 네 모서리의 직각삼각형은 서로 합동이다 (그림은 $90^\circ$ 회전 대칭을 가진다); $E$는 $B$와 $H$ 사이에 있고 $BE = 1$; 선택지: (A) $25$, (B) $32$, (C) $36$, (D) $40$, (E) $42$

구하는 것: 안쪽 정사각형 $EFGH$의 한 변의 길이; 안쪽 정사각형 $EFGH$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

안쪽 정사각형의 한 변이 바로 주어지지 않으므로, 그림을 잴 수 있는 조각으로 나눈다. 도구 #1은 바깥 정사각형이 사실 안쪽 정사각형과 합동인 직각삼각형 네 개로 이루어져 있고, 각 바깥 변 $\sqrt{50}$이 삼각형의 빗변이며 짧은 변이 $BE=1$임을 보여 준다. 그다음 도구 #7이 문제를 두 개의 쉬운 작은 문제로 나눈다. 먼저 피타고라스 정리로 삼각형의 긴 변을 구하고, 그 긴 변이 안쪽 정사각형의 한 변에 짧은 변 하나를 더한 길이임을 알아챈다. 도구 #4는 긴 변에 이름을 붙여 $1^2 + b^2 = 50$을 쓰게 해 준다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

그림 쪼개기

모서리 삼각형 하나, 예를 들어 $\triangle BEC$를 보자.
이 삼각형은 $E$에서 직각을 이루고, 빗변은 바깥 변 전체 $BC = \sqrt{50}$이며, 짧은 변은 $BE = 1$이다.
네 삼각형이 합동이므로 모든 짧은 변은 $1$이고, 모든 바깥 변은 길이 $\sqrt{50}$의 빗변이다.

$$BC = \sqrt{50}, \quad BE = 1, \quad \angle BEC = 90^\circ$$

💡 큰 정사각형은 안쪽 정사각형의 각 변에 똑같은 직각삼각형 네 개를 붙인 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

긴 변 구하기

삼각형의 긴 변을 $b = EC$라 하자.
직각삼각형 $BEC$는 두 변이 $1$과 $b$, 빗변이 $\sqrt{50}$이므로 피타고라스 정리에 의해 $1^2 + b^2 = (\sqrt{50})^2$이다.
$b$에 대해 풀고 제곱근을 취한다.

$$1^2 + b^2 = 50 \;\Rightarrow\; b^2 = 49 \;\Rightarrow\; b = \sqrt{49} = 7$$

💡 빗변과 한 변을 알면 나머지 한 변이 정확히 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

안쪽 정사각형 변 구하기

긴 변 $EC = 7$은 $C$에서 나온 선분을 따라 놓여 있고, 안쪽 정사각형의 꼭짓점 $F$에 의해 두 부분으로 나뉜다.
즉 안쪽 정사각형의 한 변 $EF$와 나머지 조각 $FC$이다.
이 조각 $FC$는 이웃한 합동 삼각형의 짧은 변이므로 $FC = 1$이다.
빼서 $EFGH$의 한 변을 얻는다.

$$EF = EC - FC = 7 - 1 = 6$$

💡 각 긴 변은 안쪽 정사각형보다 정확히 짧은 변 하나만큼 더 길므로, 안쪽 변은 두 변의 차이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

넓이 계산하기

안쪽 정사각형의 넓이는 한 변을 제곱한 값이다.

$$[EFGH] = 6^2 = 36 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 변이 $6$이면 넓이는 $36$이고, 이는 선택지 (C)이다.

[1] #1 6.G.A.1 모서리 삼각형 하나, 예를 들어 $\triangle BEC$를 보자. 이 삼각형은 $E$에서 직각을 이루고, 빗변은 바깥 변 전체 $BC = \

[2] #4 8.G.B.7 삼각형의 긴 변을 $b = EC$라 하자. 직각삼각형 $BEC$는 두 변이 $1$과 $b$, 빗변이 $\sqrt{50}$이므로 피타고라스 정리에

[3] #7 6.G.A.1 긴 변 $EC = 7$은 $C$에서 나온 선분을 따라 놓여 있고, 안쪽 정사각형의 꼭짓점 $F$에 의해 두 부분으로 나뉜다. 즉 안쪽 정사각형의

[4] #7 8.EE.A.2 안쪽 정사각형의 넓이는 한 변을 제곱한 값이다.

검토

합리성 확인: 조각들을 다시 더해 보자. 두 변이 $1$과 $7$인 직각삼각형 네 개의 넓이 합은 $4 \cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 7 = 14$이고, 안쪽 정사각형의 넓이는 $36$이므로 $14 + 36 = 50$이다. 이는 바깥 정사각형의 넓이 $(\sqrt{50})^2 = 50$과 정확히 같다. 모두 들어맞으므로 $36$ (C)이 맞다. 선택지 $25$ (A)는 짧은 변을 빼는 것을 잊어 ($7-1$을 $5$로 착각) 안쪽 변을 제곱한 값이고, $42$ (E)는 깔끔한 유도가 없는 함정이다.

대안 접근: 안쪽 변을 아예 구하지 않는 방법 (도구 #16, 여집합 세기): 안쪽 정사각형은 바깥 정사각형에서 네 모서리 삼각형을 뺀 나머지이다. 바깥 넓이 $= 50$; 네 삼각형 $= 4\cdot\tfrac12\cdot1\cdot7 = 14$; 따라서 안쪽 넓이 $= 50 - 14 = 36$. 한 변을 구하는 대신 뺄셈으로 같은 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (빗변 $\sqrt{50}$과 짧은 변 $1$로부터 삼각형의 긴 변을 구함: $1^2 + b^2 = 50$에서 $b = 7$.)
6.G.A.1 Find the area of polygons by composing into rectangles or decomposing into triangles (바깥 정사각형을 안쪽 정사각형과 합동인 직각삼각형 네 개로 나누고, 안쪽 변을 긴 변에서 짧은 변을 뺀 값으로 읽음.)
8.EE.A.2 Use square root symbols and evaluate square roots of small perfect squares (긴 변을 위해 $\sqrt{49} = 7$을 계산하고, 넓이를 위해 한 변 $6^2 = 36$을 제곱함.)

⭐ 큰 정사각형을 안쪽 정사각형과 똑같은 직각삼각형 네 개로 나누고, 피타고라스 정리로 긴 변을 구하면, 안쪽 변은 긴 변에서 짧은 변을 뺀 값이다.