AMC 10 · 2005 · #8
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
안쪽 정사각형의 한 변이 바로 주어지지 않으므로, 그림을 잴 수 있는 조각으로 나눈다. 도구 #1은 바깥 정사각형이 사실 안쪽 정사각형과 합동인 직각삼각형 네 개로 이루어져 있고, 각 바깥 변 √(50)이 삼각형의 빗변이며 짧은 변이 BE=1임을 보여 준다. 그다음 도구 #7이 문제를 두 개의 쉬운 작은 문제로 나눈다. 먼저 피타고라스 정리로 삼각형의 긴 변을 구하고, 그 긴 변이 안쪽 정사각형의 한 변에 짧은 변 하나를 더한 길이임을 알아챈다. 도구 #4는 긴 변에 이름을 붙여 1² + b² = 50을 쓰게 해 준다.
그림 쪼개기
네 모서리 삼각형은 합동이므로, △ BEC에서 빗변은 BC = √(50)이고 짧은 변은 BE = 1이다.
큰 정사각형은 안쪽 정사각형의 각 변에 똑같은 직각삼각형 네 개를 붙인 것일 뿐이다.
큰 정사각형은 안쪽 정사각형에 똑같은 직각삼각형 넷을 변에 붙인 것일 뿐이다.
▸ 왜?
그 도형은 그 조각들을 모은 것 그대로이므로, 넓이가 남김없이 더해진다.
▸ 왜?
그림을 4분의 1 바퀴 돌리면 한 삼각형이 늘어남 없이 다음 삼각형 위로 옮겨지므로, 넷이 모두 같다.
긴 변 구하기
긴 변을 b = EC라 하자. 피타고라스 정리로 1² + b² = 50, 즉 b² = 49이므로 긴 변은 EC = 7이다.
빗변과 한 변을 알면 나머지 한 변이 정확히 정해진다.
8.G.B.7Introduce A Variable안쪽 정사각형 변 구하기
꼭짓점 F가 EC를 EF와 FC로 나누고 FC = 1은 이웃 삼각형의 짧은 변이므로, 안쪽 변은 EF = 6이다.
각 긴 변은 안쪽 정사각형보다 정확히 짧은 변 하나만큼 더 길므로, 안쪽 변은 두 변의 차이다.
6.G.A.1Identify Subproblems넓이 계산하기
안쪽 변을 제곱하면 EFGH의 넓이는 6² = 36, 즉 (C)이다.
한 변이 6이면 넓이는 36이고, 이는 선택지 (C)이다.
8.EE.A.2Identify Subproblems큰 정사각형을 안쪽 정사각형과 똑같은 직각삼각형 네 개로 나누고, 피타고라스 정리로 긴 변을 구하면, 안쪽 변은 긴 변에서 짧은 변을 뺀 값이다.
- 그림 쪼개기
- 긴 변 구하기
- 안쪽 정사각형 변 구하기
- 넓이 계산하기
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