AMC 10 · 2005 · #9

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

probability-basiccombinations-basic systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

타일 세 개에는 $X$ 가 표시되어 있고, 다른 두 개의 타일에는 $O$ 가 표시되어 있습니다. 이 다섯 개의 타일을 한 줄로 무작위로 배열합니다. 배열이 $XOXOX$ 로 읽힐 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{10}$

(C)

$\frac{1}{6}$

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{1}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타일 세 개에는 $X$가, 두 개에는 $O$가 적혀 있습니다. 다섯 개를 한 줄로 무작위로 섞어 놓습니다. 그 줄이 정확히 $XOXOX$로 나올 확률을 구하세요.

주어진 것: 타일은 다섯 개이고, 세 개는 $X$, 두 개는 $O$입니다; 타일을 한 줄로 무작위로 놓으며, 모든 순서가 똑같이 나올 수 있습니다; 같은 글자의 타일끼리는 서로 구별되지 않습니다; 선택지: (A) $\frac{1}{12}$, (B) $\frac{1}{10}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{1}{4}$, (E) $\frac{1}{3}$

구하는 것: 무작위로 놓은 줄이 $XOXOX$로 읽힐 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 확률로 포장된 "몇 가지 방법" 세는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 핵심 엔진입니다. 다섯 자리 중 어느 두 자리에 $O$ 타일을 놓을지 정하면 나머지는 모두 $X$로 채워져 한 줄이 완전히 결정되므로, 다섯 자리 중 두 자리에 $O$를 놓는 경우의 수를 세면 모든 줄을 세는 것과 같습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 확률에 필요한 두 조각, 즉 전체 표본공간의 크기와 유리한 줄의 수로 일을 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리합니다. 세어 보면 정확한 분수 하나가 나오고, 그에 맞는 선택지는 하나뿐입니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

가능한 모든 줄 세기

한 줄은 $O$ 타일 두 개가 어디에 놓이는지로 완전히 정해집니다.
나머지 자리는 모두 $X$가 되어야 하기 때문입니다.
그러므로 줄을 세는 것은 다섯 자리 중 두 자리를 $O$ 자리로 고르는 경우의 수를 세는 것과 같습니다.
이는 조합 $\binom{5}{2}$이고, $\frac{5\times4}{2\times1}=10$입니다.
따라서 똑같이 나올 수 있는 줄은 모두 $10$가지입니다.

$$\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10 \text{ 가지의 줄}$$

💡 $O$ 두 자리를 정하면 줄 전체가 정해지므로, 줄을 세는 것은 다섯 자리 중 두 자리를 고르는 것뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

유리한 줄 세기

목표 배열 $XOXOX$는 딱 하나의 특정한 배열입니다.
$O$는 $2$번과 $4$번 자리에 있고, $X$는 $1,3,5$번 자리를 채웁니다.
$XOXOX$로 읽히는 다른 방법은 없으므로, 열 개의 줄 중 정확히 하나가 유리한 줄입니다.

$$\text{유리한 줄}=1 \quad (O\text{는 }2\text{번과 }4\text{번 자리})$$

💡 $XOXOX$는 모든 글자를 못 박아 정하므로, 나열된 줄 중 딱 하나만 이와 맞습니다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 3

유리한 수를 전체로 나누기

$10$개의 줄이 모두 똑같이 나올 수 있으므로, 유리한 줄 하나가 나올 확률은 유리한 수를 전체로 나눈 $\frac{1}{10}$입니다.
이것이 선택지 (B)입니다.

$$P(XOXOX)=\dfrac{\text{유리한 수}}{\text{전체}}=\dfrac{1}{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 모든 줄이 똑같이 나올 수 있으므로, 이기는 줄 하나가 나올 확률은 $10$개 중 $1$입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 한 줄은 $O$ 타일 두 개가 어디에 놓이는지로 완전히 정해집니다. 나머지 자리는 모두 $X$가 되어야 하기 때문입니다. 그러므로 줄을 세는 것

[2] #7 7.SP.C.8 목표 배열 $XOXOX$는 딱 하나의 특정한 배열입니다. $O$는 $2$번과 $4$번 자리에 있고, $X$는 $1,3,5$번 자리를 채웁니다.

[3] #3 7.SP.C.7 $10$개의 줄이 모두 똑같이 나올 수 있으므로, 유리한 줄 하나가 나올 확률은 유리한 수를 전체로 나눈 $\frac{1}{10}$입니다. 이것

검토

합리성 확인: 답 $\frac{1}{10}$은 똑같이 나올 수 있는 열 개의 줄 중 특정한 결과 하나이며, 이름 붙은 배열 하나의 값으로 정확히 들어맞으므로 크기가 자연스럽습니다. 함정 선택지는 표본공간을 잘못 세는 데서 나옵니다. (E) $\frac{1}{3}$과 (C) $\frac{1}{6}$은 타일을 모두 서로 다른 것으로 보고 똑같은 타일을 잘못 처리할 때 나타나고, (A) $\frac{1}{12}$은 배열 수를 과하게 셀 때 나타납니다. 같은 타일을 똑같은 것으로 다루면 깔끔한 $10$개의 줄과 그에 맞는 $\frac{1}{10}$이 나옵니다.

대안 접근: 다섯 타일을 모두 서로 다른 것으로 이름 붙여 세어 봅니다. 그러면 순서는 $5!=120$가지입니다. 유리한 배열 $XOXOX$는 $X$ 타일 세 개의 순서 $3!$가지와 $O$ 타일 두 개의 순서 $2!$가지로 만들 수 있어 $3!\times2!=12$가지의 유리한 순서가 있습니다. 확률은 $\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$으로 똑같은 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 조직적인 목록, 표, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (가능한 줄 $10$개를 $\binom{5}{2}$로 세고, 유리한 줄 $XOXOX$ 하나를 찾는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (똑같이 나올 수 있는(균등) 모형을 이용해 확률을 유리한 줄 나누기 전체 줄, 즉 $\frac{1}{10}$로 세우는 데 사용.)

⭐ $O$ 두 자리만 줄을 정하므로 똑같이 나올 수 있는 줄은 $\binom{5}{2}=10$개이고 그중 딱 하나가 $XOXOX$라서 확률은 $\frac{1}{10}$입니다.