AMC 10 · 2005 · #9

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

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📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

타일 세 개에는 X가, 두 개에는 O가 적혀 있습니다. 다섯 개를 한 줄로 무작위로 섞어 놓습니다. 그 줄이 정확히 XOXOX로 나올 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{10}$

(C)

$\frac{1}{6}$

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{1}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

이 문제는 확률로 포장된 "몇 가지 방법" 세는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 핵심 엔진입니다. 다섯 자리 중 어느 두 자리에 O 타일을 놓을지 정하면 나머지는 모두 X로 채워져 한 줄이 완전히 결정되므로, 다섯 자리 중 두 자리에 O를 놓는 경우의 수를 세면 모든 줄을 세는 것과 같습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 확률에 필요한 두 조각, 즉 전체 표본공간의 크기와 유리한 줄의 수로 일을 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리합니다. 세어 보면 정확한 분수 하나가 나오고, 그에 맞는 선택지는 하나뿐입니다.

1STEP 1

가능한 모든 줄 세기

한 줄은 O 두 개의 자리로 정해지므로, 다섯 자리 중 두 자리를 고르면 됩니다. C(5, 2)=10 가지.

C(5, 2)=(5×4)/(2×1)=10 가지의 줄

2STEP 2

유리한 줄 세기

XOXOX는 O를 2번과 4번 자리에 고정하므로, 열 개 중 유리한 줄의 수는 1입니다.

유리한 줄=1 (O는 2번과 4번 자리)

3STEP 3

유리한 수를 전체로 나누기

모든 줄이 똑같이 나오므로 유리한 줄 하나가 나올 확률은 1/10, 곧 선택지 (B)입니다.

P(XOXOX)=(유리한 수)/전체=1/10 → (B)

정답

1/10

답 1/10은 똑같이 나올 수 있는 열 개의 줄 중 특정한 결과 하나이며, 이름 붙은 배열 하나의 값으로 정확히 들어맞으므로 크기가 자연스럽습니다. 함정 선택지는 표본공간을 잘못 세는 데서 나옵니다. (E) 1/3과 (C) 1/6은 타일을 모두 서로 다른 것으로 보고 똑같은 타일을 잘못 처리할 때 나타나고, (A) 1/12은 배열 수를 과하게 셀 때 나타납니다. 같은 타일을 똑같은 것으로 다루면 깔끔한 10개의 줄과 그에 맞는 1/10이 나옵니다.

💡핵심 정리

O 두 자리만 줄을 정하므로 똑같이 나올 수 있는 줄은 C(5, 2)=10개이고 그중 딱 하나가 XOXOX라서 확률은 1/10입니다.

가능한 모든 줄 세기
유리한 줄 세기
유리한 수를 전체로 나누기

가능한 모든 줄 세기

유리한 줄 세기

유리한 수를 전체로 나누기

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