AMC 10 · 2008 · #21
학년 7 counting둥근 탁자 주위에 의자 열 개가 일정한 간격으로 놓여 있고 시계 방향으로 1부터 10까지 번호가 매겨져 있다. 다섯 쌍의 부부가 남자와 여자가 번갈아 앉되, 누구도 자신의 배우자와 옆자리나 맞은편에 앉지 않도록 의자에 앉으려 한다. 가능한 좌석 배치는 몇 가지인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 둥근 탁자 둘레에 의자 $10$개가 일정한 간격으로 놓여 있고, 시계 방향으로 $1$부터 $10$까지 번호가 매겨져 있다. 부부 $5$쌍(남자 $5$명, 여자 $5$명)이 남녀가 번갈아 앉도록 자리에 앉는다. 어떤 사람도 자기 배우자의 바로 옆자리에 앉거나 탁자 건너편 정면에 앉을 수 없다. 이 규칙을 모두 지키는 자리 배치가 몇 가지인지 센다.
주어진 것: 둥근 탁자 둘레에 번호가 매겨진 의자가 $10$개 있다. 의자에 번호가 있으므로, 회전만 다른 두 배치는 서로 다른 배치로 센다.; 부부 $5$쌍이 남자 $5$명과 여자 $5$명을 이루며, 모두 서로 다른 사람이다.; 자리는 남자, 여자, 남자, 여자 … 순서로 원을 따라 번갈아 앉는다.; 누구도 자기 배우자의 바로 양옆 두 자리에는 앉을 수 없다.; 누구도 자기 배우자의 탁자 건너편 정면 자리에 앉을 수 없다(의자 $i$와 $i+5$가 서로 정면이다).
구하는 것: 열 명을 앉히는 유효한 자리 배치의 개수.
이해
문제 재정리: 둥근 탁자 둘레에 의자 $10$개가 일정한 간격으로 놓여 있고, 시계 방향으로 $1$부터 $10$까지 번호가 매겨져 있다. 부부 $5$쌍(남자 $5$명, 여자 $5$명)이 남녀가 번갈아 앉도록 자리에 앉는다. 어떤 사람도 자기 배우자의 바로 옆자리에 앉거나 탁자 건너편 정면에 앉을 수 없다. 이 규칙을 모두 지키는 자리 배치가 몇 가지인지 센다.
주어진 것: 둥근 탁자 둘레에 번호가 매겨진 의자가 $10$개 있다. 의자에 번호가 있으므로, 회전만 다른 두 배치는 서로 다른 배치로 센다.; 부부 $5$쌍이 남자 $5$명과 여자 $5$명을 이루며, 모두 서로 다른 사람이다.; 자리는 남자, 여자, 남자, 여자 … 순서로 원을 따라 번갈아 앉는다.; 누구도 자기 배우자의 바로 양옆 두 자리에는 앉을 수 없다.; 누구도 자기 배우자의 탁자 건너편 정면 자리에 앉을 수 없다(의자 $i$와 $i+5$가 서로 정면이다).
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기
남자의 규칙과 여자의 규칙이 서로 얽혀 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세기를 두 단계로 깔끔하게 나눈다. 먼저 번갈아 앉는 규칙만으로 남자 $5$명을 앉히고, 그 다음 남자를 고정한 채 아내 $5$명이 남편의 옆이나 정면을 피해 반대 성별 자리를 채우는 방법을 센다. 도구 #1(그림 그리기)로 기하 구조를 눈에 보이게 만든다. 어떤 의자가 옆이고 어떤 의자가 정면인지 표시하면 각 남자의 금지된 세 자리를 바로 읽어낼 수 있다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 아내에게 앉을 수 있는 자리가 두 개뿐임을 보이고, 그 선택들이 하나의 고리로 맞물려 여자 배치가 단 두 가지만 살아남음을 확인한다. 남자 경우의 수와 여자 경우의 수를 곱하면 답이 나온다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 남자 5명 앉히기
- 남녀가 번갈아 앉으므로 남자는 홀수 의자 다섯 개($1,3,5,7,9$) 전부 또는 짝수 의자 다섯 개($2,4,6,8,10$) 전부를 차지한다.
- 즉 남자가 쓸 의자를 고르는 방법이 $2$가지다.
- 고른 다섯 자리에 서로 다른 남자 $5$명을 배열하는 방법은 $5! = 120$가지다.
- 따라서 남자만 앉히는 방법은 $2 \times 120 = 240$가지다.
💡 남자가 쓸 자리를 먼저 고른 뒤 그 자리에 남자를 배열하면, 서로 독립인 두 선택이 곱해진다.
7.SP.C.8 단계 2 각 아내가 앉을 수 있는 자리 찾기
- 한 경우를 그림으로 고정하자.
- 남자는 의자 $1,3,5,7,9$에, 여자는 $2,4,6,8,10$에 앉는다.
- 의자 $1$의 남자는 아내에게 의자 $2$와 $10$(양옆), 그리고 의자 $6$(정면)을 금지하므로 의자 $4$와 $8$만 남는다.
- 모든 남자에 대해 똑같이 하면 각 아내에게 정확히 두 자리가 남는다: 남자 $1\to\{4,8\}$, 남자 $3\to\{6,10\}$, 남자 $5\to\{8,2\}$, 남자 $7\to\{10,4\}$, 남자 $9\to\{2,6\}$.
💡 각 남자가 아내에게 세 자리를 막으므로, 반대 성별 다섯 자리 중 그녀에게 열려 있는 자리는 두 개뿐이다.
7.SP.C.8 단계 3 아내를 사슬처럼 연결: 두 가지뿐
- 가능한 자리들이 서로 맞물려서 한 번의 선택이 나머지를 전부 결정한다.
- 의자 $1$ 남자의 아내를 의자 $4$에 앉히면 의자 $4$가 사라지므로 의자 $10$이나 $4$를 쓸 수 있던 남자 $7$은 $10$을 써야 하고, 그러면 남자 $3$은 $6$, 남자 $9$는 $2$, 남자 $5$는 $8$을 쓰게 되어 모두 모순이 없다.
- 대신 의자 $1$ 남자의 아내를 의자 $8$에 앉히면 같은 강제가 반대 방향으로 돌아 남자 $5\to 2$, 남자 $9\to 6$, 남자 $3\to 10$, 남자 $7\to 4$가 된다.
- 아내를 배치하는 방법은 이 두 가지뿐이다.
💡 각자 선택지가 두 개인데 한 선택이 다음 사람의 선택지를 없애므로, 고리 전체가 거울처럼 대칭인 두 가지 채움으로만 정해진다.
4.OA.A.3 단계 4 두 단계를 곱하기
- 남자를 앉히는 $240$가지 각각에 대해 아내를 앉히는 방법이 정확히 $2$가지이고 두 단계는 서로 독립이므로 곱한다: $240 \times 2 = 480$.
- 이것이 보기 $(C)$이다.
💡 각 남자 배치가 두 가지 여자 채움 각각과 짝을 이루므로, 전체 배치 수는 두 단계 경우의 수의 곱이다.
7.SP.C.8 남녀가 번갈아 앉으므로 남자는 홀수 의자 다섯 개($1,3,5,7,9$) 전부 또는 짝수 의자 다섯 개($2,4,6,8,10$) 전부를 차지한다 7.SP.C.8 한 경우를 그림으로 고정하자. 남자는 의자 $1,3,5,7,9$에, 여자는 $2,4,6,8,10$에 앉는다. 의자 $1$의 남자는 아내에게 의자 7.SP.C.8 가능한 자리들이 서로 맞물려서 한 번의 선택이 나머지를 전부 결정한다. 의자 $1$ 남자의 아내를 의자 $4$에 앉히면 의자 $4$가 사라지므로 4.OA.A.3 남자를 앉히는 $240$가지 각각에 대해 아내를 앉히는 방법이 정확히 $2$가지이고 두 단계는 서로 독립이므로 곱한다: $240 \times 2 검토
합리성 확인: 배우자 규칙이 없다면 번갈아 앉는 배치는 $2 \times 5! \times 5! = 2 \times 120 \times 120 = 28800$가지다. '옆도 안 되고 정면도 안 된다'는 규칙이 여자의 $120$가지 배열을 단 $2$가지로 줄여 $240 \times 2 = 480$이 된다. 결과는 양의 정수이고, '여자 때문에 $\times 2$'라는 구조가 예측하는 대로 남자 경우의 수 $240$의 배수이며, 보기 중 $240$의 배수는 $480$뿐이다 — 모두 보기 $(C)$와 일치한다.
대안 접근: 남자를 파리티로 나누지 말고 한 명씩 앉혀 보자. 첫 번째 남자는 의자 $10$개 중 아무 곳이나 고를 수 있고($10$가지), 그 순간 번갈아 앉는 패턴 전체가 정해진다. 나머지 남자 네 명은 같은 성별의 남은 자리에 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$가지로 앉으므로 다시 $10 \times 24 = 240$이다. 아내는 여전히 $2$가지 채움만 가능하므로 $10 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 480$, 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (곱셈 원리로 남자 배치 수를 세고, 각 아내의 가능한 자리를 빠짐없이 나열해 여자 배치가 두 가지뿐임을 보이는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (서로 독립인 두 단계의 경우의 수를 $240 \times 2 = 480$으로 곱해 합치는 데 사용.)
⭐ 얽힌 자리 세기 문제는 단계로 쪼개서 — 한 무리를 먼저 앉히고, 조건이 다음 무리를 얼마나 좁히는지 세어 — 각 단계의 경우의 수를 곱하면 된다.
⭐ 얽힌 자리 세기 문제는 단계로 쪼개서 — 한 무리를 먼저 앉히고, 조건이 다음 무리를 얼마나 좁히는지 세어 — 각 단계의 경우의 수를 곱하면 된다.
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