AMC 10 · 2009 · #11

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicsystematic-enumerationparity systematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

숫자 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5 일곱 개를 모두 사용해, 앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 똑같은 7자리 회문수(palindrome)를 몇 개 만들 수 있는지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 향한다. 그러나 7자리 수를 무작정 나열하는 것은 불가능하므로, 먼저 도구 #5(패턴 찾기)로 회문수는 앞쪽 절반과 가운데 숫자만 정하면 결정된다는 사실을 본다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 어떤 숫자가 가운데에 올 수밖에 없는지 확정한다. 남는 것은 도구 #2로 마무리하는 작고 깔끔한 배열 세기다.

1STEP 1

회문수의 거울 구조 보기

7자리 회문수는 d₁d₂d₃d₄d₃d₂d₁ 꼴이라 d₁, d₂, d₃은 두 번씩 나오고 d₄만 가운데에 홀로 남는다.

d₁ d₂ d₃ d₄ d₃ d₂ d₁

2STEP 2

가운데 숫자 확정하기

2와 3은 짝수 개인데 5는 세 개로 홀수라, 가운데가 d₄ = 5로 정해지고 {d₁,d₂,d₃} = {2,3,5}만 남는다.

개수: 2{:}2, 3{:}2, 5{:}3 → d₄=5, {d₁,d₂,d₃}={2,3,5}

3STEP 3

배열 세기

서로 다른 세 값을 앞쪽 세 자리에 놓는 방법의 수는 3! = 6이고, 각각이 회문수 하나를 만든다 — (A).

3! = 3 × 2 × 1 = 6 → (A)

정답

여섯 개를 모두 적어 각각 2 두 개, 3 두 개, 5 세 개를 쓰는지 확인한다: 2355532, 2535352, 3255523, 3525253, 5235325, 5325235. 모두 회문수이고 정확한 숫자 재고를 쓰며, 앞쪽 세 값 (d₁,d₂,d₃)의 배열이 6가지뿐이라 다른 경우는 없다. 그래서 6이 맞고, (A)와 일치한다.

💡핵심 정리

회문수는 거울이라 앞쪽 절반과 가운데만 고르면 된다 — 홀수 개인 숫자가 가운데를 차지하고, 나머지는 남은 것을 늘어놓는 경우의 수를 세면 끝이다.

회문수의 거울 구조 보기
가운데 숫자 확정하기
배열 세기

회문수의 거울 구조 보기

가운데 숫자 확정하기

배열 세기

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