AMC 10 · 2009 · #11

학년 7 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicsystematic-enumerationparity systematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

숫자 $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $5$ , $5$ , $5$ 를 사용하여 만들 수 있는 $7$ 자리 회문수(앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 똑같은 수)는 모두 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $2$, $2$, $3$, $3$, $5$, $5$, $5$ 일곱 개를 모두 사용해, 앞으로 읽으나 뒤로 읽으나 똑같은 $7$자리 회문수(palindrome)를 몇 개 만들 수 있는지 세어라.

주어진 것: 수는 $7$자리이다.; 앞뒤로 똑같이 읽혀야 한다(회문수).; 사용하는 숫자는 정확히 $2$, $2$, $3$, $3$, $5$, $5$, $5$ — $2$가 두 개, $3$이 두 개, $5$가 세 개다.; 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $24$, (D) $36$, (E) $48$.

구하는 것: 이 숫자 묶음을 정확히 사용해 만들 수 있는 서로 다른 $7$자리 회문수의 개수.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

"몇 가지"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 향한다. 그러나 $7$자리 수를 무작정 나열하는 것은 불가능하므로, 먼저 도구 #5(패턴 찾기)로 회문수는 앞쪽 절반과 가운데 숫자만 정하면 결정된다는 사실을 본다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 어떤 숫자가 가운데에 올 수밖에 없는지 확정한다. 남는 것은 도구 #2로 마무리하는 작고 깔끔한 배열 세기다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

회문수의 거울 구조 보기

$7$자리 회문수는 앞뒤로 똑같이 읽히므로 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_3 d_2 d_1$ 꼴이다.
$1$번 자리는 $7$번을, $2$번은 $6$번을, $3$번은 $5$번을 그대로 복사한다.
즉 세 개의 숫자($d_1$, $d_2$, $d_3$)는 각각 두 번씩(양쪽 절반에 한 번씩) 나오고, 가운데 숫자 $d_4$만 한 번 나온다.
그래서 수 전체는 앞쪽 네 자리로 결정된다.

$$d_1\,d_2\,d_3\,d_4\,d_3\,d_2\,d_1$$

💡 회문수는 거울일 뿐이라, 앞쪽 절반과 가운데만 고르면 뒤쪽 절반은 저절로 따라온다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 2

가운데 숫자 확정하기

$d_1$, $d_2$, $d_3$은 각각 두 번씩 쓰이므로, 가운데를 뺀 모든 숫자의 개수는 짝수가 된다.
그런데 우리 재고는 $2$가 두 개, $3$이 두 개, $5$가 세 개 — 그리고 셋은 홀수다.
$5$를 홀수 개 쓰는 유일한 방법은 $5$ 하나를 가운데에 홀로 두는 것이다.
$2$와 $3$은 짝수 개이므로 어느 것도 가운데에 올 수 없다.
따라서 $d_4 = 5$이고, 짝지을 자리 $d_1$, $d_2$, $d_3$에는 $2$ 하나, $3$ 하나, $5$ 하나가 남는다.

$$\text{개수: }2{:}2,\;3{:}2,\;5{:}3\;\Rightarrow\;d_4=5,\quad \{d_1,d_2,d_3\}=\{2,3,5\}$$

💡 홀수 개인 숫자만 가운데에 홀로 설 수 있고, 짝수 개인 숫자는 짝을 이뤄야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

배열 세기

이제 남은 세 값 $2$, $3$, $5$를 앞쪽 자리 $d_1$, $d_2$, $d_3$에 배열하기만 하면 된다.
뒤쪽 절반과 가운데는 이미 정해졌으므로, 앞쪽 배열 하나가 정확히 회문수 하나를 만든다.
서로 다른 세 값을 세 자리에 놓는 경우의 수는 $3 \times 2 \times 1 = 6$가지다: $235$, $253$, $325$, $352$, $523$, $532$.
각각이 올바른 회문수를 만든다.
예를 들어 $235 \to 2355532$.
따라서 회문수는 $6$개, 선택지 (A)다.

$$3! = 3\times 2\times 1 = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 가운데가 고정되면, 답은 서로 다른 세 숫자를 세 자리에 늘어놓는 방법의 수일 뿐이다.

[1] #5 4.OA.C.5 $7$자리 회문수는 앞뒤로 똑같이 읽히므로 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_3 d_2 d_1$ 꼴이다. $1$번 자리는 $7$번을, $2$번은

[2] #3 2.OA.C.3 $d_1$, $d_2$, $d_3$은 각각 두 번씩 쓰이므로, 가운데를 뺀 모든 숫자의 개수는 짝수가 된다. 그런데 우리 재고는 $2$가 두 개

[3] #2 7.SP.C.8 이제 남은 세 값 $2$, $3$, $5$를 앞쪽 자리 $d_1$, $d_2$, $d_3$에 배열하기만 하면 된다. 뒤쪽 절반과 가운데는 이미

검토

합리성 확인: 여섯 개를 모두 적어 각각 $2$ 두 개, $3$ 두 개, $5$ 세 개를 쓰는지 확인한다: $2355532$, $2535352$, $3255523$, $3525253$, $5235325$, $5325235$. 모두 회문수이고 정확한 숫자 재고를 쓰며, 앞쪽 세 값 $(d_1,d_2,d_3)$의 배열이 $6$가지뿐이라 다른 경우는 없다. 그래서 $6$이 맞고, (A)와 일치한다.

대안 접근: 순열 공식으로 세어도 된다. 앞쪽 세 자리에는 모두 서로 다른 묶음 $\{2,3,5\}$가 들어가므로 배열 수는 $\tfrac{3!}{1!\,1!\,1!} = 6$이다. 가운데 숫자는 $5$로 강제되고 뒤쪽 절반은 강제된 거울이므로, 이 한 인수가 전체 개수 그대로 — 다시 $6$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (회문 규칙을 거울 패턴 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_3 d_2 d_1$로 읽어 앞쪽 절반과 가운데만 정하면 되도록 함.)
2.OA.C.3 Determine whether a group of objects has an odd or even number ($5$의 개수가 홀수(셋)임을 이용해 $5$ 하나를 가운데로 강제하고, 짝수 개인 $2$와 $3$은 짝을 이루게 함.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (남은 서로 다른 세 숫자를 앞쪽 자리에 배열하는 $3! = 6$가지를 빠짐없이 나열해 셈.)

⭐ 회문수는 거울이라 앞쪽 절반과 가운데만 고르면 된다 — 홀수 개인 숫자가 가운데를 차지하고, 나머지는 남은 것을 늘어놓는 경우의 수를 세면 끝이다.