AMC 10 · 2005 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

isosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형 $ABC$ 에서 $AC=BC=7$ 이고 $AB=2$ 입니다. 직선 $AB$ 위의 점 $D$ 가 $B$ 를 $A$ 와 $D$ 사이에 두도록 놓이며 $CD=8$ 입니다. $BD$ 는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2\sqrt{3}$

(C)

(D)

(E)

$4\sqrt{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$ 는 $AC=BC=7$, $AB=2$ 이므로, 두 같은 변이 $C$ 에서 만나는 이등변삼각형입니다. 점 $D$ 는 $A$ 와 $B$ 를 지나는 직선 위에 있고, $B$ 가 $A$ 와 $D$ 사이에 오도록 놓이며 거리 $CD=8$ 입니다. 길이 $BD$ 를 구하세요.

주어진 것: $AC=BC=7$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 꼭짓점 $C$ 를 가진 이등변삼각형; 밑변 $AB=2$; $D$ 는 직선 $AB$ 위에 있고 $B$ 가 $A$ 와 $D$ 사이에 있음 (즉 $D$ 는 $B$ 너머, $A$ 에서 먼 쪽); $CD=8$; 선택지: (A) $3$, (B) $2\sqrt{3}$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $4\sqrt{2}$

구하는 것: 길이 $BD$, 직선을 따라 잰 $B$ 에서 $D$ 까지의 거리

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

도구 #1(그림 그리기)로 말을 그림으로 바꿉니다: 밑변 $AB$ 위에 선 이등변삼각형과, 직선을 따라 더 멀리 표시된 $D$. 그림이 드러내는 핵심 동작은 꼭짓점 $C$ 에서 직선으로 곧게 수선을 내리는 것으로, 이것이 전체를 직각삼각형들로 쪼갭니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 직각삼각형을 차례로 다룹니다 — 하나는 높이를 구하고, 다른 하나는 $CD$ 를 담고 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 $BD$ 에 이름을 붙이면 두 번째 직각삼각형이 풀 수 있는 방정식이 됩니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

C 에서 수선 내리기

$C$ 에서 직선 $AB$ 로 곧게 높이를 내려 만나는 점을 $M$ 이라 합시다.
$AC=BC$ 이므로 삼각형은 이 높이를 기준으로 대칭이고, 따라서 $M$ 은 $AB$ 의 중점입니다.
그러면 $AM=MB=\tfrac{1}{2}\cdot AB=1$ 입니다.
점 $D$ 는 $B$ 너머로 직선을 따라 더 바깥에 있습니다.

$$AM=MB=\tfrac{1}{2}(2)=1$$

💡 이등변삼각형은 꼭짓점에서 밑변 한가운데로 이은 선을 따라 자기 자신에 포개지므로, 그 선이 밑변을 정확히 반으로 자릅니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

높이 CM 구하기

이제 직각삼각형 $CMB$ 를 봅시다: $M$ 에서 직각이고, 한 변 $MB=1$, 빗변 $CB=7$ 입니다.
피타고라스 정리로 $CM^2 = CB^2 - MB^2 = 7^2 - 1^2 = 49 - 1 = 48$ 이므로, 높이는 $CM=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ 입니다.

$$CM^2 = 7^2 - 1^2 = 48 \;\Rightarrow\; CM = 4\sqrt{3}$$

💡 높이와 밑변의 절반은 빗변이 알려진 비스듬한 변인 직각삼각형의 두 변입니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

CD 를 담은 직각삼각형 세우기

$BD=x$ 라 합시다.
$D$ 는 $B$ 너머에 있으므로 중점 $M$ 에서의 거리는 $MD = MB + BD = 1 + x$ 입니다.
선분 $CD$ 는 직각삼각형 $CMD$($M$ 에서 직각)의 빗변이며, 두 변은 $CM=4\sqrt{3}$ 과 $MD=1+x$ 입니다.
피타고라스 정리로 $CM^2 + MD^2 = CD^2$, 즉 $48 + (1+x)^2 = 8^2 = 64$ 가 됩니다.

$$48 + (1+x)^2 = 64$$

💡 같은 높이 $CM$ 이 여전히 직선 위에 서 있으므로, $C$, $M$, $D$ 가 그 높이를 공유하는 또 하나의 직각삼각형을 이룹니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

BD 풀기

양변에서 $48$ 을 빼면 $(1+x)^2 = 16$.
양의 제곱근을 취하면(길이는 음수가 될 수 없음) $1+x = 4$ 이므로 $x = 3$ 입니다.
따라서 $BD=3$ 이고, 이것은 선택지 (A) 입니다.

$$(1+x)^2 = 16 \;\Rightarrow\; 1+x = 4 \;\Rightarrow\; x = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 제곱을 제곱근으로 되돌리되, 거리를 재는 값이므로 양수만 남깁니다.

[1] #1 4.G.A.3 $C$ 에서 직선 $AB$ 로 곧게 높이를 내려 만나는 점을 $M$ 이라 합시다. $AC=BC$ 이므로 삼각형은 이 높이를 기준으로 대칭이고,

[2] #7 8.G.B.7 이제 직각삼각형 $CMB$ 를 봅시다: $M$ 에서 직각이고, 한 변 $MB=1$, 빗변 $CB=7$ 입니다. 피타고라스 정리로 $CM^2 =

[3] #4 8.G.B.7 $BD=x$ 라 합시다. $D$ 는 $B$ 너머에 있으므로 중점 $M$ 에서의 거리는 $MD = MB + BD = 1 + x$ 입니다. 선분 $

[4] #4 8.EE.A.2 양변에서 $48$ 을 빼면 $(1+x)^2 = 16$. 양의 제곱근을 취하면(길이는 음수가 될 수 없음) $1+x = 4$ 이므로 $x = 3$

검토

합리성 확인: 다시 대입해 봅시다: $BD=3$ 이면 바깥쪽 변은 $MD = 1+3 = 4$, 높이는 $CM=4\sqrt{3}\approx 6.93$ 입니다. 그러면 $CD = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+48} = \sqrt{64} = 8$ 로 주어진 값과 정확히 같습니다. 크기 감각도 맞습니다: $CD=8$ 은 높이 $4\sqrt{3}\approx 6.93$ 보다 조금 길므로 $D$ 는 $M$ 에서 조금 떨어진 곳에 있어야 하고, 변 $4$ 가 여기에 맞습니다. 함정 선택지 (D) $5$ 는 $AD = AB + BD = 2+3$, 즉 $B$ 가 아니라 $A$ 에서의 거리입니다. 문제는 $BD$ 를 묻습니다.

대안 접근: 삼각형을 쪼개지 않고 코사인 법칙을 씁니다. 삼각형 $ABC$ 에서 $\cos(\angle ABC) = \frac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2\cdot BA\cdot BC} = \frac{4+49-49}{28} = \frac{1}{7}$ 입니다. $D$ 는 직선을 따라 $B$ 의 반대쪽에 있으므로 $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC$, 즉 $\cos(\angle CBD) = -\tfrac{1}{7}$ 입니다. 삼각형 $CBD$ 에서 $CD^2 = CB^2 + BD^2 - 2\cdot CB\cdot BD\cos(\angle CBD)$ 이므로 $64 = 49 + BD^2 + 2\cdot BD$ 가 됩니다. 따라서 $BD^2 + 2BD - 15 = 0$ 이고, $(BD-3)(BD+5)=0$ 로 인수분해되어 양의 근은 $BD=3$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.3 Recognize a line of symmetry for a two-dimensional figure (이등변삼각형의 대칭성을 이용해 $C$ 에서 내린 수선이 $AB$ 의 중점에 닿음을 밝혀 $MB=1$ 을 얻는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $CMB$ 에서 높이 $CM=4\sqrt{3}$ 을 구하고, 직각삼각형 $CMD$ 에서 $48+(1+x)^2=64$ 를 세우는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ 을 계산하고, $(1+x)^2=16$ 을 양의 제곱근을 취해 풀어 $BD=3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 이등변삼각형의 꼭짓점에서 곧게 높이를 내려 직각삼각형들로 쪼갠 뒤, 피타고라스 정리로 아는 길이들을 원하는 길이에 대한 방정식으로 바꾸세요.