AMC 10 · 2005 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

isosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형 ABC는 AC=BC=7, AB=2이므로 두 같은 변이 C에서 만나는 이등변삼각형입니다. 점 D는 A와 B를 지나는 직선 위에 있고, B가 A와 D 사이에 오도록 놓이며 거리는 CD=8입니다. 길이 BD를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2\sqrt{3}$

(C)

(D)

(E)

$4\sqrt{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)로 말을 그림으로 바꿉니다: 밑변 AB 위에 선 이등변삼각형과, 직선을 따라 더 멀리 표시된 D. 그림이 드러내는 핵심 동작은 꼭짓점 C 에서 직선으로 곧게 수선을 내리는 것으로, 이것이 전체를 직각삼각형들로 쪼갭니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 직각삼각형을 차례로 다룹니다 — 하나는 높이를 구하고, 다른 하나는 CD 를 담고 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 BD 에 이름을 붙이면 두 번째 직각삼각형이 풀 수 있는 방정식이 됩니다.

1STEP 1

C 에서 수선 내리기

C에서 직선 AB에 수선을 내려 발을 M이라 하면, AC=BC이므로 M은 중점이고 AM=MB=1입니다. D는 B 너머에 있습니다.

AM=MB=1/2(2)=1

2STEP 2

높이 CM 구하기

직각삼각형 CMB는 MB=1, 빗변 CB=7이므로 $CM^2 = 7^2 - 1^2 = 48$ , 높이는 CM= $4\sqrt{3}$ 입니다.

CM² = 7² - 1² = 48 → CM = 4√(3)

3STEP 3

CD 를 담은 직각삼각형 세우기

BD=x라 하면 MD = MB + BD = 1+x이고, 빗변 CD=8인 직각삼각형 CMD에서 $48 + (1+x)^2 = 64$ 가 나옵니다.

48 + (1+x)² = 64

4STEP 4

BD 풀기

양변에서 48을 빼면 $(1+x)^2 = 16$ , 길이는 양수이므로 $1+x = 4$ , 즉 BD = 3이고 선택지 (A)입니다.

(1+x)² = 16 → 1+x = 4 → x = 3 → (A)

정답

다시 대입해 봅시다: BD=3이면 바깥쪽 변은 MD = 1+3 = 4, 높이는 CM=4√(3)≈ 6.93입니다. 그러면 CD = √(4² + (4√(3))²) = √(16+48) = √(64) = 8로 주어진 값과 정확히 같습니다. 크기 감각도 맞습니다: CD=8은 높이 4√(3)≈ 6.93 보다 조금 길므로 D 는 M 에서 조금 떨어진 곳에 있어야 하고, 변 4가 여기에 맞습니다. 함정 선택지 (D) 5는 AD = AB + BD = 2+3, 즉 B 가 아니라 A 에서의 거리입니다. 문제는 BD 를 묻습니다.

💡핵심 정리

이등변삼각형의 꼭짓점에서 곧게 높이를 내려 직각삼각형들로 쪼갠 뒤, 피타고라스 정리로 아는 길이들을 원하는 길이에 대한 방정식으로 바꾸세요.

C 에서 수선 내리기
높이 CM 구하기
CD 를 담은 직각삼각형 세우기
BD 풀기

C 에서 수선 내리기

높이 CM 구하기

CD 를 담은 직각삼각형 세우기

BD 풀기

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