AMC 10 · 2005 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicprime-numbers identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: probability-basicprime-numbers

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 주사위 열두 개를 굴립니다. 윗면에 나온 수들의 곱이 소수일 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\left(\frac{1}{12}\right)^{12}$

(B)

$\left(\frac{1}{6}\right)^{12}$

(C)

$2\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$

(D)

$\frac{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$

(E)

$\left(\frac{1}{6}\right)^{10}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 열두 개를 한 번에 굴린다. 열두 개의 윗면 수를 모두 곱한다. 이 곱이 소수일 확률을 구하여라.

주어진 것: 주사위 열두 개를 굴리며, 각 주사위는 독립적으로 $1,2,3,4,5,$ 또는 $6$을 보인다; 모든 주사위의 모든 면이 나올 가능성이 같다; 곱은 열두 개의 윗면 수를 모두 곱한 값이다; 선택지: (A) $\left(\frac{1}{12}\right)^{12}$, (B) $\left(\frac{1}{6}\right)^{12}$, (C) $2\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$, (D) $\frac{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$, (E) $\left(\frac{1}{6}\right)^{10}$

구하는 것: 열두 개 윗면의 곱이 소수일 확률

이해

문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 열두 개를 한 번에 굴린다. 열두 개의 윗면 수를 모두 곱한다. 이 곱이 소수일 확률을 구하여라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

"소수"라는 말이 문제의 전부이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 깔끔히 나눈다: 먼저 어떤 굴림이 곱을 소수로 만드는지 정하고, 다음으로 그런 이기는 굴림을 세고, 마지막으로 전체 굴림 수로 나눈다. 첫 조각은 순수한 수론이다 — 소수는 소인수를 하나만 가지므로 주사위 열한 개는 $1$이 되고 마지막 하나는 소수 면이 되어야 한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 세기를 맡는다: 어느 주사위가 소수인지, 그것이 어떤 소수를 보이는지 고른다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 대조다 — 개수는 $\frac{1}{6}$의 깔끔한 거듭제곱 하나로 줄고, 그 형태를 가진 선택지는 오직 하나뿐이다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

곱이 언제 소수인가?

소수는 소인수 하나만을, 한 번만 써서 만들어진다 — $2$, $3$, $5$처럼.
곱셈은 모든 주사위의 모든 소인수를 끌어들이므로, 곱을 소수로 유지하려면 열두 개 중 열한 개는 소인수를 전혀 내지 않아야 하고, 이는 그 면들이 $1$임을 뜻한다.
남은 한 주사위는 소인수를 정확히 하나 내야 하므로 소수 면 $2$, $3$, 또는 $5$를 보인다.
$4=2\times2$나 $6=2\times3$인 면은 여분의 인수를 더해 소수를 망치고, $1$이 아닌 두 번째 주사위도 마찬가지다.

$$\text{곱이 소수} \iff \text{주사위 열한 개가 } 1 \text{, 한 개가 } 2,\,3,\text{ 또는 } 5$$

💡 소수는 쪼갤 수 없으므로 오직 한 주사위만 소수 하나를 지니고 나머지는 모두 $1$에 머문다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

이기는 굴림 세기

이기는 굴림을 서로 독립인 두 번의 선택으로 만든다.
먼저 열두 개 중 어느 하나가 소수인 주사위인지 고른다: $12$가지.
다음으로 그 주사위가 보이는 소수를 고른다 — $2$, $3$, 또는 $5$: $3$가지.
나머지 주사위들은 모두 $1$로 강제되어 각각 $1$가지뿐이다.
선택들을 곱해 이기는 굴림 전체를 센다.

$$\text{이기는 굴림} = 12 \times 3 = 36$$

💡 독립인 선택은 곱해지므로 $12$개 자리 곱하기 $3$개 소수 면이 모든 좋은 굴림을 준다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 3

가능한 굴림 전체 세기

열두 개 주사위 각각이 독립적으로 여섯 면 중 하나를 보이므로, 똑같이 나올 수 있는 전체 굴림 수는 $6$을 열두 번 곱한 값이다.
이는 $6^{12}$이다.

$$\text{전체 굴림} = \underbrace{6\times6\times\cdots\times6}_{12} = 6^{12}$$

💡 독립인 여섯 갈래 선택 열두 번이 거듭제곱 $6^{12}$로 쌓인다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 4

나누고 간단히 하기

확률은 이기는 굴림을 전체 굴림으로 나눈 값이다: $\frac{36}{6^{12}}$.
$36 = 6\times6 = 6^{2}$이므로 분모의 열두 개 $6$ 중 둘이 약분되어 아래에 $6^{10}$이 남는다.
따라서 확률은 $\frac{1}{6^{10}} = \left(\frac{1}{6}\right)^{10}$이고, 이는 선택지 (E)다.

$$P = \dfrac{36}{6^{12}} = \dfrac{6^{2}}{6^{12}} = \dfrac{1}{6^{10}} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 위의 $36$은 곧 $6$ 두 개이므로 아래의 $6$ 두 개를 지운다.

[1] #7 4.OA.B.4 소수는 소인수 하나만을, 한 번만 써서 만들어진다 — $2$, $3$, $5$처럼. 곱셈은 모든 주사위의 모든 소인수를 끌어들이므로, 곱을 소수

[2] #2 7.SP.C.8 이기는 굴림을 서로 독립인 두 번의 선택으로 만든다. 먼저 열두 개 중 어느 하나가 소수인 주사위인지 고른다: $12$가지. 다음으로 그 주사위

[3] #2 6.EE.A.1 열두 개 주사위 각각이 독립적으로 여섯 면 중 하나를 보이므로, 똑같이 나올 수 있는 전체 굴림 수는 $6$을 열두 번 곱한 값이다. 이는 $6

[4] #3 6.EE.A.1 확률은 이기는 굴림을 전체 굴림으로 나눈 값이다: $\frac{36}{6^{12}}$. $36 = 6\times6 = 6^{2}$이므로 분모의

검토

합리성 확인: 결과 $\left(\frac{1}{6}\right)^{10}$은 $1$보다 훨씬 작은 양수이며, 이는 타당하다 — 곱이 소수가 되는 것은 드문 사건이다. 이 값은 다른 작은 선택지들 사이에 깔끔히 놓인다: 정확히 $6\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$이어서 (C) $2\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$과 (D) $\frac{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$보다 크며, 이 둘은 소수 면 세 개 모두가 아니라 하나나 둘만 세거나, 소수를 열두 주사위 중 어디에도 놓는 것을 잊은 사람을 위한 함정이다. 선택지 (B) $\left(\frac{1}{6}\right)^{12}$은 고정된 이기는 굴림 하나만 세고 그것이 일어나는 $36$가지 방법을 잊은 사람을 위한 함정이다.

대안 접근: 개수 대신 확률로 직접 다룬다(도구 #4 방식의 설정). 고른 특정 주사위가 소수를 보일 확률은 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$이고, 나머지 열한 개가 각각 $1$을 보일 확률은 $\frac{1}{6}$이므로, 한 가지 표시된 배열의 확률은 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$이다. 어느 주사위가 소수인지에 대한 선택이 $12$가지이므로 $12\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11} = 6\left(\frac{1}{6}\right)^{11} = \left(\frac{1}{6}\right)^{10}$ — 똑같이 (E)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.B.4 Find factor pairs and recognize that a whole number is prime or composite (어떤 굴림이 소수 곱을 주는지 특징짓는 데 사용: 주사위 열한 개는 $1$, 한 개는 소수 면 $2,3,$ 또는 $5$.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation ($36$개의 이기는 굴림을 복합 사건으로 세는 데 사용: $12$개 자리 곱하기 $3$개 소수 면.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (전체를 $6^{12}$로 쓰고 $\frac{36}{6^{12}} = \left(\frac{1}{6}\right)^{10}$로 약분해 간단히 하는 데 사용.)

⭐ 곱은 한 주사위가 소수($2,3,$ 또는 $5$)를 보이고 나머지가 모두 $1$일 때만 소수가 되므로, $6^{12}$가지 중 $12\times3=36$개의 이기는 굴림을 세어 $\left(\frac{1}{6}\right)^{10}$을 얻는다.