AMC 10 · 2005 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicprime-numbers identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: probability-basicprime-numbers

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 육면체 주사위 열두 개를 한 번에 굴린다. 열두 개의 윗면 수를 모두 곱한다. 이 곱이 소수일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\left(\frac{1}{12}\right)^{12}$

(B)

$\left(\frac{1}{6}\right)^{12}$

(C)

$2\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$

(D)

$\frac{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{11}$

(E)

$\left(\frac{1}{6}\right)^{10}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"소수"라는 말이 문제의 전부이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 깔끔히 나눈다: 먼저 어떤 굴림이 곱을 소수로 만드는지 정하고, 다음으로 그런 이기는 굴림을 세고, 마지막으로 전체 굴림 수로 나눈다. 첫 조각은 순수한 수론이다 — 소수는 소인수를 하나만 가지므로 주사위 열한 개는 1이 되고 마지막 하나는 소수 면이 되어야 한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 세기를 맡는다: 어느 주사위가 소수인지, 그것이 어떤 소수를 보이는지 고른다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 대조다 — 개수는 1/6의 깔끔한 거듭제곱 하나로 줄고, 그 형태를 가진 선택지는 오직 하나뿐이다.

1STEP 1

곱이 언제 소수인가?

소수는 소인수를 한 번만 지니므로 주사위 열한 개는 1을 보이고 남은 하나만 소수 면 2, 3, 5 중 하나여야 한다.

곱이 소수 ⇔ 주사위 열한 개가 1 , 한 개가 2, 3, 또는 5

2STEP 2

이기는 굴림 세기

어느 주사위가 소수인지 고르고(12가지) 어떤 소수인지 고르면(3가지) 이기는 굴림은 36가지다.

이기는 굴림 = 12 × 3 = 36

3STEP 3

가능한 굴림 전체 세기

주사위 열두 개가 각각 여섯 면 중 하나를 보이므로 전체 굴림 수는 6¹²가지다.

전체 굴림 = 6×6×…×6₁₂ = 6¹²

4STEP 4

나누고 간단히 하기

36을 6¹²로 나누는데, 36 = 6²이라 아래의 6 두 개가 약분되어 확률은 (1/6)¹⁰, 즉 선택지 (E)다.

P = 36/6¹² = 6²/6¹² = 1/6¹⁰ = (1/6)¹⁰ → (E)

정답

(1/6)¹⁰

결과 (1/6)¹⁰은 1보다 훨씬 작은 양수이며, 이는 타당하다 — 곱이 소수가 되는 것은 드문 사건이다. 이 값은 다른 작은 선택지들 사이에 깔끔히 놓인다: 정확히 6(1/6)¹¹이어서 (C) 2(1/6)¹¹과 (D) 5/2(1/6)¹¹보다 크며, 이 둘은 소수 면 세 개 모두가 아니라 하나나 둘만 세거나, 소수를 열두 주사위 중 어디에도 놓는 것을 잊은 사람을 위한 함정이다. 선택지 (B) (1/6)¹²은 고정된 이기는 굴림 하나만 세고 그것이 일어나는 36가지 방법을 잊은 사람을 위한 함정이다.

💡핵심 정리

곱은 한 주사위가 소수(2,3, 또는 5)를 보이고 나머지가 모두 1일 때만 소수가 되므로, 6¹²가지 중 12×3=36개의 이기는 굴림을 세어 (1/6)¹⁰을 얻는다.

곱이 언제 소수인가?
이기는 굴림 세기
가능한 굴림 전체 세기
나누고 간단히 하기

곱이 언제 소수인가?

이기는 굴림 세기

가능한 굴림 전체 세기

나누고 간단히 하기

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