AMC 10 · 2005 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

multiplesprinciple-of-inclusion-exclusiondivisibility-rules principle-of-inclusion-exclusioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$1$ 과 $2005$ 사이의 수 중에서 $3$ 또는 $4$ 의 정수배이면서 $12$ 의 배수는 아닌 수는 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

501

(B)

668

(C)

835

(D)

1002

(E)

1169

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$부터 $2005$까지의 자연수를 살펴보자. 이 중에서 $3$의 배수 또는 $4$의 배수인 수를 세되, $12$의 배수는 모두 제외하고 몇 개인지 구하라.

주어진 것: 수의 범위는 $1$부터 $2005$까지이다; $3$의 배수이거나 $4$의 배수이면(둘 다여도) 센다; $12$의 배수는 제외한다; 선택지: (A) $501$, (B) $668$, (C) $835$, (D) $1002$, (E) $1169$

구하는 것: 범위 안에서 $3$ 또는 $4$의 배수이면서 $12$의 배수는 아닌 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

도구 #12(벤 다이어그램 그리기)는 "또는 ~이지만 아닌" 구조에 딱 맞는다. $3$의 배수를 나타내는 원과 $4$의 배수를 나타내는 원을 그린다. 두 원이 겹치는 부분에는 두 수 모두의 배수인 수, 즉 정확히 $12$의 배수가 들어간다. 그러면 "$3$ 또는 $4$의 배수이지만 $12$의 배수는 아닌 수"는 겹치는 가운데를 뺀 바깥쪽 두 초승달 모양이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 원과 겹침 부분의 개수를 간단한 나눗셈으로 구해 준다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 "$12$의 배수는 아닌"을 처리하는 움직임이다: 각 원 안에서 공통된 가운데를 덜어내어 실제로 원하는 부분만 남긴다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

3의 배수 개수 세기

$2005$ 이하의 $3$의 배수는 $3, 6, 9, \ldots$로 이어져 $2005$를 넘지 않는 가장 큰 것까지이다.
몇 개일까?
나눈 뒤 몫(자연수 부분)만 취한다: $2005 \div 3 = 668$ 나머지 $1$이므로 $3$의 배수는 $668$개이다.

$$\left\lfloor \tfrac{2005}{3} \right\rfloor = 668$$

💡 어떤 수 이하의 $3$의 배수를 세는 것은 그 수 안에 $3$이 몇 번 들어가는지 묻는 것과 같다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 2

4의 배수 개수 세기

$4$의 배수도 똑같이 한다: $4, 8, 12, \ldots$로 $2005$까지.
나눈 뒤 몫만 취한다: $2005 \div 4 = 501$ 나머지 $1$이므로 $4$의 배수는 $501$개이다.

$$\left\lfloor \tfrac{2005}{4} \right\rfloor = 501$$

💡 나눗셈의 몫은 $2005$ 이하에 $4$씩 가는 걸음이 몇 번 놓이는지를 알려 준다.

#12 벤 다이어그램 그리기 6.NS.B.4 단계 3

겹침은 12의 배수

어떤 수가 두 원에 동시에 들어가려면 $3$의 배수이면서 $4$의 배수여야 한다.
두 수 모두의 배수 중 가장 작은 것은 최소공배수 $\text{lcm}(3,4) = 12$이다($3$과 $4$는 공통인수가 없으므로 그냥 곱하면 된다).
따라서 두 원의 겹침은 정확히 $12$의 배수이며, 이는 문제가 제외하라고 한 바로 그 수들이다.

$$\text{lcm}(3,4) = 3 \times 4 = 12$$

💡 $3$과 $4$ 모두의 배수라는 것은 곧 두 수의 최소공배수의 배수라는 뜻이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.2 단계 4

12의 배수 개수 세기

이제 범위 안의 $12$의 배수를 센다: $12, 24, 36, \ldots$로 $2005$까지.
나눈 뒤 몫만 취한다: $2005 \div 12 = 167$ 나머지 $1$이므로 겹치는 가운데에는 $167$개가 있다.

$$\left\lfloor \tfrac{2005}{12} \right\rfloor = 167$$

💡 두 원의 겹침도 나름의 깔끔한 개수를 가진다: $2005$ 안에 $12$가 몇 번 들어가는가.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 5

가운데를 빼고 초승달을 더하기

"$12$의 배수는 아닌"은 각 원에서 겹치는 가운데를 지우라는 뜻이다.
$3$의 배수 원에는 $668 - 167 = 501$개가 남고, $4$의 배수 원에는 $501 - 167 = 334$개가 남는다.
이 두 초승달은 더 이상 겹치지 않으므로 그냥 더하면 된다: $501 + 334 = 835$.
이것이 선택지 (C)이다.

$$(668 - 167) + (501 - 167) = 501 + 334 = 835 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 원에서 공통된 가운데를 없애고 나면 남는 것은 서로 떨어진 두 조각이라 겹침 걱정 없이 더할 수 있다.

[1] #7 4.OA.B.4 $2005$ 이하의 $3$의 배수는 $3, 6, 9, \ldots$로 이어져 $2005$를 넘지 않는 가장 큰 것까지이다. 몇 개일까? 나눈 뒤

[2] #7 4.NBT.B.6 $4$의 배수도 똑같이 한다: $4, 8, 12, \ldots$로 $2005$까지. 나눈 뒤 몫만 취한다: $2005 \div 4 = 501$

[3] #12 6.NS.B.4 어떤 수가 두 원에 동시에 들어가려면 $3$의 배수이면서 $4$의 배수여야 한다. 두 수 모두의 배수 중 가장 작은 것은 최소공배수 $\text

[4] #7 6.NS.B.2 이제 범위 안의 $12$의 배수를 센다: $12, 24, 36, \ldots$로 $2005$까지. 나눈 뒤 몫만 취한다: $2005 \div 1

[5] #16 4.OA.A.3 "$12$의 배수는 아닌"은 각 원에서 겹치는 가운데를 지우라는 뜻이다. $3$의 배수 원에는 $668 - 167 = 501$개가 남고, $4$

검토

합리성 확인: 합집합 공식으로 교차 확인하자. ($12$ 규칙 적용 전) $3$ 또는 $4$의 배수는 모두 $668 + 501 - 167 = 1002$개인데, 이것이 선택지 (D)로 "$12$의 배수는 아닌"을 잊은 사람의 함정이다. 이 합집합에서 $12$의 배수 $167$개를 빼면 $1002 - 167 = 835$로 답과 일치한다. 다른 함정들도 들어맞는다: (E) $1169 = 668 + 501$은 겹침을 아예 빼지 않은 것, (B) $668$은 $3$의 배수만, (A) $501$은 $4$의 배수만이다. 오직 (C) $835$만이 두 초승달을 올바르게 남긴다.

대안 접근: 각 $12$의 배수가 몇 번 중복 계산되는지를 세어 보자. 두 원을 그냥 더하면 $668 + 501 = 1169$이고, 여기서 모든 $12$의 배수는 두 번 세어졌다($3$의 배수로 한 번, $4$의 배수로 한 번). 우리는 그 수들을 $0$번 세고 싶으므로 두 번 빼면 된다: $1169 - 2 \times 167 = 1169 - 334 = 835$. 각 원을 다듬는 대신 중복 계산을 직접 바로잡아 같은 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($2005$ 이하 $3$의 배수를 알아보고 세는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($2005$를 $4$로 나눠 몫만 취해 $4$의 배수 개수를 세는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($3$과 $4$의 배수가 겹치는 부분이 $\text{lcm}(3,4)=12$의 배수임을 보는 데 사용.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm ($2005$를 두 자리 수 $12$로 나눠 $12$의 배수 $167$개를 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 원에서 겹침을 빼고 두 초승달을 더해 $835$에 이르는 데 사용.)

⭐ 겹치는 원 두 개를 그리고, 겹침이 두 수의 최소공배수의 배수임을 알아챈 뒤, 더하기 전에 그 공통된 가운데를 덜어내라.