AMC 10 · 2005 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglesequilateral-triangle identify-subproblemsspatial-visualization ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정삼각형 $\triangle ABC$ 의 한 변의 길이는 $2$ 이고, $M$ 은 $\overline{AC}$ 의 중점, $C$ 는 $\overline{BD}$ 의 중점입니다. $\triangle CDM$ 의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt {2}}{2}$

(B)

$\frac {3}{4}$

(C)

$\frac {\sqrt {3}}{2}$

(D)

(E)

$\sqrt {2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형 $ABC$ 는 모든 변의 길이가 $2$ 입니다. 점 $M$ 은 변 $AC$ 의 중점입니다. 점 $D$ 는 반직선 $BC$ 위에 있으며 $C$ 가 선분 $BD$ 의 중점이 되도록 놓여, $D$ 는 $C$ 를 기준으로 $B$ 의 반대편에 있습니다. 삼각형 $CDM$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 삼각형 $ABC$ 는 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형이므로 $AB=BC=CA=2$; $M$ 은 $\overline{AC}$ 의 중점; $C$ 는 $\overline{BD}$ 의 중점이므로 $B$, $C$, $D$ 는 한 직선 위에 있고 $BC=CD$; 선택지: (A) $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, (B) $\tfrac{3}{4}$, (C) $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$, (D) $1$, (E) $\sqrt{2}$

구하는 것: 삼각형 $CDM$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 시작입니다: $B$, $C$, $D$ 를 지나는 직선 위에 정삼각형을 올려놓고 그리면, 목표 삼각형의 변 $CD$ 가 그 직선 위에 평평하게 놓인다는 것이 바로 보입니다. 그러면 $CD$ 를 밑변으로 삼아 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 로 구할 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 조각으로 나눕니다: 밑변 $CD$ 를 구하고, $M$ 이 직선 위로 얼마나 높이 떠 있는지인 높이를 구하는 것입니다. 높이는 삼각형의 높이(피타고라스 한 단계)와 $M$ 이 절반 높이라는 사실이 필요합니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

B, C, D 를 한 줄로 놓고 밑변 읽기

$C$ 가 $\overline{BD}$ 의 중점이므로 $B$, $C$, $D$ 는 한 직선 위에 놓이고 $CD=CB$ 입니다.
정삼각형의 변 $CB$ 는 $2$ 이므로 $CD=2$ 입니다.
삼각형 $CDM$ 에서 이 변 $CD$ 를 밑변으로 잡습니다: 직선 $BD$ 위에 평평하게 놓여 있고 길이는 $2$ 입니다.

$$CD = CB = 2$$

💡 중점은 선분을 똑같은 두 반쪽으로 자르므로, $CD$ 는 변 $CB$ 를 그대로 복사한 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

삼각형의 높이 구하기

직선 $BD$ 위로의 높이들을 재려면 먼저 꼭짓점 $A$ 가 얼마나 높이 있는지 구합니다.
$A$ 에서 직선 $BC$ 로 수선을 내려 만나는 발을 $F$ 라 합시다.
정삼각형 $ABC$ 에서 이 발은 $BC$ 의 중점이므로 $BF=1$ 입니다.
직각삼각형 $AFB$ 는 빗변 $AB=2$, 한 변 $BF=1$ 이므로 피타고라스 정리로 $AF=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 입니다.
꼭짓점 $A$ 는 직선 위 $\sqrt{3}$ 만큼 서 있습니다.

$$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$$

💡 높이와 밑변의 절반은 빗변이 비스듬한 변인 직각삼각형의 두 변입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 3

높이를 반으로 줄여 M 에 이르기

삼각형 $CDM$ 의 높이는 $M$ 이 직선 $BD$ 위로 얼마나 높이 있는지입니다.
$M$ 에서 직선으로 수선을 내려 발을 $G$ 라 합시다.
직각삼각형 $CGM$ 과 $CFA$ 는 $C$ 에서의 각을 공유하고 둘 다 직각을 가지므로 닮음입니다.
$M$ 이 $AC$ 의 중점이므로 비 $CM:CA = 1:2$ 이고, 대응하는 모든 길이가 절반으로 줄어듭니다.
따라서 $MG=\tfrac{1}{2}AF=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$$MG = \tfrac{1}{2}\,AF = \tfrac{1}{2}\sqrt{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$$

💡 변의 절반 높이에 있다는 것은 높이도 절반이라는 뜻입니다. $C$ 에서 $A$ 로 미끄러질수록 높이가 고르게 올라가기 때문입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 4

밑변에 높이 곱하기

삼각형 $CDM$ 은 밑변 $CD=2$, 높이 $MG=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
이것이 선택지 (C) 입니다.

$$[CDM]=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 밑변이 직선 위에 평평하게 놓이면, 높이는 세 번째 꼭짓점이 그 위로 얼마나 떠 있는지일 뿐입니다.

[1] #1 6.G.A.1 $C$ 가 $\overline{BD}$ 의 중점이므로 $B$, $C$, $D$ 는 한 직선 위에 놓이고 $CD=CB$ 입니다. 정삼각형의 변 $

[2] #7 8.G.B.7 직선 $BD$ 위로의 높이들을 재려면 먼저 꼭짓점 $A$ 가 얼마나 높이 있는지 구합니다. $A$ 에서 직선 $BC$ 로 수선을 내려 만나는 발

[3] #7 8.G.A.4 삼각형 $CDM$ 의 높이는 $M$ 이 직선 $BD$ 위로 얼마나 높이 있는지입니다. $M$ 에서 직선으로 수선을 내려 발을 $G$ 라 합시다.

[4] #1 6.G.A.1 삼각형 $CDM$ 은 밑변 $CD=2$, 높이 $MG=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다. 삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\c

검토

합리성 확인: 값 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$ 은 넉넉히 양수이고, 밑변 $2$ 에 약 $0.87$ 정도의 작은 높이가 짝을 이룬 결과와 맞습니다. 가장 유혹적인 함정은 전체 높이 $\sqrt{3}$ 을 높이로 쓰는 것으로, 그러면 $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\approx 1.73$ 이 됩니다 — 하지만 $M$ 은 변 $AC$ 의 절반 높이에만 있으므로 그 높이는 절반입니다. 선택지 (D) $1$ 과 (E) $\sqrt{2}$ 는 높이나 밑변을 잘못 잡았을 때 나오는 아슬아슬한 오답들입니다. 밑변 곱하기 높이를 신중히 하면 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 가 나옵니다.

대안 접근: 높이를 계산하는 대신 넓이를 비교합니다. $C$ 가 $\overline{BD}$ 의 중점이므로 삼각형 $MBC$ 와 $MDC$ 는 꼭짓점 $M$ 을 공유하고 같은 직선 위의 같은 밑변 $BC=CD$ 를 가지므로 넓이가 같습니다. 이제 $BM$ 은 정삼각형 $ABC$ 의 중선입니다($B$ 에서 $AC$ 의 중점 $M$ 으로 이어짐). 중선은 삼각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나누므로 $[MBC]=\tfrac{1}{2}[ABC]$ 입니다. 정삼각형의 넓이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=\sqrt{3}$ 이므로 $[MBC]=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이고, 따라서 $[MDC]=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 로 같은 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($CD=2$ 를 삼각형 $CDM$ 의 밑변으로 잡고 넓이 $=\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 로 마무리하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $AFB$ 에서 정삼각형의 높이 $AF=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 을 구하는 데 사용.)
8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (닮은 직각삼각형 $CGM$ 과 $CFA$(중점 $M$ 에서 비 $1:2$)를 이용해 높이 $MG=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 삼각형의 한 변이 직선 위에 평평하게 놓이면 그것을 밑변으로 삼으세요 — 그러면 넓이는 그 밑변의 절반에 마지막 꼭짓점이 직선 위로 떠 있는 높이를 곱한 것일 뿐입니다.