AMC 10 · 2005 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglesequilateral-triangle identify-subproblemsspatial-visualization ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정삼각형 ABC는 모든 변의 길이가 2입니다. 점 M은 변 AC의 중점입니다. 점 D는 반직선 BC 위에 있으며 C가 선분 BD의 중점이 되도록 놓여, D는 C를 기준으로 B의 반대편에 있습니다. 삼각형 CDM의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {\sqrt {2}}{2}$

(B)

$\frac {3}{4}$

(C)

$\frac {\sqrt {3}}{2}$

(D)

(E)

$\sqrt {2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 시작입니다: B, C, D 를 지나는 직선 위에 정삼각형을 올려놓고 그리면, 목표 삼각형의 변 CD 가 그 직선 위에 평평하게 놓인다는 것이 바로 보입니다. 그러면 CD 를 밑변으로 삼아 넓이는 1/2·밑변·높이로 구할 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 조각으로 나눕니다: 밑변 CD 를 구하고, M 이 직선 위로 얼마나 높이 떠 있는지인 높이를 구하는 것입니다. 높이는 삼각형의 높이(피타고라스 한 단계)와 M 이 절반 높이라는 사실이 필요합니다.

1STEP 1

B, C, D 를 한 줄로 놓고 밑변 읽기

C가 BD의 중점이므로 B, C, D는 한 직선 위에 있고 CD=CB=2입니다. 이 CD를 밑변으로 씁니다.

CD = CB = 2

2STEP 2

삼각형의 높이 구하기

A에서 BC에 수선을 내려 발을 F라 하면 BF=1, AB=2이므로 피타고라스 정리로 AF=√(3)입니다.

AF=√(AB²-BF²)=√(2²-1²)=√(3)

3STEP 3

높이를 반으로 줄여 M 에 이르기

M에서 직선에 내린 수선의 발을 G라 하면, M이 AC의 중점이므로 MG=√(3)/2로 AF의 절반입니다.

MG = 1/2 AF = 1/2√(3) = √(3)/2

4STEP 4

밑변에 높이 곱하기

넓이는 1/2·밑변·높이=1/2·2·√(3)/2=√(3)/2이고, 이것이 선택지 (C)입니다.

[CDM]=1/2 · 2 · √(3)/2=√(3)/2 → (C)

정답

√(3)/2

값 √(3)/2≈0.87은 넉넉히 양수이고, 밑변 2에 약 0.87 정도의 작은 높이가 짝을 이룬 결과와 맞습니다. 가장 유혹적인 함정은 전체 높이 √(3)을 그대로 쓰는 것으로, 그러면 1/2·2·√(3)=√(3)≈1.73이 됩니다 — 하지만 M은 변 AC의 절반 높이에만 있으므로 그 높이는 절반입니다. 선택지 (D) 1과 (E) √(2)는 높이나 밑변을 잘못 잡았을 때 나오는 아슬아슬한 오답들입니다. 밑변 곱하기 높이를 신중히 하면 √(3)/2가 나옵니다.

💡핵심 정리

삼각형의 한 변이 직선 위에 평평하게 놓이면 그것을 밑변으로 삼으세요 — 그러면 넓이는 그 밑변의 절반에 마지막 꼭짓점이 직선 위로 떠 있는 높이를 곱한 것일 뿐입니다.

B, C, D 를 한 줄로 놓고 밑변 읽기
삼각형의 높이 구하기
높이를 반으로 줄여 M 에 이르기
밑변에 높이 곱하기

B, C, D 를 한 줄로 놓고 밑변 읽기

삼각형의 높이 구하기

높이를 반으로 줄여 M 에 이르기

밑변에 높이 곱하기

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