AMC 10 · 2005 · #15

학년 7 probability

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 봉투 안에 지폐 여덟 장이 들어 있습니다: $1$ 달러 두 장, $5$ 달러 두 장, $10$ 달러 두 장, $20$ 달러 두 장. 이 중 두 장을 비복원으로 무작위로 뽑습니다. 뽑은 두 장의 합이 $ $20$ 이상일 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${{{\frac{1}{4}}}}$

(B)

${{{\frac{2}{5}}}}$

(C)

${{{\frac{3}{7}}}}$

(D)

${{{\frac{1}{2}}}}$

(E)

${{{\frac{2}{3}}}}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 봉투 안에 지폐 여덟 장이 있습니다: $1$달러 두 장, $5$달러 두 장, $10$달러 두 장, $20$달러 두 장. 이 중 두 장을 한꺼번에(비복원으로) 뽑습니다. 뽑은 두 장의 합이 $20$달러 이상일 확률을 구하세요.

주어진 것: 지폐는 모두 여덟 장: $\$1,\$1,\$5,\$5,\$10,\$10,\$20,\$20$; 두 장을 비복원으로 무작위로 뽑음; 두 장을 뽑는 순서는 중요하지 않음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{2}{5}$, (C) $\tfrac{3}{7}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{2}{3}$

구하는 것: 뽑은 두 지폐의 합이 $\$20$ 이상일 확률

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

모든 결과(지폐 두 장 조합)가 똑같이 나올 가능성을 가지므로, 확률은 (좋은 조합 수) / (전체 조합 수)일 뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 좋은 조합을 두 경우로 깔끔하게 나눕니다: $\$20$을 포함한 조합과 포함하지 않은 조합. 첫 번째 경우는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 가장 쉽게 셉니다 — 전체 조합을 센 다음 $\$20$이 하나도 없는 조합을 빼는 것입니다. 두 번째 경우는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 다루는 짧고 유한한 확인입니다: 남은 지폐들 중 어떤 조합이 여전히 $\$20$에 도달하는가?

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

가능한 모든 조합 세기

여덟 장을 서로 다른 여덟 개의 물건으로 봅니다.
순서를 무시하고 그중 $2$장을 고르는 것은 조합입니다: $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$.
따라서 똑같이 나올 가능성을 가진 조합이 $28$가지이고, 이것이 확률의 분모가 됩니다.

$$\binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot 7}{2}=28$$

💡 어느 지폐 조합이든 다른 조합만큼 잘 나오므로, 조합을 세는 것이 문제의 전부입니다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 2

20을 포함한 조합은 이미 성공

두 장 중 하나가 $\$20$이면, 나머지 한 장이 가장 작아도 $\$1$이므로 합은 $\$21$ — 이미 $\$20$ 이상입니다.
따라서 $\$20$을 적어도 하나 포함한 조합은 모두 성공입니다. 이를 여집합으로 셉니다: 전체 $28$가지에서 두 장의 $\$20$을 하나도 쓰지 않는 조합을 뺍니다.
그 조합은 나머지 $6$장에서 고르므로 $\binom{6}{2}=15$입니다.
그러므로 $\$20$을 적어도 하나 포함한 조합은 $28-15=13$가지입니다.

$$28-\binom{6}{2}=28-15=13$$

💡 두 장의 20을 모두 피하는 조합을 세어 빼는 것이, 20을 하나 잡는 조합을 일일이 나열하는 것보다 쉽습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

20이 없는 조합 확인하기

이제 작은 지폐 여섯 장($\$1,\$1,\$5,\$5,\$10,\$10$)에서 뽑은 $15$가지 조합만 보고 어느 것이 여전히 $\$20$에 도달하는지 묻습니다. 가능한 합을 나열하면: $10+10=20$(성공)이고, $10+5=15$, $10+1=11$, $5+5=10$, $5+1=6$, $1+1=2$는 모두 모자랍니다. 두 장의 십달러 조합만 되며, 그런 조합은 정확히 하나, $\binom{2}{2}=1$입니다.

$$10+10=20\ \checkmark;\quad 10+5,\,10+1,\,5+5,\,5+1,\,1+1<20$$

💡 20이 없으면 $\$20$에 닿는 유일한 방법은 남은 지폐 중 가장 큰 두 장, 즉 십달러끼리를 짝짓는 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 4

경우를 더해 확률 만들기

성공하는 조합은 $\$20$을 포함한 $13$가지에 두 장의 십달러 조합 $1$가지를 더해 $13+1=14$가지이고, 전체는 $28$가지입니다. 확률은 $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$입니다.
이것이 선택지 (D)입니다.

$$P=\dfrac{13+1}{28}=\dfrac{14}{28}=\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 똑같이 나올 수 있는 전체 결과에 대한 좋은 결과의 비가 확률이며, $28$ 중 $14$는 정확히 절반입니다.

[1] #7 7.SP.C.8 여덟 장을 서로 다른 여덟 개의 물건으로 봅니다. 순서를 무시하고 그중 $2$장을 고르는 것은 조합입니다: $\binom{8}{2}=\frac{

[2] #16 7.SP.C.8 두 장 중 하나가 $\$20$이면, 나머지 한 장이 가장 작아도 $\$1$이므로 합은 $\$21$ — 이미 $\$20$ 이상입니다. 따라서 $\

[3] #2 7.SP.C.8 이제 작은 지폐 여섯 장($\$1,\$1,\$5,\$5,\$10,\$10$)에서 뽑은 $15$가지 조합만 보고 어느 것이 여전히 $\$20$에

[4] #7 7.SP.C.7 성공하는 조합은 $\$20$을 포함한 $13$가지에 두 장의 십달러 조합 $1$가지를 더해 $13+1=14$가지이고, 전체는 $28$가지입니다.

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac{1}{2}$은 그럴듯합니다: $\$20$은 꽤 많은 조합에 등장하고 등장하면 승리를 보장하므로, 절반 정도의 확률은 알맞은 범위입니다 — 아주 작지도, 거의 확실하지도 않습니다. 여집합으로 교차 확인해도 맞습니다. $\$20$에 미치지 못하는 조합은 정확히 $\$20$이 없고 두 장의 십달러 조합도 아닌 조합입니다: $15-1=14$가지 실패 조합으로, 성공 $28-14=14$가지와 일치합니다. 성공과 실패가 모두 $14$이므로 확률은 어느 쪽으로 보아도 $\tfrac{1}{2}$입니다. 함정 선택지 (C) $\tfrac{3}{7}=\tfrac{12}{28}$은 $10+10$ 조합(또는 이십달러끼리 조합)을 세지 않은 데서 나옵니다. 좋은 조합 둘을 놓치면 $14$가 $12$로 줄어듭니다.

대안 접근: 여집합을 직접 셉니다: 합이 $\$20$ *미만*일 확률. 합이 $\$20$ 미만인 것은 조합에 $\$20$이 없고 두 장의 십달러 조합도 아닐 때뿐입니다. $\$20$이 없는 조합: $\binom{6}{2}=15$; 여기서 $10+10$ 조합 하나를 빼면 $15-1=14$가지 실패 조합입니다. 따라서 $P(\text{합}<20)=\tfrac{14}{28}=\tfrac{1}{2}$이고, 답은 $1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (전체 $\binom{8}{2}=28$ 조합, $\$20$을 포함한 $13$개 조합(여집합 $28-\binom{6}{2}$ 이용), 그리고 나머지 중 유일한 $10+10$ 조합을 세는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events ($28$개 조합을 모두 똑같이 나올 가능성으로 다루고 확률을 $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$로 계산하는 데 사용.)

⭐ 모든 뽑기가 똑같이 나올 가능성을 가질 때는 전체 조합에 대한 승리 조합의 비를 세되, '이십달러가 있다' 대 '없다'처럼 세기 쉬운 경우로 쪼개면 빠뜨리거나 중복 없이 셀 수 있습니다.