AMC 10 · 2005 · #15

학년 7 probability

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

봉투 안에 지폐 여덟 장이 있습니다: 1달러 두 장, 5달러 두 장, 10달러 두 장, 20달러 두 장. 이 중 두 장을 한꺼번에 비복원으로 뽑습니다. 뽑은 두 장의 합이 20달러 이상일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${{{\frac{1}{4}}}}$

(B)

${{{\frac{2}{5}}}}$

(C)

${{{\frac{3}{7}}}}$

(D)

${{{\frac{1}{2}}}}$

(E)

${{{\frac{2}{3}}}}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

모든 결과(지폐 두 장 조합)가 똑같이 나올 가능성을 가지므로, 확률은 (좋은 조합 수) / (전체 조합 수)일 뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 좋은 조합을 두 경우로 깔끔하게 나눕니다: 20을 포함한 조합과 포함하지 않은 조합. 첫 번째 경우는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 가장 쉽게 셉니다 — 전체 조합을 센 다음 20이 하나도 없는 조합을 빼는 것입니다. 두 번째 경우는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 다루는 짧고 유한한 확인입니다: 남은 지폐들 중 어떤 조합이 여전히 20에 도달하는가?

1STEP 1

가능한 모든 조합 세기

여덟 장을 서로 다른 것으로 보면 전체 조합 수는 C(8, 2)=28, 이것이 분모입니다.

C(8, 2)=(8 · 7)/2=28

2STEP 2

20을 포함한 조합은 이미 성공

20달러가 든 조합은 짝이 1달러라도 21달러이므로 모두 성공: 28-C(6, 2)=28-15=13입니다.

28-C(6, 2)=28-15=13

3STEP 3

20이 없는 조합 확인하기

20달러가 없는 조합 중 합이 20달러 이상인 것은 10+10=20인 한 가지뿐입니다.

10+10=20 ✓; 10+5, 10+1, 5+5, 5+1, 1+1 ＜ 20

4STEP 4

경우를 더해 확률 만들기

성공은 20달러를 포함한 13과 십달러 두 장 1을 합한 14, 전체는 28이므로 확률은 1/2입니다.

P=(13+1)/28=14/28=1/2 → (D)

정답

{{{1/2}}}

답 1/2은 그럴듯합니다: 20은 꽤 많은 조합에 등장하고 등장하면 승리를 보장하므로, 절반 정도의 확률은 알맞은 범위입니다 — 아주 작지도, 거의 확실하지도 않습니다. 여집합으로 교차 확인해도 맞습니다. 20에 미치지 못하는 조합은 정확히 20이 없고 두 장의 십달러 조합도 아닌 조합입니다: 15-1=14가지 실패 조합으로, 성공 28-14=14가지와 일치합니다. 성공과 실패가 모두 14이므로 확률은 어느 쪽으로 보아도 1/2입니다. 함정 선택지 (C) 3/7=12/28은 10+10 조합(또는 이십달러끼리 조합)을 세지 않은 데서 나옵니다. 좋은 조합 둘을 놓치면 14가 12로 줄어듭니다.

💡핵심 정리

모든 뽑기가 똑같이 나올 가능성을 가질 때는 전체 조합에 대한 승리 조합의 비를 세되, '이십달러가 있다' 대 '없다'처럼 세기 쉬운 경우로 쪼개면 빠뜨리거나 중복 없이 셀 수 있습니다.

가능한 모든 조합 세기
20을 포함한 조합은 이미 성공
20이 없는 조합 확인하기
경우를 더해 확률 만들기

가능한 모든 조합 세기

20을 포함한 조합은 이미 성공

20이 없는 조합 확인하기

경우를 더해 확률 만들기

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