AMC 10 · 2005 · #22
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
24 개 값을 하나씩 확인하는 것은 느리므로, 먼저 도구 #4(변수 도입하기)로 합을 공식 (n(n+1))/2로 바꾸고 몫을 하나의 깔끔한 분수로 정리합니다 — 그러면 n! 에 대한 나눗셈 문제가 단 하나의 인수 n+1에 대한 질문으로 바뀝니다. 이어서 도구 #5(패턴 찾기)로 어떤 n+1이 나눗셈을 깨뜨리는지 시험하면 패턴이 뚜렷합니다: n+1이 홀수 소수일 때만 실패하고 나머지는 모두 성공합니다. 실패가 드문 경우이므로, 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합 세기)이 효율적인 마무리입니다 — 성공하는 많은 경우를 뒤지는 대신, 실패하는 홀수 소수를 세어 24 에서 빼면 됩니다.
합을 공식으로 바꾸기
나누는 수 1 + 2 + … + n은 (n(n+1))/2와 같으니, 이 값으로 n!을 나눈 몫이 정수인지 묻는 문제가 됩니다.
1부터 n 까지의 누적합은 닫힌 형태가 있으니, 긴 덧셈을 하나의 깔끔한 식으로 바꿉니다.
6.EE.A.2Introduce A Variable몫 간단히 하기
그 분수로 나누면 뒤집혀 곱해지고, n! = n · (n-1)!이므로 공통 인수 n이 약분되어 (2 (n-1)!)/(n+1)만 남습니다.
공통 인수 n 을 약분하여 오직 n+1만 신경 쓰도록 만듭니다.
6.EE.A.3Introduce A Variable실패하는 때 알아보기: n+1이 홀수 소수
n+1이 홀수 소수 p이면 p는 2도, 모든 인수가 p보다 작은 (n-1)!도 나누지 못하므로 그런 n은 실패합니다.
소수는 자기 자신과 같은 인수에서만 나올 수 있는데, 그보다 작은 인수는 모두 너무 작습니다.
소수는 자기 자신과 같은 인수에서만 나올 수 있으며, 그보다 작은 인수는 모두 너무 작다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수는 인수로 분명히 등장하는 곳에만 나타난다.
▸ 왜?
그 인수가 없으면 나눗셈에 나머지가 남으므로, 몫이 정수가 되지 않는다.
성공하는 때 알아보기: 나머지 전부
나머지 n+1은 인수들이 이미 (n-1)! 안에 있어(9는 3과 6) 나누어떨어지고, n+1 = 2와 4는 직접 확인됩니다.
합성수의 인수들은 이미 팩토리얼 안에서 기다리고 있으므로 그 수는 나누어 들어갑니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern여집합 세기
실패는 홀수 소수 n+1뿐이고, 2부터 25까지 그런 수는 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23의 8개이므로 답은 16입니다.
실패는 드문 홀수 소수뿐이므로, 그것들을 세어 빼는 것이 모든 성공을 나열하는 것보다 낫습니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement1 + 2 + … + n 을 (n(n+1))/2로 바꿔 간단히 하면, 나눗셈은 n+1이 홀수 소수일 때만 실패합니다 — 그러니 그 8 개의 소수를 세어 24에서 빼면 16입니다.
- 합을 공식으로 바꾸기
- 몫 간단히 하기
- 실패하는 때 알아보기: n+1이 홀수 소수
- 성공하는 때 알아보기: 나머지 전부
- 여집합 세기