AMC 10 · 2005 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trapezoidratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionlinear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
사다리꼴 ABCD에서 윗변 AB는 아랫변 DC와 평행합니다. 점 E는 다리 BC의 중점이고 점 F는 다리 DA의 중점이므로, 선분 FE가 사다리꼴을 위쪽 조각 ABEF와 아래쪽 조각 FECD로 나눕니다. 위쪽 조각 ABEF의 넓이는 아래쪽 조각 FECD의 넓이의 두 배입니다. 비 AB/DC를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
6
(E)
8

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

그림에는 숫자가 없고 두 개의 미지의 밑변과 가운데 선만 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 시작입니다: 윗변을 a=AB, 아랫변을 b=DC 라 부르고 이 둘을 잇는 하나의 식을 찾습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 특징을 드러냅니다 — 두 다리의 중점을 잇는 선분 FE 는 중선으로, 두 밑변에 평행하고 그 평균과 같으며 정확히 절반 높이에 놓입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 조각으로 나눕니다: 먼저 FE 의 길이와 두 작은 사다리꼴의 높이가 같다는 사실을 확정하고, 그다음 '넓이의 두 배' 조건을 a 와 b 에 대한 하나의 일차식으로 바꾸어 비를 읽어냅니다.

1STEP 1

두 밑변에 이름 붙이기

윗변 AB를 a, 아랫변 DC를 b라 하면, 목표 a/b는 a와 b를 잇는 식 하나만 있으면 됩니다.

a = AB, b = DC, 목표: a/b
2STEP 2

가운데 선은 평균이며 절반 높이에 있음

FE는 두 다리의 중점을 잇는 중선이라 FE = (a+b)/2이고, 절반 높이에 놓여 두 조각의 높이가 h/2입니다.

FE = (a+b)/2, 각 작은 높이 = h/2
3STEP 3

높이가 같으면 넓이는 밑변의 합으로 결정됨

높이가 같으니 넓이는 평행한 변의 합에 비례하여 ABEF는 (3a+b)/2, FECD는 (a+3b)/2입니다.

[ABEF] ∝ a+(a+b)/2=(3a+b)/2, [FECD] ∝ (a+b)/2+b=(a+3b)/2
4STEP 4

'두 배' 조건을 세워 풀기

(3a+b)/2 = 2·(a+3b)/2에서 3a+b = 2a+6b이므로 a = 5b, 곧 AB/DC = 5입니다. 선택지 (C).

3a+b=2(a+3b) → 3a+b=2a+6b → a=5b → AB/DC=5 → (C)
정답
5
빠른 검산: a=5, b=1이면 중선은 (5+1)/2=3입니다. 그러면 위쪽 조각은 5+3=8 처럼, 아래쪽 조각은 3+1=4 처럼 행동하고, 8은 정말로 4의 두 배입니다 — 조건이 맞고 AB/DC=5를 줍니다. 이 비는 그림에서도 타당합니다: 위쪽 절반이 넓이를 두 배 감당하려면 윗변이 아랫변보다 훨씬 넓어야 합니다. 흔한 함정은 중선이 절반 높이에 있다는 것을 잊고 밑변 a:b 만 비교하거나, 아래쪽 조각을 두 배로 두는 것입니다. 두 실수 모두 2 나 3 같은 미끼 답으로 이어집니다.
💡핵심 정리

사다리꼴의 비스듬한 두 변의 중점을 잇는 선은 두 밑변의 평균이며 절반 높이에 놓이므로, 두 절반은 높이가 같고 넓이는 평행한 변의 길이로만 비교됩니다.

  • 두 밑변에 이름 붙이기
  • 가운데 선은 평균이며 절반 높이에 있음
  • 높이가 같으면 넓이는 밑변의 합으로 결정됨
  • '두 배' 조건을 세워 풀기

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