AMC 10 · 2005 · #23
학년 8 geometry-2d사다리꼴 ABCD 에서 AB 는 DC 와 평행하고, E 는 BC 의 중점, F 는 DA 의 중점입니다. ABEF 의 넓이가 FECD 의 넓이의 두 배입니다. AB/DC 는 얼마입니까?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 윗변 $AB$ 는 아랫변 $DC$ 와 평행합니다. 점 $E$ 는 다리 $BC$ 의 중점이고 점 $F$ 는 다리 $DA$ 의 중점이므로, 선분 $FE$ 가 사다리꼴을 위쪽 조각 $ABEF$ 와 아래쪽 조각 $FECD$ 로 나눕니다. 위쪽 조각의 넓이가 아래쪽 조각의 넓이의 두 배입니다. 비 $AB/DC$ 를 구하세요.
주어진 것: $ABCD$ 는 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ 인 사다리꼴; $E$ 는 다리 $\overline{BC}$ 의 중점, $F$ 는 다리 $\overline{DA}$ 의 중점; $ABEF$ 의 넓이는 $FECD$ 의 넓이의 두 배; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $8$
구하는 것: 비 $AB/DC$
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 윗변 $AB$ 는 아랫변 $DC$ 와 평행합니다. 점 $E$ 는 다리 $BC$ 의 중점이고 점 $F$ 는 다리 $DA$ 의 중점이므로, 선분 $FE$ 가 사다리꼴을 위쪽 조각 $ABEF$ 와 아래쪽 조각 $FECD$ 로 나눕니다. 위쪽 조각의 넓이가 아래쪽 조각의 넓이의 두 배입니다. 비 $AB/DC$ 를 구하세요.
주어진 것: $ABCD$ 는 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ 인 사다리꼴; $E$ 는 다리 $\overline{BC}$ 의 중점, $F$ 는 다리 $\overline{DA}$ 의 중점; $ABEF$ 의 넓이는 $FECD$ 의 넓이의 두 배; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $8$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
그림에는 숫자가 없고 두 개의 미지의 밑변과 가운데 선만 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 시작입니다: 윗변을 $a=AB$, 아랫변을 $b=DC$ 라 부르고 이 둘을 잇는 하나의 식을 찾습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 특징을 드러냅니다 — 두 다리의 중점을 잇는 선분 $FE$ 는 중선으로, 두 밑변에 평행하고 그 평균과 같으며 정확히 절반 높이에 놓입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 조각으로 나눕니다: 먼저 $FE$ 의 길이와 두 작은 사다리꼴의 높이가 같다는 사실을 확정하고, 그다음 '넓이의 두 배' 조건을 $a$ 와 $b$ 에 대한 하나의 일차식으로 바꾸어 비를 읽어냅니다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 두 밑변에 이름 붙이기
- 윗변 $AB$ 를 $a$, 아랫변 $DC$ 를 $b$ 라 합시다.
- 문제는 $AB/DC = a/b$ 를 묻고 있으므로, 전체 과제는 $a$ 와 $b$ 를 잇는 하나의 식을 찾는 것입니다.
- 넓이에 관한 모든 것은 이 두 문자와 사다리꼴의 높이로 표현됩니다.
💡 그림에 숫자가 없을 때, 미지의 길이에 이름을 붙이면 마치 알려진 값처럼 계산할 수 있습니다.
8.G.A.4 단계 2 가운데 선은 평균이며 절반 높이에 있음
- 선분 $FE$ 는 두 다리의 중점을 잇는 사다리꼴의 중선입니다.
- 대각선 $DB$ 를 그으면, 삼각형 $DAB$ 에서 $DA$ 의 중점 $F$ 에서 $DB$ 의 중점 $X$ 로 가는 선분은 $AB$ 의 절반이고, 삼각형 $BCD$ 에서 $DB$ 의 중점에서 $E$ 로 가는 부분은 $DC$ 의 절반입니다.
- 이 둘을 더하면 $FE=\tfrac{1}{2}(AB+DC)=\tfrac{a+b}{2}$ 이고, $FE$ 는 두 밑변에 평행합니다.
- $E$ 와 $F$ 가 중점이므로 $FE$ 는 $AB$ 와 $DC$ 의 정확히 중간에 놓여, 사다리꼴 $ABEF$ 와 $FECD$ 는 각각 전체 높이 $h$ 의 절반을 높이로 가집니다.
💡 비스듬한 두 변의 중점을 지나는 선은 위와 아래의 평균이며, 높이를 똑같이 반으로 나눕니다.
6.G.A.1 단계 3 높이가 같으면 넓이는 밑변의 합으로 결정됨
- 사다리꼴의 넓이는 $\tfrac{1}{2}(\text{두 평행한 변의 합})\times(\text{높이})$ 입니다.
- 두 조각은 같은 높이 $\tfrac{h}{2}$ 를 공유하므로 넓이는 각자의 평행한 변의 합에 비례합니다.
- 위쪽 조각 $ABEF$ 는 평행한 변이 $a$ 와 $\tfrac{a+b}{2}$ 이고, 아래쪽 조각 $FECD$ 는 평행한 변이 $\tfrac{a+b}{2}$ 와 $b$ 입니다.
- 공통 인수 $\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{h}{2}$ 를 지우면 넓이는 $a+\tfrac{a+b}{2}$ 대 $\tfrac{a+b}{2}+b$ 로 비교되며, 각각 $\tfrac{3a+b}{2}$ 와 $\tfrac{a+3b}{2}$ 로 정리됩니다.
💡 두 사다리꼴의 높이가 같으면, 평행한 변의 합이 더 긴 쪽이 그만큼 더 큰 넓이를 가집니다.
8.EE.C.7 단계 4 '두 배' 조건을 세워 풀기
- 위쪽 넓이가 아래쪽 넓이의 두 배이므로 $\tfrac{3a+b}{2}=2\cdot\tfrac{a+3b}{2}$ 입니다.
- 양변의 절반이 지워져 $3a+b=2(a+3b)=2a+6b$ 가 됩니다.
- 양변에서 $2a$ 와 $b$ 를 빼면 $a=5b$ 가 남습니다.
- $b$ 로 나누면 비는 $\tfrac{a}{b}=5$ 이므로 $AB/DC=5$ 입니다.
- 이것이 선택지 (C) 입니다.
💡 넓이 조건을 하나의 일차식으로 바꾸면 미지의 높이와 상수가 지워지고 깔끔한 비만 남습니다.
6.EE.B.6 윗변 $AB$ 를 $a$, 아랫변 $DC$ 를 $b$ 라 합시다. 문제는 $AB/DC = a/b$ 를 묻고 있으므로, 전체 과제는 $a$ 와 $ 8.G.A.4 선분 $FE$ 는 두 다리의 중점을 잇는 사다리꼴의 중선입니다. 대각선 $DB$ 를 그으면, 삼각형 $DAB$ 에서 $DA$ 의 중점 $F$ 에 6.G.A.1 사다리꼴의 넓이는 $\tfrac{1}{2}(\text{두 평행한 변의 합})\times(\text{높이})$ 입니다. 두 조각은 같은 높이 $\ 8.EE.C.7 위쪽 넓이가 아래쪽 넓이의 두 배이므로 $\tfrac{3a+b}{2}=2\cdot\tfrac{a+3b}{2}$ 입니다. 양변의 절반이 지워져 $ 검토
합리성 확인: 빠른 검산: $a=5$, $b=1$ 이면 중선은 $\tfrac{5+1}{2}=3$ 입니다. 그러면 위쪽 조각은 $5+3=8$ 처럼, 아래쪽 조각은 $3+1=4$ 처럼 행동하고, $8$ 은 정말로 $4$ 의 두 배입니다 — 조건이 맞고 $AB/DC=5$ 를 줍니다. 이 비는 그림에서도 타당합니다: 위쪽 절반이 넓이를 두 배 감당하려면 윗변이 아랫변보다 훨씬 넓어야 합니다. 흔한 함정은 중선이 절반 높이에 있다는 것을 잊고 밑변 $a:b$ 만 비교하거나, 아래쪽 조각을 두 배로 두는 것입니다. 두 실수 모두 $2$ 나 $3$ 같은 미끼 답으로 이어집니다.
대안 접근: 중선의 길이를 건너뛰고 좌표를 씁니다. $D=(0,0)$, $C=(b,0)$ 으로 두고 $A=(p,h)$, $B=(p+a,h)$ 로 놓으면 $AB=a$, $DC=b$ 입니다. 그러면 $F=\big(\tfrac{p}{2},\tfrac{h}{2}\big)$, $E=\big(\tfrac{p+a+b}{2},\tfrac{h}{2}\big)$ 이므로 $FE=\tfrac{a+b}{2}$ 이고 높이 $\tfrac{h}{2}$ 에 있습니다 — 앞과 같은 사실입니다. 넓이 방정식 $\tfrac{3a+b}{2}=2\cdot\tfrac{a+3b}{2}$ 이 다시 $a=5b$ 를 주어 $AB/DC=5$ 를 확인해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.B.6Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (미지의 밑변 $a=AB$ 와 $b=DC$ 에 이름을 붙여 넓이를 대수적으로 표현하고 비교하는 데 사용.)8.G.A.4Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (대각선 $DB$ 위의 삼각형 중선을 통한 사다리꼴 중선 사실 $FE=\tfrac{a+b}{2}$ 와 그것이 절반 높이에 있어 두 조각이 높이 $\tfrac{h}{2}$ 를 공유함을 사용.)6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (사다리꼴 넓이 공식을 적용하고, 높이가 같은 각 조각을 평행한 변의 합 $\tfrac{3a+b}{2}$ 와 $\tfrac{a+3b}{2}$ 로 줄이는 데 사용.)8.EE.C.7Solve linear equations in one variable ($3a+b=2(a+3b)$ 를 풀어 $a=5b$, 따라서 $AB/DC=5$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ 사다리꼴의 비스듬한 두 변의 중점을 잇는 선은 두 밑변의 평균이며 절반 높이에 놓이므로, 두 절반은 높이가 같고 넓이는 평행한 변의 길이로만 비교됩니다.
⭐ 사다리꼴의 비스듬한 두 변의 중점을 잇는 선은 두 밑변의 평균이며 절반 높이에 놓이므로, 두 절반은 높이가 같고 넓이는 평행한 변의 길이로만 비교됩니다.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
